巧作輔助線妙解題

□辛賀華

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巧作輔助線妙解題

□辛賀華

人教版數學課本習題7.2第9題：如圖1，AB∥CD，∠BAE=∠DCE= 45°.填空：因為AB∥CD，所以∠1＋45°＋∠2＋45°=180°.所以∠1＋∠2=90°.因為∠1＋∠2＋∠E=180°.所以∠E=90°.

圖1

圖2

其實這道題可以看作是：如圖2，已知AB∥CD，∠BAE=∠DCE= 45°.求∠E的度數.

課本的解題方法是通過作輔助線，連接AC，利用平行線的性質定理和三角形內角和定理解題.

應用到的基礎知識有：

1.平行線的性質定理：兩條直線平行，同位角相等；兩條直線平行，內錯角相等；兩條直線平行，同旁內角互補.

2.三角形內角和定理：三角形的三個內角的和等于180°.

除了教材的解法外，還可以采用如下解題方法.

解法1：如圖3，過點E作直線l，使l∥AB，根據平行公理的推論，因為l∥AB，AB∥CD，所以AB∥CD∥l.因為l∥AB，∠BAE=45°，所以∠1= 45°.因為CD∥l，∠DCE=45°，所以∠2=45°.∠AEC=∠1＋∠2=45°＋45°=90°.

圖3

圖4

解法1用到了平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.

解法2：如圖4，延長AE交CD于點F，因為AB∥CD，∠BAE=45°，所以∠EFC=45°，所以∠CEF=180°-∠ECF -∠EFC=90°.所以∠AEC= 180°-∠CEF=90°.

解法2還用到了鄰補角的性質：鄰補角互補.

解法3：如圖5，過點E作直線FG交AB于點F，交CD于點G.因為AB∥CD，所以∠1＋∠FGC=180°.又因為∠BAE=∠DCE=45°，由三角形內角和定理知：（∠1＋∠BAE＋∠2）＋（∠3＋∠DCE＋∠FGC）= 180°×2=360°，所以∠2＋∠3= 360°-45°-45°-180°=90°，所以∠AEC=90°.

圖5

規律總結：求一個角的度數，經常需要用到平行線的性質定理、三角形內角和定理等知識，這時我們要根據需要添加輔助線，構造平行線或構造三角形去解題.

下面我們再來看一看由課本習題演變成的中考題：

例1如圖6，直線l1∥l2，且l1，l2被直線l3所截，∠1=∠2=35°，∠P= 90°，則∠3=_______.

圖6

解析：如圖6，∠2=35°，∠P= 90°，由三角形內角和定理知：∠4= 55°.因為l1∥l2，所以∠3＋∠4＋∠1＋∠2=180°，所以∠3=180°-∠1-∠2-∠4=180°-35°-35°-55°=55°.

例2如圖7，在△ABC中，∠C=90°.若BD∥AE，∠DBC=20°，則∠CAE的度數是（）.

A. 40°B. 60°

C. 70°D. 80°

圖7

圖8

解析：如圖8，過C作CF∥BD.因為CF∥BD，BD∥AE，所以BD∥AE∥CF.因為CF∥BD，∠DBC= 20°，所以∠BCF=20°.因為∠BCA= ∠BCF＋∠FCA=90°，所以∠FCA= 90°-20°=70°.因為AE∥CF，所以∠CAE=∠FCA=70°.答案為C.