在教學過程中如何培養學生的數學能力

黑虎

數學能力包括運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力、建模能力和實踐能力（應用能力）以及分析問題和解決問題的能力。它們相輔相成、相互促進各自的形成和發展。下面從五個方面談如何培養學生的數學能力。

一、如何培養學生的運算能力

運算能力是數學能力的基礎，各種數學能力都離不開運算能力，所以要想培養數學能力，首先要培養運算能力。培養學生的運算能力時，老師們必須有目的、有計劃地選好題型、題量、題度。題型不能單一，題量不能過多，題度不能過難或過易。

例如，函數y=x3+ax2+bx +1的導數f'（x）滿足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常數a，b∈R。

（1） 求曲線y=f（x）在點（1， f（1）） 處的切線方程。

（2） 設g（x）=f'（x）ex ， 求函數g（x）的極值。

解：因為f（x）=x3+ax2+bx+1。

故f'（x）=3x2+2ax+b。

令x=1，得f'（1）=3+2a+b，又已知f'（1）=2a。

因此3+2a+b=2a，解得b=-3。

又令x=2，得f'（2）=12+4a+b，又已知f'（2）=-b。

因此12+4a+b=-b，解得a=-。

因此f（x）=x3-x-3x+1，從而f（1）=-。

又因為f'（1）=2×- =-3，

故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-- =-3（x-1），即6x+2y-1=0。

（2） 由（1）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x。

從而有g'（x）=（-3x2+9x）e-x。

令g'（x）=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3。

當x∈（-∞，0）時，g'（x）<0，故g（x）在（-∞，0）上為減函數；

當x∈（0，3）時，g'（x）>0，故g（x）在（0，3）上為增函數；

當x∈（3，+∞）時，g'（x）<0，故g（x）在（3，+∞）上為減函數。

從而函數g（x）在x1=0處取得極小值g（o）=-3，在x2=3處取得極大值g（3）=15e-3。

二、 如何培養學生的邏輯思維能力

在數學諸多能力中，邏輯思維能力是核心，其他能力的培養都離不開邏輯思維能力，而且它還促進著人的發散思維的形成和發展。邏輯思維能力的最大功能是開發智力、培養能力，最大特點是嚴密性強。所以，可用邏輯性嚴密題來培養學生的邏輯思維能力。

例如：已知∠AOB ：∠BOC ：∠COD ： ∠DOA = 1：2：3：4。求∠BOC的取值范圍。

解：如圖1：上述各角同一方向旋轉時，由圖知∠AOB+∠BOC+∠COD+ ∠DOA= 360°

且∠AOC ：∠BOC ：∠COD ：∠DOA= 1：2：3：4

即原式=∠AOB+2∠AOB+3∠AOB+ 4∠AOB= 360°

即∠AOB= 36°

∴∠BOC= 72°

如圖2：上述各角不同方向旋轉時，由圖知：

∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA= 2∠BOC+2∠COD≤720°

（∵∠AOB=∠AOC，∠AOD= ∠AOC+∠COD）

即0°<2∠BOC+3∠BOC≤720°

∴ 0°<∠BOC≤144°

∴由圖1、圖2知0°<∠BOC≤144°

三、如何培養學生的空間想象能力

數學不僅研究客觀世界的數量關系，還能研究客觀世界的空間形式。空間想象能力的培養對人的立體思維的形成和發展有很大幫助，空間想象能力是日常生活中不可缺少的一種能力。如地理勘探、星體研究、建筑設計等都離不開空間想象能力，學生的空間想象能力的培養主要靠立體幾何和空間解析幾何教學。

例如：如圖3，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為，側棱長1，求證：A1B1⊥BC1。

證明：異面直線所成的角等于它們的平行線相交而成的角。連接B1C，設B1C與BC1交于點E，則E是B1C與BC1 的中點（∵BCC1 B1是長方形），過E作 ACB1的中位線EF，則EF=AB1，EF∥ AB1。

∴∠FEB就是AB1與BC1所成的角。

Rt ABB1中， AB1=Rt BB1C1中，BC1=。

即 EB= EF=。

正三角形ABC中，中線BF=×=。

在 EFB中EF 2+ EB 2=FB 2，+= 。

即 ∠FEB=90°

∴AB1⊥BC1。

四、 如何培養學生的分析問題和解決問題的能力

分析問題是解決問題的途徑，分析問題能力又是解決問題能力的條件，解決問題能力是分析問題能力的結果。它們相輔相成，互相促進各自的存在和發展，它們在數學諸能力形成中起著關鍵作用，任何能力最后都體現在解決問題上。它們的最終目的是解決問題，又是實踐能力和建模能力的基礎。分析問題和解決問題能力是在整個數學能力中無處不在的普遍能力。所以，培養學生的此能力要選思維方式比較多的題為好。

例如：某城市在市中心廣場建筑一個花壇，花壇分為6個部分（如圖4），現要栽種4種不同顏色的花，每部分要種同一種顏色的花且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花。求共有多少種栽種方法。

分析：因為1﹑2﹑3部分相互相鄰。

所以1﹑2﹑3部分栽種方法共有4×3×2種；第4部分有兩種選法與第二部分相同和相異。（與1﹑2﹑3部分相同的用@代表，如與第二部分相同的用②代表，不同的用“新”代表。）

若4與2相同且5與3相同時6只選另一種（新）。若4與2相同但5選另一種（新）時6只選3。

若4與2不同選另一種（新）且5與2相同時6選3或另一種（新）。

若4選另一種（新）且5與3相同時6選另一種（新）。

解：栽種方法共有

即栽種方法共有4×3×2×（1×2+1×3）=120種。

五、 如何培養學生的實踐能力和建模能力

建模問題是數學教學中的舊話題新說法，沒有建模，數學與客觀世界無法聯系。但傳統教學一直沒重視培養學生的建模能力。課標教學全日制高中課本中無處不在研究建模問題，所以說建模問題是素質教育的產物。實踐能力是建模能力的一個分支，且建模問題離不開應用問題，因為很多建模都在應用的基礎上體現出來。應用能力和建模能力是數學諸能力的發展、概括和總結，是創新能力的基礎、數學諸能力發展的極點。也是開發智力、培養能力的最佳途徑。培養建模能力最好利用完全開放題，培養實踐能力半開放題為佳。

例1：做一道利用二次函數的數學模型。

這是一道條件和結論都是開放的數學題，會給學生一個自由發展的空間，只有在這種環境下才能發揮學生個性和特長。讓學生任選題材，讓學生自己掌握題的難度和強度，在這種環境下培養出來的學生的能力總比在保守環境下培養出來的學生的能力強。所以說建模問題是素質教育的必經之路。

例2：1732年8月，《紅樓夢》中人物史湘云與柳湘蓮結婚后，雙方都沒有足夠的錢去購買房院，于是他們找薛蟠借住每年相當于210元價錢的10000M2的房院。并且借據上注明，歸還本房院時對方要還本付息，年利率為8﹪，但借據上沒有說明按單利計算還是復利計算，過280年后的2012年，本房院劃歸為世界文化遺產。雙方當事人的后代到法院打官司，說是利息支付不公平，要求法官判明是非。法官很納悶，這么清楚的事還有必要打官司嗎？請你們給法官解釋清楚他們為什么說利息支付不公？

分析：這是一道結論開放型的題，利息可以按單利計算，也可以按復利計算。

解：按單利計算，本金=210×280=58800元。利息=16.8×（279+278+277+……+1） =656208元。

共計：本金+利息=715008元≈71.5萬元。

按復利計算，本金=210×280=58800元。

利息=16.8〔（1+0.08）278 +（1+0.08） 277+（1+0.08） 276+……+（1+0.08）+（1+0.08）0〕

=210（109.3186-1）=210（109×100.3186-1）

=210（109×2.08257-1）≈4373億元。

培養學生的數學能力是教學一線的數學老師們長期堅持的新課題，老師們在教學過程中有意注意上述五個方面，會得到事半功倍的效果。培養數學能力不是課本的簡單改變，而是老師們知識的更新、教法的改進。只有這樣才能培養出具有數學諸能力的合格人才。