幾何平移　快捷解題

□李慶社

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幾何平移快捷解題

□李慶社

利用圖形平移變換可以將幾何題中分散的條件匯聚到一個基本圖形中，也可以將題目中比較隱蔽的條件明朗化.下面本文略舉幾例說明.

例1某商場重新裝修后，準備在大廳的主樓梯上鋪設一種紅色的地毯，已知這種地毯的批發價為每平方米40元，已知主樓梯道的寬為3米，其側面如圖1所示，則買地毯至少需要多少元？

圖1

解析：先利用平移的知識分別將地毯水平方向的線段沿豎直方向平移到BC上，豎直方向的線段沿水平方向平移到AC上，于是鋪地毯的長度之和至少為5.6米＋2.8米=8.4米，地毯的總面積為8.4米×3米= 25.2平方米，所以購買地毯至少需要25.2×40=1008元.

點評：此題若逐步計算，比較復雜且不易算出，若運用平移的知識解題，則問題就變得容易多了.

例2某數學興趣小組開展動手操作活動，設計了如圖2所示的三種圖形，現計劃用鐵絲按照圖形制作相應的造型，則所用鐵絲的長度關系是（）.

圖2

A．甲種方案所用鐵絲最長

B．乙種方案所用鐵絲最長

C．丙種方案所用鐵絲最長

D．三種方案所用鐵絲一樣長

解析：將甲、乙、丙三種圖形中的線段向四周平移，可得這三種圖形最終可形成同樣大小的矩形，故甲、乙、丙三種方案所用鐵絲長度均為2a＋2b.故選D.

點評：利用平移的性質得出各圖形中所用鐵絲的長度是解題關鍵.

例3如圖3，多邊形的相鄰兩邊互相垂直，則這個多邊形的周長為（）.

圖3

A. 21B. 26

C. 37D. 42

解析：把所有的短橫線移動到最上方的那條橫線上，再把所有的豎線移動到左、右兩條豎線上，這樣可以重新拼成一個長方形，如圖4，故多邊形的周長為2×（16＋5）= 42.故選D.

圖4

點評：通過將原圖形中不規則的邊局部平移，從而構成規則的圖形是解這類題的關鍵.

例4如圖5，在長方形ABCD中，橫向陰影部分是長方形，另一陰影部分是平行四邊形，根據圖中標明的數據，其中空白部分的面積是多少？

圖5

解析：四個空白四邊形經過平移可以組成一個長方形，其長為ac，寬為b-c，所以空白部分的面積為（a-c）（b-c）.

點評：這里通過平移變換，避免了對圖形的分割，使求解簡捷、方便.

例5如圖6，A、B兩地之間有一條國道，國道的寬為a，現要在國道上修建一座垂直于國道的立交橋，使通過A、B兩地的路程最近，請你設計建橋的位置，并說明理論依據.

圖6

解析：不妨設國道的兩邊分別為l1，l2，橋為MN，那么從A到B要走的路線就是A→M→N→B了.如圖6，MN=a為定值，于是要使路徑最短，只要AM＋BN最短即可.此時兩線段應在同一平行方向上，若設想先過橋，即平移MN于AC，從C到B應是余下的路程，連接BC即為最短的線段，這就說明線段BC與國道邊緣l2的交點N就是修橋的位置.

點評：本題是設計建橋的位置，卻隱含了平移的知識，體現了數學知識與社會生活的緊密聯系.