判定直線平行“四途徑”

□吳行民

?

判定直線平行“四途徑”

□吳行民

平行線在現實生活中隨處可見，它構成了平面內兩條直線的基本位置關系.下面簡要介紹判定直線平行的四種途徑.

途徑一：利用對頂角的性質、等量代換

例1如圖1，已知：直線AB、CD相交于點E，∠A=∠1，∠2=∠B，試說明：AC∥BD.

圖1

分析：依據判定直線平行的條件，本題需要尋找相等的同位角或內錯角，或互補的同旁內角.

解：因為直線AB、CD相交于點E，所以∠1=∠2（對頂角相等）.又因為∠A=∠1，∠2=∠B（已知），所以∠A=∠B（等量代換），所以AC∥BD（內錯角相等，兩直線平行）.

點評：平行線的判定是以角的相等或互補為前提的.本題的關鍵是借助對頂角相等、等量代換，找到一組內錯角相等，從而使問題獲解.

途徑二：利用垂直、等式的性質

例2如圖2，已知BA⊥DA于A，CD⊥AD于D，∠1=∠2，那么直線AE、DF平行嗎？為什么？

圖2

分析：直線AE、DF被DA所截，圖中有內錯角，如果內錯角相等，那么兩直線就平行，所以我們要想辦法判定直線AE、DF被DA所截形成的內錯角是否相等.

解：AE與DF平行.理由如下：

因為BA⊥DA，CD⊥AD，

所以∠BAD=∠ADC=90°.

又因為∠1=∠2，

所以∠BAD-∠1=∠ADC-∠2，

即∠DAE=∠ADF.

所以AE∥DF（內錯角相等，兩直線平行）.

點評：尋找圖中可推出直線平行的內錯角或同位角，這是逆向思維的運用.根據垂直定義，可以得到一對相等的角，再加上已知∠1= ∠2，利用等式的性質，可得到一對內錯角相等，從而得到兩直線平行.

途徑三：利用等角、角平分線定義

例3如圖3，已知B，D，E三點在一條直線上，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，那么直線BF與直線DG平行嗎？為什么？

圖3

分析：直線BF與直線DG被BD所截，如果同位角相等，兩直線就平行，所以要判定這兩條直線是否平行，就要轉化為判定同位角是否相等，如相等就平行，如不相等就不平行.

解：BF與DG平行.理由如下：

因為BF平分∠ABD，DG平分

∠CDE，

又因為∠ABD=∠CDE，

即∠1=∠2.

所以BF∥DG（同位角相等，兩直線平行）.

點評：在幾何學習中，常會由已知條件得到多個結論，我們應從中篩選對解題有用的結論.例如，要說明本題的結論，需要知道什么角相等，其余的結論不要注意，以免分散注意力.已知中有∠ABD= ∠CDE，由此條件可得AB∥CD.但對于此題來說這個結論沒有用，因此，不要考慮這個結論.

途徑四：利用平行線的性質、等量代換

例4如圖4，已知∠1=∠2，再添上什么條件可使AB∥CD成立？并就你添上的其中的一個條件說明理由.

圖4

分析：若添加能說明同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補的條件，這樣就能用直線平行的判定來說明兩條直線平行了.

解：可分別添上以下任意條件：

（1）EB∥FD；

（2）∠MBE=∠MDF；

（3）∠EBN=∠FDN；

（4）∠EBD＋∠FDB=180°；

（5）EB⊥MN，FD⊥MN等.

已知：∠1=∠2，EB∥FD，試說明：AB∥CD.

理由：因為EB∥FD，

所以∠EBM=∠FDM（兩直線平行，同位角相等）.

又因為∠EBM=∠1＋∠ABM，

∠FDM=∠2＋∠CDM，

∠1=∠2，

所以∠ABM=∠CDM（等量代換），

所以AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）.

點評：本題研究直線平行的判定條件，要搞清楚的是添加哪個條件可以得到哪兩條直線平行.本題有一定的開放性，回答不同，對應的說理過程也不同.