巴拿赫代數上錐b-度量空間中壓縮映射不動點定理

張麗娟,薛西鋒

(西北大學數學學院,陜西西安　710127)

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巴拿赫代數上錐b-度量空間中壓縮映射不動點定理

張麗娟,薛西鋒

(西北大學數學學院,陜西西安710127)

摘要：在對巴拿赫代數上的錐度量空間的壓縮條件研究的基礎上,運用迭代和限制譜半徑的方法,證明了巴拿赫代數上的錐b-度量空間的壓縮映射不動點定理,將錐度量空間的壓縮條件推廣到巴拿赫代數上的錐b-度量空間中.

關鍵詞：巴拿赫代數上的錐b-度量空間;迭代法;譜半徑;不動點定理

1　引言

不動點定理是泛函分析中的重要內容之一,巴拿赫代數上的錐度量空間已經有很多成果,其中文獻[1]利用迭代法給出了巴拿赫代數上錐度量空間中不動點定理,而文獻[2]證明了在列緊的錐b-度量空間中的不動點定理,文獻[3]提出了錐b-度量空間中壓縮映射不動點定理.本文所研究的巴拿赫代數上的錐b-度量空間中壓縮映射不動點定理是在巴拿赫代數上的錐度量空間以及錐b-度量空間的基礎上的推廣.

2　預備知識

定義2.1設X是非空集, A是巴拿赫代數, s≥1為給定的實數,假設映射d : X×X→A,對于任意的x,y,z∈X,滿足:

(1)θ≤d(x,y)并且d(x,y) =θ當且僅當x = y;

(2) d(x,y) = d(y,x); (3) d(x,y)≤s(d(x,z) + d(z,y)),則稱(X,d,s)為巴拿赫代數A上的錐b-距離空間.

定義2.2設A是含單位元巴拿赫代數,若x∈A,則x的譜半徑

注2.1若r(x)＜1,則e?x可逆.

注2.2如果r(k)＜1,則‖kn‖→0 (n→∞).

定義2.3設(X,d,s)是巴拿赫代數A上的錐b-距離空間,映射T : X→X ,如果存在向量k∈P并且r(k)＜1,對于任意的x,y∈X,有d(Tx,Ty)≤kd(x,y),則T有不動點.

引理2.4[2]設A是巴拿赫代數,向量x,y,k∈A,如果x,y可交換,則下列式子成立:

3　主要結果及其證明

定理3.1設(X,d)是巴拿赫代數A上完備的錐b-距離空間,系數s≥1, P是A上的體錐,向量λi∈P,其中r(λi)＜1,i=1,2,3,4且,若映射T : X→X滿足壓縮條件d(Tx,Ty)≤λ1d(x,Tx) +λ2d(y,Ty) +λ3d(x,Ty) +λ4d(y,Tx),?x,y∈X.則T在X上存在不動點,并且對于任意的x∈X,迭代序列{Tnx}收斂于該不動點,如果滿足則T的不動點唯一.

證明給定x0∈X,令x1= Tx0,xn+1= Txn,則

即得(e?λ1?sλ4)d(xn,xn+1)≤(λ2+ sλ4)d(xn?1,xn),同理

即得(e?λ2?sλ3)d(xn,xn+1)≤(λ1+ sλ3)d(xn,xn?1),綜上可得

令r{[2e?λ1?λ2?s(λ3+λ4)]?1[λ1+λ2+ s(λ3+λ4)]} =λ,因此

由r(λ)＜1,則‖λn‖→0 (n→∞),根據定理知xn為柯西點列,由X的完備性可得,存在x?∈X,使得xn→x?(n→∞).下面證明x?為T的不動點.

整理得(e?sλ1?s2λ4)d(x?,Tx?)≤(s2λ2+ s2λ4)d(xn,x?) + (s2λ2+ sλ3+ s)d(x?,xn+1).同理可證

整理得(e?sλ2?s2λ3)d(x?,Tx?)≤(s2λ1+ s2λ3)d(xn,x?) + (s2λ1+ sλ4+ s)d(x?,xn+1),綜上可得

則d(xn,x?)→θ(n→∞).即得d(x?,Tx?) =θ,即證x?為T的不動點.

下面證明不動點的唯一性.不妨設y?為T的另一個不動點,

定理3.2設(X,d,s)是巴拿赫代數A上完備的錐b-距離空間,系數s≥1, P是A上的體錐,其中α,β,γ,δ,ξ∈P.若映射T : X→X滿足壓縮條件:

證明給定x0∈X,令xn= Txn?1,若對某個n,使得xn= xn?1,則xn?1為T的不動點,否則d(xn,xn?1)＞θ,

整理得(e?γ?δ)d(xn,xn+1)≤(α+β+δ)d(xn?1,xn).又因為r(γ+δ)＜1,則

下面證明r[(e?γ?δ)?1(α+β+δ)]＜1.因為r(α+β+γ+2δ)＜1,故α+β+γ+2δ＜e, 得e?γ?δ＞α+β+δ而r(γ+δ)＜1,得γ+δ＜e, (e?γ?δ)?1(α+β+δ)＜e, 故r[(e?γ?δ)?1(α+β+δ)]＜1,根據定理知xn為柯西點列,由X的完備性可得,存在x?∈X,使得xn→x?(n→∞),由T的連續性知, Txn→Tx?(n→∞),即

下面證明x?為T的不動點.

若Tx?= x?,則x?為T的不動點,否則d(x?,Tx?)＞0,

由于d(x?,Tx?)＞θ則e?(α+β+γ+ 2δ)≤θ與已知r(α+β+γ+ 2δ)＜1矛盾,即證Tx?= x?.下面證明不動點的唯一性.不妨設y?為T的另一個不動點,

參考文獻

[1] Xu Shaoyuan, Stojian Radenovic. Fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings on cone metric spaces over Banach algebras without assumption of normality [J]. 2013,320:1-12.

[2] Monica Cosentino, Peyman Salimi , Pasquale. Fixed point result on metric-type spaces [J]. 2010,102:1238-1249.

[3] Huang H, Xu S Y. Fixed point theorems of contractive mapping in cone b-metric spaces and applications [J]. Fixed Point Theory and Applications, 2013,112:1-10.

[4] Jankovic S, Kadelburg Z, Radenovic S. On cone metric spaces: a survey [J]. Nonlinear Analysis, 2011,4(7):2591-2601.

[5] Hussian N, Shah M H. KKM mappings in cone b-metric spaces [J]. Comput. Math. Appl., 2011,62:1677-1684.

[6] Kadelburg Z, Radenovic S. A note on various types of cones and fixed point results in cone metric spaces [J]. Asian J. Math. Appl., 2010,59:3148-3159.

2010 MSC: 60B12

Fixed point theorems of contraction mapping in cone b-metric spaces with Banach algebra

Zhang Lijuan , Xue Xifeng
(College of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China)

Abstract:This article is based on the taper on the Banach algebra space based on the study of the compression conditions, using the method of iteration and restrictions on the spectral radius, proves that the cone on the Banach algebra b-metric space compression mapping fixed point theorem, the taper in the space volume contractive conditions to promote the cone on Banach algebra b-metric space.

Key words:cone b-metric spaces with Banach algebras, spectral radius, iteration,fixed point theorems

作者簡介：張麗娟(1989-),碩士生,研究方向：非線性泛函分析.

基金項目：陜西省自然科學基金(2012JM1017).

收稿日期：2015-10-04.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.008

中圖分類號：O177.91

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0055-05