多目標優化問題擬近似有效解非線性標量化的一個注記

李小燕,高英

(重慶師范大學數學科學學院,重慶400047)

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多目標優化問題擬近似有效解非線性標量化的一個注記

李小燕,高英

(重慶師范大學數學科學學院,重慶400047)

摘要：主要研究多目標優化問題擬近似(弱)有效解.在沒有任何凸性假設下,通過非線性標量化方法給出了多目標優化問題擬近似(弱)有效解的充分條件.主要結果修正了已有文獻中的錯誤,并通過例子對其錯誤進行了說明.

關鍵詞：多目標優化;擬近似有效解;非線性標量化

1　引言

在多目標優化問題中,解的定義,最優性條件和對偶理論是十分重要的課題,對其理論研究也越來越多[1-21].其中,如何定義解的概念是首要的問題.近幾十年來,多目標優化問題近似解的概念陸續被許多學者提出.文獻[10-11]首先引進了ε-有效解的概念.文獻[12]研究了六種不同類型的ε-有效解.后來,又有一些學者提出幾種其他類型的ε-有效解[13-14].受文獻[14]研究工作的啟發,文獻[15-16]又提出了近似Benson真有效解的概念.有了這些解的概念之后,對它們的理論研究也隨之豐富起來[15-20].本文主要針對文獻[20]中的擬近似(弱)有效解,在沒有任何凸性條件下研究其非線性標量化刻畫,修正文獻[20]中主要結果的錯誤.

令Rn為n維歐氏空間, Rn+為其非負象限.本文將用到如下的偏序關系:x≤y的否定記為x /≤y.

文獻[20]考慮如下的多目標優化問題:

其中, X?Rn非空, fi: X→R, i = 1,···,m.記M = {1,···,m}.

(i)稱x0為(MOP)的擬有效解,若

(ii)稱x0為(MOP)的擬弱有效解,若

文獻[20]針對定義1.1的兩種近似解,利用一種非線性標量化函數給出了其最優性充要條件.但充分性的證明存在錯誤.本文將通過例子說明其充分性不一定成立,并對該錯誤進行修正,建立正確的充分條件.

2　主要結果

文獻[20]利用文獻[21]中的定理,研究了(MOP)的擬弱有效解非線性標量化,得到了如下結果.

定理2.1[20]設x0∈X,則x0為(MOP)的擬弱有效解當且僅當對任意的y?i＜ fi(x0), i∈M, x0是如下標量化問題的擬最優解

注意到文獻[20]中,對定理2.1充分性的證明用到了如下的結果:對任意的

則有

事實上,以上結論不一定成立,見如下例子.

而

這一錯誤導致定理2.1的充分性結果不一定成立,參見如下的例子.

例2.2在(MOP)中,令

則定理2.1的充分條件是成立的,即對任意的y?i＜fi(x0) = 0,i = 1,2, x0是(SP1)的一個擬最優解.但x0= 0不是(MOP)問題的擬弱有效解.

事實上,

也就是x0= 0不是(MOP)的擬弱有效解.

需證

上式等價于

即

即

即

即

即

即

即

令

即

下面,給出正確的充分性結果.

因此,若

則有

利用上面的結果給出如下正確的充分條件.

定理2.2設x0∈X,若對任意的是如下的標量化問題的擬最優解

則x0是(MOP)的一個擬弱有效解.其中

或

或

類似文獻[20]定理2.1的證明,可得0＞0的矛盾.因此x0= 0是(MOP)的一個(ε,ˉε)-擬弱有效解.

注2.2定理2.1的必要性是成立的.但定理2.2的必要性不一定成立.參見如下的例子.

例2.3在(MOP)中,令

容易證明x0= 0是(MOP)的(ε,ˉε)-擬弱有效解.令

則

可以發現文獻[20]中定理4和定理5的證明過程中也出現了類似的錯誤.首先給出文獻[20]中的定理4和定理5,見定理2.3和定理2.4.

定理2.3[20]設x0∈X,若對任意的i∈M, x0是如下標量化問題的擬最優解

則x0是(MOP)的擬有效解.其中

定理2.4[20]設x0∈X,若對任意的i∈M, x0是如下標量化問題的擬最優解

則x0是(MOP)的擬有效解.其中

在文獻[20]中對定理2.3的證明用到了如下結果:由

有

根據前面的討論上式是不一定成立的.因此,定理2.3不一定成立.類似地可以給出修正的充分條件(見定理2.5).事實上,由(2.2)式可以得到:

同樣地,文獻[20]中對定理2.4的證明也出現了類似的錯誤,作者用到了如下的結果:由

顯然,上式不一定成立.因此,文獻[20]定理5不一定成立.此外,由(2.3)式和(2.4)式可得:

由此,可以給出修正的充分條件(見定理2.6).

定理2.5設x0∈X,若對任意的i∈M, x0是如下標量化問題的擬最優解

則x0是(MOP)的擬有效解.其中

定理2.6設x0∈X,若對任意的i∈M, x0是如下標量化問題的擬最優解

則x0是(MOP)的擬有效解.其中

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2000 MSC: 90C32, 90C46, 90C47

A note on nonlinear scalarizations of approximate quasi efficient solutions

Li Xiaoyan , Gao Ying
(Department of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 400047, China)

Abstract:In this paper, we consider approximate quasi (weakly) efficient solutions of multiobjective programming problems and give some sufficient conditions for these approximate solutions via nonlinear scalarization without any convexity assumptions. Our results correct the mistakes of several existence results. And some examples are given to illustrated the main results.

Key words:multiobjective programming problems, approximate quasi efficient solutions, nonlinear scalarization

通訊作者：高英(1982-),博士,副教授,研究方向:最優化理論與方法.

作者簡介：李小燕(1990-),碩士生,研究方向：多目標優化.

基金項目：國家自然科學基金(11201511);重慶市科委項目(cstc2015jcyjA00005);重慶市教委項目(KJ1500309).

收稿日期：2015-05-04.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.005

中圖分類號：O221.6

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0026-10