功能梯度壓電材料的參數處理與自由振動特性分析

卿光輝，吳宏偉

（中國民航大學航空工程學院，天津　300300）

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功能梯度壓電材料的參數處理與自由振動特性分析

卿光輝，吳宏偉

（中國民航大學航空工程學院，天津300300）

摘要：隨著壓電材料的應用越來越廣泛，對壓電材料的性能分析也越來越受到重視。針對功能梯度材料固有頻率的分析，采用ANSYS 12.0中的Solid98單元進行分析，在此基礎上采用ANSYS中的APDL語言進行編程，為實現參數的變化，假定材料的所有性能參數是變化且按同一方向進行變化，變化的方向為板厚方向，從而實現了壓電材料性能的梯度化變化，并對其固有頻率做了計算與探討。

關鍵詞：功能梯度；壓電；ANSYS；固有頻率

功能梯度材料（functionallygradedmaterials，FGM），即材料本身的構成與布局連續變化，材料的宏觀特性，諸如彈性模量、壓電系數不會發生跳躍性的變化，而在空間上呈現梯度變化，此種材料性能可以減輕或者解決應力集中的問題。當結構的不同位置有著不同的參數要求時，可以提供相應的功能，改善結構的整體性能。而功能梯度壓電材料（FGPM）的出現，則更進一步解決了壓電材料物理性質與結構材料不匹配造成的應力集中現象，使得智能結構與傳感器的機電耦合性能得到更大程度的發揮。

壓電材料可以用于很多方面，壓電驅動器和傳感器就是典型的例子。合理運用壓電驅動器和傳感器，首先需要計算力與電場對壓電板的具體影響。大量文獻研究了如何對均勻壓電板進行三維控制，也給出了相應的精確解。HUANG等[1]建議沿著厚度方向對位移和電勢進行坐標展開，運用傅立葉級數來描述動態響應。但有時傅立葉級數并不能很方便地解出，因此在對未知傅立葉級數進行求解時，需要有特殊的邊界條件和外部輸入。GAO和SHEN等[2]對自由振動問題的精確解進行了研究，分析的模型為壓電層合板，求解方法為冪級數展開法。但考慮到壓電功能梯度板的材料性能會沿著板厚的方向進行變化，因此想要求解三維壓電方程是相當困難的。LIU等[3]研究了波在FGPM板中的傳播特性，采用的方法為混合數值法。CHEN 和DING[4]對彎曲問題做了一些探討，其模型基于壓電功能梯度板，而分析方法則是基于狀態方程。同時CHEN和DING[5]還針對自由振動問題進行了分析，所用模型也為壓電功能梯度板，形狀為矩形。

考慮到一般的有限元軟件只能分析參數均勻的壓電結構，而本文需要對材料參數呈梯度變化的壓電結構進行分析，故采用ANSYS 12.0中的APDL語言進行編程，實現材料的梯度變化，從而實現對功能梯度材料的振動頻率進行模擬。

1　基本理論與公式

對于一塊壓電梯度板，沿著z軸進行了極化，在彈性體內沿x，y，z方向的運動平衡方程為

其中：fx，fy，fz分別為沿著x，y，z方向的單位體積的體積力；c為材料阻尼系數，u為位移。

壓電材料的電學平衡方程為

其中：Dx，Dy，Dz分別是x，y，z方向的電位移

線性壓電梯度材料的本構方程為

其中：σij為應力張量，Di為電位移向量，εkl為應變張量，Ek為電場強度向量，cijkl為彈性常數，eikl為壓電應力系數，ξik為介電常數。

在這里，材料力學和電學常數不是固定的，它們都沿著板厚的方向進行變化。變化規律則可用同一函數

矩陣形式為來表示，其中K可以代表彈性剛度系數、壓電常數或應變介電系數，K0是相應的材料常數在處的值[6]。

根據有限元的基本理論，材料的有限元單元耦合方程為

其中：[Kuu]是結構剛度矩陣，[Kφφ]是介電常數矩陣，[Kuφ]是壓電耦合矩陣，是作用的邊界條件。

2　參數分析與APDL語言程序

運用ANSYS進行有限元分析主要包括如下步驟：建立模型、定義參數、劃分網格、問題求解。而APDL語言的作用在于可將輸入靈活化，使用者可根據自身需要輸入自己設定的函數或者分析標準，可以說這是一種比較智能的技術措施。這種分析手段充分給予使用者自主能力，可以讓使用者自由修改設計或分析屬性。在傳統有限元分析的基礎上，該語言擴充了額外的分析能力，對于更高級的靈敏度研究、參數化建模也有著很好的分析能力[7]。

不同于一般的建模方式，功能梯度材料的性能是沿厚度方向變化的，因此需要對其進行分層建模，但是這種建模也難以脫離基本的層合板理論，可以視為基本層合板理論的一種延伸。建模時可根據計算的精度和計算機的運算能力確定所需要的層數。在進行模型網格劃分時，需要給每一層模型賦予材料屬性[8]。由此可知，當需要按照要求變化數據時，就需要采用APDL語言來進行編程計算。

利用ANSYS分析時，采用Solid98單元，這是一種10節點的Tetrahedral，該單元在分析體模型或劃分不規則形狀時特別有優勢[9-10]，如圖1所示。

圖1　Solid 98單元Fig.1 Solid 98 elem ent

Solid98單元共有10個節點，分別為圖中的I、J、K、L、M、N、0、P、Q、R[11]。在單元中，可以根據需要控制其自由度，而自由度是由KEYOPT（1）這一選項的值來確定的[12-14]。在對壓電材料進行分析時，通常把KEYOPT（1）的值設置為3，相應的自由度分別為UX、UY、UZ和VOLT。

采用APDL語言編寫的計算程序為

3　算例分析

考慮一個四邊簡支的功能梯度壓電板，板的長度和寬度分別為a= 1 m和b = 1 m，板厚為h并且滿足關系式：2h/a = 0.1，0.2，0.3，假設壓電材料PZT-4材料為功能梯度板的底面材料，其彈性系數、密度的材料常數如表1所示[10]。功能梯度材料的性能參數變化規律為，材料屬性梯度變化系數k = 0，0.1，1.0，2.0，3.0。以下計算功能梯度壓電板在四邊簡支情況下的自振頻率。

表2給出了不同梯度變化情況下功能梯度壓電材料板的固有頻率，并與文獻[15]的有限元計算結果作了比較。

由數據分析可知，對與梯度分布情況相同的壓電板，隨著板厚的增加，板厚的固有頻率也隨之增加。隨著壓電板屬性梯度幅度的增大，壓電板固有頻率則隨之減小。很明顯，材料屬性梯度變化系數k的改變，壓電材料的性能參數在厚度方向上也隨之發生改變。從數據可看出：對于k = 2.0，3.0，當系數變化時，頻率的下降幅度很小，但隨著板厚的增加，頻率的下降幅度越來越大。由誤差數據可以看出，隨著板厚的增加，誤差總體上呈現出下降趨勢，這是由于隨著板厚的增加，有限元劃分的網格越來越規則，因而計算精度也隨之提高。

應當指出，相比于六面體單元，文中采用的Solid 98單元適合分析形狀不規則的物體與單元，因而適用性更廣，在實際中應用更多。當然，對于實際中的有些問題，將六面體單元與四面體單元結合起來分析，可能會得到更好的效果，這也是需要進一步研究的內容。

表1　PZT-4的材料常數Tab.1 M aterial constant of PZT-4

表2　功能梯度板的固有頻率Tab.2 Natural frequency of functionally graded plate

4　結語

本文利用ANSYS的壓電分析模塊對功能梯度壓電層合板進行了分析，利用APDL參數程序化設計程序實現了性能參數的梯度化，對其振動頻率進行了計算，同時，文中采用了Solid 98單元，該單元對于構造體模型和不規則形狀的網格劃分有著獨特的優勢。通過計算結果的分析可知：固有頻率與文獻中的精確解基本一致，因此利用APDL語言對材料功能梯度化處理方法是可行的。

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（責任編輯：劉智勇）

Param eter processing and free vibration characteristic analysis of functionally graded piezoelectricm aterials

QING Guanghui，W U Hongwei
（College of Aeronautical Engineering，CAUC，Tianjin 300300，China）

Abstract：W ith the growing application of piezoelectricmaterials，the characteristic analysis of piezoelectricmaterials is takenmore andmore seriously.For the natural frequency analysis of functionally gradedmaterials，the Solid 98 element in the ANSYS 12.0 and the parameter designing of APDL language are adopted，supposing that the characteristic parametersof thematerial change alongwith the thicknessof the plate.The gradientchange about characteristic parameters of piezoelectricmaterial is realized，and natural frequency of the functionally graded piezoelectric laminate isanalyzed.

Key words：functionally gradient；piezoelectricity；ANSYS；natural frequency

作者簡介：卿光輝（1968—），男，湖南湘潭人，教授，博士，研究方向為復合材料力學.

收稿日期：2014-12-29；修回日期：2015-03-01基金項目：國家自然科學基金項目（60979001）

中圖分類號：O177.91；O241.7

文獻標志碼：A

文章編號：1674-5590（2016）01-0036-04