一類新無限維李子代數的同構和同態

余德民

(湖南理工學院數學學院,湖南岳陽　414000)

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一類新無限維李子代數的同構和同態

余德民

(湖南理工學院數學學院,湖南岳陽414000)

摘要：構造了一類由三個基本元生成的無限維李代數.證明了這類無限維李代數是Virasoro-like李代數的推廣.此外,研究了這類李子代數同構和同態.

關鍵詞：李代數;同構;同態

1　引言

Virasoro-like李代數是在上世紀八十年代作為擬多項式環的一階微分算子代數被引入的, 90年代在理論物理的廣義對稱性研究中產生了同樣的代數結構.設C為復數域, Z為整數加群,文獻[1]定義了一類Virasoro-like李代數,并研究了Virasoro-like李代數的單性,設是由L(a1,a2)(?a1,a2∈Z),生成的復數域C上的線性空間,李運算定義如下:

此運算在基向量上線性擴張,并滿足反對稱性和Jacobi不等式,稱為Virasoro-like李代數.文獻[2]研究了Virasoro-like李代數的導子代數和導子代數的自同構群,文獻[3]研究了帶參數的α,β的Virasoro-like的導子代數,文獻[4]研究了廣義Virasoro李代數.文獻[5-9]研究了Virasoro李代數及其推廣的Virasoro李代數.本文推廣了Virasoro-like李代數和Virasoro-like李代數,構造了李代數g,并發現李代數g是一類特殊的李代數,有一些良好的性質. g為C上線性空間,其基向量為:

在g上定義李運算為:?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z,

其中?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z.

然后在基上雙線性擴張.可驗證運算滿足反對稱性和Jacobi恒等式,從而g為無限維李代數.設由A(k1,k2,k3)生成的子代數為g1(?k1,k2,k3∈Z),由B(k1,k2,k3)生成的子代數為g2(?k1,k2,k3∈Z),由C(k1,k2,k3)生成的子代數為g3(?k1,k2,k3∈Z),由A(k1,k2,k3),B(q1,q2,q3)生成的子代數為g4(?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z),由A(k1,k2,k3),C(q1,q2,q3)生成的子代數為g5(?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z),由B(k1,k2,k3),C(q1,q2,q3)生成的子代數為g6(?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z).

本文主要研究了李代數g的的李子代數g1,g2,g3,g4,g5,g6間的同構,同態.

2　主要結果

構造g1到g2映射如下:

f1在g1的基向量A(k1,k2,k3)上線性擴張.

定理2.1 f1是g1到g2同構.

證明從構造知f1是g1到g2同構的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

從而f1是g1到g2同構.

構造g1到g3映射如下:

f2在g1的基向量A(k1,k2,k3)上線性擴張.

定理2.2 f2是g1到g3同構.

證明從構造知f2是g1到g3同構的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

從而f2是g1到g3同構.

構造g2到g3映射如下:

f3在g1的基向量B(k1,k2,k3)上線性擴張.

定理2.3 f3是g2到g3同構.

證明從構造知f3是g1到g3同構的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

從而f3是g2到g3同構.

構造g1上的自同態映射如下:

f4在g1的基向量A(k1,k2,k3)上線性擴張.

定理2.4 f4是g1的單自同態.

證明從構造知f4為g1上的線性映射,且是單射.

在定理2.4中,單自同態f4有如下特殊情形.當n = 1時, f4為恒等同構.當n1=?1 時,f4為同構.構造g2上的自同態映射如下:

f5在g1的基向量B(k1,k2,k3)上線性擴張.

定理2.5 f5是g2的單自同態.

證明從構造知f5為g2上的線性映射,且是單射.

在定理2.5中,單自同態f5有如下特殊情形.

當n = 1時, f5為恒等同構.當n1=?1時, f5為同構.構造g3上的自同態映射如下:

f5在g1的基向量C(k1,k2,k3)上線性擴張.

定理2.6 f6是g3的單自同態.

證明從構造知f6為g3上的線性映射,且是單射.

在定理2.6中,單自同態f6有如下特殊情形.

當n = 1時,f6為恒等同構.當n1=?1時,f6為同構.

構造g4到g4映射如下:

定理2.7 f7是g4的自同構.

證明從構造知f7是g4到g4同構的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

從而f7是g4到g4同構.

構造g5到g5映射如下:

f8在g5的基向量A(k1,k2,k3),C(k1,k2,k3)上線性擴張.

定理2.8 f8是g5的自同構.

證明從構造知f8是g5到g5同構的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

故f8是g5到g5同構.

參考文獻

[1] Zhang H, Zhao K. Represent of Virasoro Lie algebra and its q-analog [J]. Comm. Alg., 1996,24(14):4361-4372.

[2]姜翠波,孟道驥. Virasoro-相似代數的導子代數[J].數學進展, 1998,27(2):175-184.

[3]徐海霞,盧才輝.無限維李代數L(α,β)的導子代數[J].數學學報(中文版), 1998,41(4):859-864.

[4] Su Y, Zhao K. Generalized Virasoro and Super-Virasoro Algebras and modules of the intermediate series [J]. J. Algebra, 2002,252:1-19.

[5]余德民,盧才輝. Virasoro李代數的子代數若干結果[J].數學學報(中文版), 2006,49(3):633-638.

[6]余德民,梅超群.一類無限維半單李代數[J].系統科學與數學(中文版), 2008,28(9):1101-1108.

[7]余德民,盧才輝.李代數L(Z,f,δ)的特殊性質[J].數學進展, 2006,35(6):707-711.

[8]余德民,盧才輝. Virasoro李代數的子代數的同構及生成元[J].系統科學與數學(中文版), 2008,28(1):24-29.

[9]余德民,梅超群,郭晉云.一些特殊項鏈李代數的同態[J].數學年刊(中文版), 2009,30(4):551-562.

2010 MSC: 17B05, 17B30

Isomorphisms and homomorphisms of a new infinite dimensional Lie algebra

Yu Deming
(Department of Mathematics, Hu′nan Institute of Science and Technology, Yueyang 414000, China)

Abstract:A new infinite dimensional Lie algebra generating by three basic element is a generalization of Virasoro-like Lie algebra. Also, isomorphisms and homomorphisms of this class of algebra are studied.

Key words:Lie algebra, isomorphisms, homomorphisms

作者簡介：余德民(1975-),博士,副教授,研究方向:李代數、代數表示論.

基金項目：湖南省教育廳一般項目(14C0523);湖南省重點建設學科建設項目.

收稿日期：2015-09-10.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.003

中圖分類號：O152.5

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0014-05