基于分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力譜分布估計(jì)方法

陳道云，孫守光，李　強(qiáng)，張亞禹，王金莎，張學(xué)蘋

(1.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京　100044；2.齊齊哈爾軌道交通裝備有限責(zé)任公司 貨車分廠，黑龍江 齊齊哈爾　161002)

結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力譜是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞強(qiáng)度評(píng)估的重要依據(jù)，其精度直接影響疲勞壽命預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。實(shí)測(cè)的結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力時(shí)程曲線往往是一個(gè)有限長的子樣，由此得到的動(dòng)應(yīng)力譜不能直接用于結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度評(píng)估，需要對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、推斷，以獲得服役期間可能出現(xiàn)最大值的動(dòng)應(yīng)力擴(kuò)展譜。

在作統(tǒng)計(jì)和推斷之前，需要對(duì)實(shí)測(cè)的動(dòng)應(yīng)力譜進(jìn)行分布擬合。在擬合工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力譜分布時(shí)，常用的分布函數(shù)類型有截尾正態(tài)分布[1]、對(duì)數(shù)正態(tài)分布[2-4]和威布爾分布[5-7]。經(jīng)驗(yàn)表明，采用單一分布函數(shù)擬合得到的結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力譜很難通過嚴(yán)格的卡方檢驗(yàn)，因而只能用于粗略估計(jì)。

除此之外，Giddings[8]函數(shù)經(jīng)常被用于擬合色譜領(lǐng)域的色譜峰，這種函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)波動(dòng)具有很好的適應(yīng)性，因此可以嘗試將其應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力譜的分布擬合。

為提高結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力譜分布擬合的精度，需找到能夠順利通過卡方檢驗(yàn)的分布函數(shù)。考慮到不同類型的分布函數(shù)在不同譜級(jí)間擬合的精度不同，本文首次利用分段函數(shù)將不同類型的分布函數(shù)分段組合，構(gòu)造出的分段分布函數(shù)能夠順利通過卡方檢驗(yàn)。最后將動(dòng)應(yīng)力譜擴(kuò)展并進(jìn)行Miner線性累積損傷分析，進(jìn)而從線性累積損傷的角度對(duì)分段函數(shù)的分布擬合效果進(jìn)行校驗(yàn)。

1　數(shù)據(jù)采集及處理

選取某型動(dòng)車組制動(dòng)吊座的疲勞關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)應(yīng)力數(shù)據(jù)的采集，測(cè)點(diǎn)位置如圖1所示。采樣頻率設(shè)為500 Hz，該頻率足以保證所測(cè)信號(hào)的完整真實(shí)[9]。

信號(hào)采集期間會(huì)有各種因素對(duì)真實(shí)信號(hào)進(jìn)行干擾，因此測(cè)得的數(shù)據(jù)不能直接用于結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力譜的編制，需要先對(duì)其進(jìn)行信號(hào)處理，信號(hào)處理流程為：原始數(shù)據(jù)→應(yīng)變信號(hào)轉(zhuǎn)應(yīng)力信號(hào)→未調(diào)平衡處理→去除零點(diǎn)漂移→異常信號(hào)處理→濾波→小波處理。處理后的動(dòng)應(yīng)力數(shù)據(jù)還需要進(jìn)行時(shí)間歷程雨流計(jì)數(shù)，得到的一維應(yīng)力譜見表1。

圖1　制動(dòng)吊座的疲勞關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)

級(jí)數(shù)動(dòng)應(yīng)力中值/MPa觀測(cè)頻數(shù)級(jí)數(shù)動(dòng)應(yīng)力中值/MPa觀測(cè)頻數(shù)167337867810379029221019208683114136148313669871512448280417124274313482950520581747214517525624057305155521187275130061660418830971301177080893443618

2　動(dòng)應(yīng)力譜頻率分布直方圖

動(dòng)應(yīng)力譜的頻率分布直方圖對(duì)分布擬合的精度將產(chǎn)生很大影響，而直方圖的起點(diǎn)及每級(jí)之間間隔的選取直接決定了直方圖的形狀，并間接影響分布擬合的精度。

在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞可靠性評(píng)估時(shí)，幅值低于5 MPa的小動(dòng)應(yīng)力數(shù)據(jù)通常要被過濾掉，因此小幅值動(dòng)應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞損傷的影響可以忽略。由此可以確定，頻率分布直方圖的起點(diǎn)設(shè)為5 MPa較為合理。

根據(jù)Luise[10]的建議，動(dòng)應(yīng)力每級(jí)之間的間隔(直方圖組距)Δ應(yīng)由下式確定。

(1)

式中：R為動(dòng)應(yīng)力變化范圍；N為樣本總數(shù)。

利用這種方法得到的直方圖是等組距直方圖。對(duì)于實(shí)測(cè)的軌道車輛結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力數(shù)據(jù)來說，在直方圖尾部的高幅值區(qū)域數(shù)據(jù)通常非常少，因此等組距帶來的1個(gè)問題就是分布估計(jì)時(shí)的精度較低。為了克服這個(gè)缺陷并滿足后續(xù)卡方檢驗(yàn)的需要，從等距分組的最大幅值對(duì)應(yīng)的頻次開始，逐步向上累加頻次，直到累加頻次大于等于5，停止累加，作為1個(gè)頻次。然后按同樣的方法累加合并其他小于5 的頻次，直到所有小于5 的頻次都被累加，最后按累加頻次對(duì)應(yīng)的區(qū)間調(diào)整區(qū)間邊界值，完成分組合并。

結(jié)合表1，按照上述方法繪制的制動(dòng)吊座動(dòng)應(yīng)力譜頻率分布直方圖如圖2所示。

圖2　動(dòng)應(yīng)力譜頻率分布直方圖

3　單一分布函數(shù)擬合

截尾正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f1(x)為

(2)

式中：K為正規(guī)化常數(shù)；μ1為截尾正態(tài)分布的均值；σ1為截尾正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差；x為動(dòng)應(yīng)力譜每級(jí)的動(dòng)應(yīng)力中值。

對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f2(x)為

(3)

式中：μ2為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值；σ2為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

三參數(shù)威布爾分布的概率密度函數(shù)f3(x)為

(4)

式中：β為威布爾分布形狀參數(shù)；η為威布爾分布尺度參數(shù)；γ為威布爾分布位置參數(shù)。

Giddings分布的概率密度函數(shù)f4(x)為

(5)

其中，

式中：A為Giddings分布的面積系數(shù)；ω為Giddings分布的寬度系數(shù)；xc為Giddings分布的中心系數(shù)；Jl(x)為柱貝塞爾函數(shù)。

采用單一分布函數(shù)擬合得到的參數(shù)值見表2。

表2　單一分布函數(shù)擬合參數(shù)值

對(duì)頻率分布直方圖進(jìn)行分布擬合后，還需要進(jìn)行擬合效果的檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)的分布才能作為最終的動(dòng)應(yīng)力譜分布。比較嚴(yán)格的檢驗(yàn)方法是采用擬合優(yōu)度的卡方檢驗(yàn)對(duì)動(dòng)應(yīng)力譜分布進(jìn)行檢驗(yàn)，卡方值的計(jì)算公式為

(6)

式中：χ2為動(dòng)應(yīng)力譜分布擬合檢驗(yàn)的總卡方值；k為分組數(shù)；i為動(dòng)應(yīng)力譜的級(jí)數(shù)；vi為觀測(cè)頻數(shù)；F為累積分布函數(shù)；xi為動(dòng)應(yīng)力譜第i級(jí)的動(dòng)應(yīng)力下限；xi+1為動(dòng)應(yīng)力譜第i級(jí)的動(dòng)應(yīng)力上限。

根據(jù)式(6)分別計(jì)算以上4種分布函數(shù)的各級(jí)卡方值，結(jié)果見表3。

表3　4種分布的各級(jí)卡方值及總卡方值

由表3可見，在4種分布函數(shù)中截尾正態(tài)分布函數(shù)的總卡方值最大，擬合效果最差，另外3種分布函數(shù)的總卡方值較截尾正態(tài)分布函數(shù)小。

由表3得到對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)、威布爾分布函數(shù)和Giddings分布函數(shù)擬合檢驗(yàn)的各級(jí)卡方值圖，如圖3所示。

圖3　3種分布函數(shù)擬合檢驗(yàn)的各級(jí)卡方值對(duì)比

由圖3可見，由Giddings分布函數(shù)得到的前6組卡方值較小，即對(duì)前6組的數(shù)據(jù)擬合較好，威布爾分布函數(shù)對(duì)中間組(7～12組)的數(shù)據(jù)擬合較好，對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)對(duì)尾部(13～17組)數(shù)據(jù)擬合較好。

4　分段函數(shù)擬合

考慮到Giddings分布函數(shù)、威布爾分布函數(shù)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)在不同譜級(jí)段的擬合優(yōu)勢(shì)，構(gòu)造1個(gè)分段函數(shù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段擬合。分段函數(shù)的概率密度函數(shù)f5(x)為

f5(x)=

(7)

式中：x1,x6,x7,x12,x13和x17分別為動(dòng)應(yīng)力譜頻率分布直方圖第1級(jí)、第6級(jí)、第7級(jí)、第12級(jí)、第13級(jí)和第17級(jí)的動(dòng)應(yīng)力。

采用式(7)對(duì)表1的動(dòng)應(yīng)力譜數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合，得到的各參數(shù)值見表4。

結(jié)合式(6)，擬合檢驗(yàn)的各級(jí)卡方值見表5。

表4　分段函數(shù)擬合參數(shù)值

表5　分段函數(shù)擬合檢驗(yàn)的各級(jí)卡方值

由表5可見，分段函數(shù)擬合的各級(jí)卡方值均較小且17級(jí)譜的總卡方值小于卡方檢驗(yàn)的臨界值，因此分段函數(shù)分布順利通過了卡方檢驗(yàn)。

為了更加直觀地觀察分段函數(shù)的擬合效果，將分段函數(shù)的概率密度曲線與實(shí)測(cè)動(dòng)應(yīng)力譜的頻率分布直方圖作比較，如圖4所示。

圖4分段函數(shù)分布概率密度曲線與實(shí)測(cè)動(dòng)應(yīng)力譜頻率分布直方圖比較

由圖4可見，基于分段函數(shù)分布的概率密度曲線與實(shí)測(cè)動(dòng)應(yīng)力譜頻率分布直方圖的吻合程度很好，表明分段函數(shù)分布能夠很好地用于描述實(shí)測(cè)的動(dòng)應(yīng)力譜分布趨勢(shì)。

由于研究動(dòng)應(yīng)力譜分布擬合的最終目的是要通過計(jì)算損傷來預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，因此分布擬合的優(yōu)劣還需要經(jīng)過疲勞損傷的校驗(yàn)。

5　譜分布擬合的疲勞損傷校驗(yàn)

易當(dāng)祥[11]建議以概率為10-6的動(dòng)應(yīng)力為最大動(dòng)應(yīng)力，利用超越概率10-6反解分布函數(shù)，得到服役期可能出現(xiàn)的動(dòng)應(yīng)力最大值。

由于制動(dòng)吊座的實(shí)測(cè)動(dòng)應(yīng)力譜的總循環(huán)次數(shù)不足106，因此為得到實(shí)測(cè)擴(kuò)展譜，需對(duì)實(shí)測(cè)譜的各級(jí)統(tǒng)一乘以1個(gè)系數(shù)，使總循環(huán)次數(shù)達(dá)到106，假設(shè)動(dòng)應(yīng)力譜的最小值仍為5 MPa，由利用分段函數(shù)推斷得到的動(dòng)應(yīng)力譜最大值為81.13 MPa，稍大于實(shí)測(cè)最大值77.72 MPa。由實(shí)測(cè)譜推斷的擴(kuò)展譜與由分段分布推斷的擴(kuò)展譜對(duì)比結(jié)果見表6。

表6　實(shí)測(cè)動(dòng)應(yīng)力譜和分段函數(shù)動(dòng)應(yīng)力譜的擴(kuò)展譜對(duì)比

動(dòng)應(yīng)力譜損傷的計(jì)算基于Miner線性累積損傷法則[12]，則動(dòng)應(yīng)力譜損傷D為

(8)

式中：zi為各級(jí)動(dòng)應(yīng)力實(shí)際循環(huán)次數(shù)；Ri為各級(jí)動(dòng)應(yīng)力作用下循環(huán)至破壞的壽命；C1和m為材料的S—N曲線參數(shù)；σ-1i為各級(jí)動(dòng)應(yīng)力。

由表6和式(8)得到各級(jí)損傷值如圖5所示。

由圖5可見，分段函數(shù)的動(dòng)應(yīng)力譜損傷與實(shí)測(cè)譜損傷的總體走勢(shì)一致；2種損傷在前幾級(jí)與后幾級(jí)的損傷值比較接近，中間級(jí)的損傷值相差較大且分段分布每一級(jí)的損傷都大于實(shí)測(cè)損傷，這表明分

圖5　Miner線性累積損傷對(duì)比

段分布對(duì)動(dòng)應(yīng)力譜中間段的擬合估計(jì)偏保守，使得利用分段分布損傷估算疲勞壽命時(shí)的壽命偏低，這種保守的結(jié)構(gòu)疲勞壽命估計(jì)對(duì)于保證結(jié)構(gòu)在運(yùn)用時(shí)的安全是非常有必要的。

6　結(jié)　論

(1) 對(duì)于軌道車輛結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力譜分布估計(jì)而言，單一分布函數(shù)的分布擬合不能通過卡方檢驗(yàn)。

(2) 當(dāng)應(yīng)力譜的組數(shù)較多時(shí)，不同分布函數(shù)對(duì)應(yīng)的擬合精度不同。截尾正態(tài)分布的擬合精度最差，Giddings分布對(duì)前6組數(shù)據(jù)擬合較好，威布爾分布對(duì)中間組(7～12組)數(shù)據(jù)擬合較好，對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)尾部(13～17組)數(shù)據(jù)擬合較好；利用這一特點(diǎn)，將不同的分布函數(shù)分段組合得到1個(gè)分段分布函數(shù)，該分段函數(shù)的分布擬合能夠順利通過卡方檢驗(yàn)。

(3) 利用分段函數(shù)分布推斷得到的動(dòng)應(yīng)力譜，其Miner線性累積損傷走勢(shì)與實(shí)測(cè)譜的總體走勢(shì)一致，且其每級(jí)損傷均大于實(shí)測(cè)譜損傷，使得其對(duì)結(jié)構(gòu)的疲勞壽命能做出偏安全的預(yù)估。

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