分段函數常見的題型及解法簡析

羅青松

中圖分類號：G633.34 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）02-0188-02

所謂分段函數指的是自變量在不同的取值范圍內，有不同的對應法則的函數；它是一個函數，卻又常常被學生誤認為是幾個函數。分段函數由于是分段定義的，與一般函數有著明顯的區別，學生往往受負遷移的影響，對分段函數問題的認識不清或思維片面產生解題錯誤。由于它在理解和掌握函數的定義、函數的性質等知識的考查上有較好的作用，時常在高考試卷中"閃亮"登場，本人就分段函數常考的幾類題型做了一些整理與思考，分享如下：

題型一：求分段函數的定義域和值域，最值

例1.求函數f（x）=2x+2，x∈[-1，0]-12x，x∈（0，2）3，x∈[2，+∞）的定義域、值域，最大值。

【解析】作出函數圖象，利用"數形結合"易知f（x）的定義域為[-1，+∞），值域為（-1，3]，f（x）max=3；當然本題也可以分段求出各段的值域（分析各段的單調性）及最值，然后給出結論。

【小結】分段函數的定義域和值域都是取各段的并集，最值則是各段中的最大者（或最小者）。

題型二：求分段函數的函數值

例2.（05年浙江理）已知函數f（x）=|x-1|-2，（|x|≤1）11+x2，（|x|>1）求f[f（12].

【解析】因為f（12）=|12-1|-2=-32，所以f[f（12）]=f（-32）=11+（-32）2=413.

變式：求f（a）呢？（對|a|與1的大小分類討論）

【小結】求分段函數的函數值關鍵是根據自變量的不同范圍找到對應的表達式，代入求值；若范圍不能確定，則需要分類討論；若有多層函數符號則往往由內向外脫掉函數符號"f"，再進行相關計算。

題型三：與分段函數有關的方程或不等式問題

例3.1）（04年湖南理）設函數f（x）=x2+bx+c，x≤0，x≤0，2，x>0若f（-4）=f（0），f（-2）=-2則關于x的方程f（x）=x解的個數為 （C）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：本題的分段函數中含參，先代入條件求出bc，再準確作出相關函數的圖象解答。

2）（07年湖南文.理）函數f（x）=4x-4，x≤1x2-4x+3，x>1的圖象和函數g（x）=log2x的圖象的交點個數是（C）

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】對于（1），（2）這類方程的解的個數問題通常轉化為兩函數圖象的交點個數問題，所以關鍵是準確地利用分段函數圖象，考查"數形結合"的數學思想。

3）設函數f（x）=2-x-1（x≤0）x12（x>0），若f（x0）>1，則x0的取值范圍是（D）

A.（-1，1） B.（-1，+∞）

C.（-∞，-2）U（0，+∞） D.（-∞，-1）U（1，+∞）

【解析1】畫出y=f（x）和y=1的大致圖象，易知f（x0）>1時，所對應的x0的取值范圍是（-∞，-1）U（1，+∞）.

【解析2】因為f（x0）>1，當x0≤0時，2-x0-1>1，解得x0<-1；

當x0>0時，x012>1，解得x0>1，

綜上x0的取值范圍是（-∞，-1）U（1，+∞）.故選D.

【小結】與分段函數有關的方程或不等式問題，理論上可以用代數法，主要考查"分類討論"的數學思想，易錯點是忽略各段中自變量的自身范圍；而更常用的卻是利用相關函數的圖象解決問題，重視"數形結合"的數學思想。

題型四：判斷分段函數的單調性或求單調區間

例4.1）判斷函數f（x）=x3+x（x≥0）-x2（x<0）的單調性.

【解析】當x≥0時，f（x）=3x2+1≥1恒成立，所以f（x）是單調遞增函數，當x<0時，f（x）=-2x>0恒成立，f（x）也是單調遞增函數，且f（x）連續.所以f（x）在R上是單調遞增函數；或畫圖易知f（x）在R上是單調遞增函數.

2）（2009湖南文.理）設函數y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義，對于給定的正數K，定義函數fK（x）=f（x），f（x）≤KK，f（x）>K

取函數f（x）=2-|x|。當K=12時，函數fK（x）的單調遞增區間為（C）

A.（-∞，0） B.（0，+∞） C.（-∞，-1） D.（1，+∞）

【小結】分段函數的單調性應分段考慮，若函數圖象在定義域上一直上升或下降則函數在整個定義域上單調，否則單調區間必須寫成多個區間，且不能用"U"連接。

題型五：判斷分段函數的奇偶性

例5.判斷函數f（x）=x2（x-1），x>00，x=0-x2（x+1），x<0的奇偶性.

【解析】當x>0時，-x<0，f（-x）=-（-x）2（-x+1）=x2（x-1）=f（x），

當x=0時，f（-0）=f（0）=0，

當x<0，-x>0，f（-x）=（-x）2（-x-1）=-x2（x+1）=f（x）

因此，對于任意x∈R都有f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數.

當然，本題如果是小題也可以通過作出函數圖象，判斷是否關于原點或y軸對稱作出判斷。

【小結】判斷分段函數的奇偶性易錯點：求f（-x）時常忘記由于-x的范圍發生改變，對應的表達式也對應改變；其次必須是各段的奇偶性都一致才能下結論。

題型六：利用奇偶性或周期性求分段函數的解析式

例6.已知函數f（x）是R上的奇函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=x（1+x），求函數f（x）在（-∞，0]上的解析式。

分析：此種情形較簡單，問什么設什么，設x∈（-∞，0]，則-x∈[0，+∞），根據已知先求出f（-x）的解析式，再運用f（-x）與f（x）的關系即可解決問題。

【解析】設x∈（-∞，0]，則-x∈[0，+∞），∵當x∈[0，+∞）時，有f（x）=x（1+x），

∴f（-x）=（-x）[（1+（-x）]，又∵f（-x）=-f（x）

∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）（x≤0）

變式1：已知函數f（x）定義在R上，且周期為2，當x∈[-1，1]時，f（x）=-x2+1，求f（x）在區間[1，3]上的解析式；

分析：本題的關鍵是如何利用已知條件將x∈[1，3]轉化到x∈[-1，1]這個區間上求相應的解析式，考慮周期性，則x-2∈[-1，1]，由此先求出f（x-2）的解析式，再運用f（x）=f（x-2），即可解決問題。

【解析】設x∈[1，3]，則x-2∈[-1，1]，故f（x-2）=-（x-2）2-1=-x2+4x-3，∵函數f（x）的周期為2，∴f（x）=f（x-2）=-x2+4x-3（1≤x≤3）。

變式2：已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且周期為3，當x∈[-3，-2]時，f（x）=x2+x，求f（x）在[-1，0]上的解析式。

分析：此種情形相對較復雜，須同時應用奇偶性和周期性求解析式，但理清思路可化繁為簡。

【解析】設x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，-x-3∈[-3，-2]，

∵當x∈[-3，-2]時，有f（x）=x2+x，

∴f（-x-3）=（-x-3）2+（-x-3），

又∵f（x）是周期為3的奇函數，

∴f（-x-3）=f[-（x+3）]=-f（x+3=-f（x），

即f（x）=-f（-x-3）=-x2-5x-6（-1≤x≤0）。

【小結】此類問題的關鍵是"問誰設誰"，再結合奇偶性或周期性將未知量轉化到已知區間上求解，最后又要利用奇偶性或周期性回到所求，得到結果。

當然，本人對于分段函數的認識還較膚淺，也不能將所有問題都全面概括，但是，本人認為在以上分段函數性質的考查中，不難得到一種解題的重要途徑，若能畫出其大致圖象，定義域、值域、最值、單調性、奇偶性等問題就會迎刃而解，方程、不等式等可用數形結合思想、等價轉化思想、分類討論思想及函數思想來解，使問題得到簡化，而且效果明顯。