相交線與平行線中的數學思想

□鄒興平

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相交線與平行線中的數學思想

□鄒興平

數學思想是解題的靈魂，在學習和運用數學知識的過程中，起著重要的作用.滲透在相交線與平行線中的數學思想較多，下面舉例說明幾種主要數學思想的應用.

一、數形結合思想

利用數量關系研究圖形或利用圖形研究數量關系，這種借助數與形的相互轉化來研究和解決數學問題的數形結合思想，在進行角度的計算和證明時經常被用到.

例1如圖1所示，已知BD∥FG∥EC，∠ABD=60°，∠ACE=50°，AP平分∠BAC，求∠PAG的度數為______.

圖1

分析：由圖可以得出∠PAG= ∠BAG-∠BAP，所以需求出∠BAG和∠BAP的度數.

解：由BD∥FG且∠ABD=60°，得∠BAG=60°，同理，由FG∥EC，∠ACE=50°，得∠CAG=50°，所以∠BAC=∠BAG＋∠GAC=60°＋50°= 110°.又AP平分∠BAC，則∠BAP=∠BAC=55°，所以∠PAG=∠BAG-∠BAP=60°-55°=5°.

二、轉化思想

在研究平行線時，常常將平行線的位置關系與角的數量關系相互轉化.

例2如圖2，A、B、C三點在同一直線上，∠1=∠2，∠3=∠D，試說明BD∥CE.

圖2

分析：要說明BD∥CE，只需要證明∠3=∠DBE即可，而∠3=∠D，也就是轉化成要證明∠D=∠DBE，這就需要轉化成證明AD∥EB，而由∠1=∠2不難得出此結論.

解：因為∠1=∠2，則AD∥BE（內錯角相等，兩直線平行），所以∠D=∠DBE（兩直線平行，內錯角相等）.而∠3=∠D，所以∠3=∠DBE（等量代換），所以BD∥CE（內錯角相等，兩直線平行）.

三、方程思想

幾何中常有一些求線段的長度或求角的大小的問題，我們可以借助題中的已知量與未知量之間的關系，設未知數列方程，通過解方程來求出問題的解.

例3如圖3，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B=2∶3∶4，求∠α，∠D，∠B的大小.

圖3

分析：由已知∠α∶∠D∶∠B=2∶3∶4，可以分別設∠α，∠D，∠B為2x°，3x°，4x°，再利用已知條件列出方程進行求解.

解：設∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°.因為FC∥AB∥DE，所以∠2＋∠B=180°，∠1＋∠D=180°.從而有∠2=180°-∠B=180°-4x°，∠1=180°-∠D=180°- 3x°.又因∠1＋∠2＋∠α=180°，所以有（180-3x）＋（180-4x）＋2x=180，解得x=36，所以∠α=2x°=72°，∠D=3x°=108°，∠B=4x°=144°.

四、構造思想

當遇到的幾何問題直接解決比較困難時，可通過對圖形添加輔助線來創造解題條件，問題便可以順利解決.

例4如圖4（1）所示，已知∠BED=∠B＋∠D，試說明AB與CD的位置關系.

圖4

分析：由已知條件無法判斷AB與CD的位置關系，需添加輔助線構造條件.如圖4（2），過E作∠BEF=∠B，則AB∥EF，由已知可得∠FED=∠D，則CD∥EF，由平行公理可得：AB∥CD.

解：AB∥CD.理由如下：過E作∠BEF=∠B，則AB∥EF（內錯角相等，兩直線平行），而∠BED=∠BEF＋∠FED=∠B＋∠D，得∠FED=∠D.所以CD∥EF（內錯角相等，兩直線平行），故AB∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）.

五、分類討論思想

在幾何題中，有些題目未給出圖形，這時我們就要結合題意畫出圖形.畫圖時要考慮可能存在的所有情況，以免漏解，這一過程常具有多樣性，我們需要分類討論.

例5在∠ABC和∠DEF中，DE∥AB，EF∥BC，請你嘗試探索∠ABC和∠DEF的關系.

分析：根據題中兩角所在邊的位置關系，此圖有兩種不同的畫法，如圖5（1）和圖5（2）.

圖5

解：如圖5，有兩種不同的情況.

在圖5（1）中，因為DE∥AB，EF∥BC，所以∠ABC=∠1，∠1= ∠DEF.故∠ABC=∠DEF.

在圖5（2）中，因為DE∥AB，所以∠ABC＋∠1=180°.又因為EF∥BC，所以∠1=∠DEF.故∠ABC＋∠DEF=180°.