一種新的平移不變Shearlet變換域圖像去噪算法

石滿紅，劉 衛

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一種新的平移不變Shearlet變換域圖像去噪算法

石滿紅1，劉 衛2

（1. 安徽科技學院信息與網絡工程學院，安徽 鳳陽 233100；2. 中國科學院合肥智能機械研究所，安徽 合肥 230031）

提出了一種基于雙邊濾波和正態逆高斯模型的平移不變Shearlet變換域圖像去噪算法。對圖像進行平移不變Shearlet變換分解，低頻子帶采用快速雙邊濾波算法處理，高頻子帶采用正態逆高斯模型對其進行建模，在貝葉斯最大后驗概率估計準則下推導出與正態逆高斯模型相對應的閾值函數表達式，從而達到去除圖像噪聲的目的。在對不同類型的圖像進行仿真實驗，其結果表明了本文方法不僅具有良好的視覺效果，而且具有較高的峰值信噪比和平均結構相似性。

圖像去噪；平移不變Shearlet變換；雙邊濾波；正態逆高斯模型；貝葉斯估計

0 引言

圖像在采集和傳輸的過程中會不可避免地受到噪聲污染，噪聲的存在降低了圖像的分辨率。因此，如何有效的去除噪聲，成為了圖像處理中的經典問題。傳統的圖像去噪方法主要有空域低通濾波、統計濾波及頻域濾波等，雖然這些方法對噪聲有一定的抑制效果，但是損失了圖像的許多細節信息，會造成去噪圖像模糊，產生振鈴現象。小波變換具有良好的時頻域局部化性質，基于小波變換域的圖像去噪方法，能夠較好地保持圖像的細節信息，成為目前常用的去噪方法之一。小波域圖像去噪方法中最為著名的是Donoho[1]提出的全局閾值收縮去噪方法，閾值方法實現簡單且可達到一定的降低噪聲的效果，因而引起學者們的廣泛關注。傳統的閾值方法并未考慮各尺度內小波系數的相關性，而小波系數之間具有較強的相關性，因此學者們提出多種小波系數的先驗統計模型，以便獲得更好的去噪效果。Crouse等人[2]提出了隱馬爾科夫樹模型去噪算法，該算法時間復雜度太高且噪聲無法達到有效去除，2000年Chang等人[3]提出了基于廣義高斯分布模型Bayes Shrink去噪算法，但丟失過多的高頻系數，使得去噪效果不理想。2002年，Sendur等人利用小波系數尺度間的相關性，提出BiShrink[4]和Local-BiShrink[5]去噪方法，其主要是用二元非高斯分布來充分體現小波系數尺度間的相關性并作為先驗分布，實驗顯示基于二元非高斯分布模型去噪效果要好于廣義高斯分布模型及隱馬爾可夫模型，但去噪效果無法進一步得到提升。文獻[6]用有限高斯混合模型來逼近小波系數分布，這些方法在一定程度上改善了去噪效果，但仍存在較大的局限性，例如缺乏局部自適應性。2005年Cho提出了多元廣義高斯分布模型[7]，該模型通過調整不同的參數可以包含Gaussian、GGD、Non-Gaussian等模型，但是去噪過程中參數的估計比較復雜。2010年，郭強等人提出了Shearlet變換域的三變量模型的圖像去噪方法[8]，但是估計結果需要用到迭代算法，復雜度較高。2014年，劉炳良[9]提出結合小波變換和雙邊濾波相結合的去噪算法，雖然取得了不錯的效果，但是其并未考慮到低頻子帶中的噪聲。Barndorff-nielesn[10]提出的正態逆高斯（NIG）模型，該模型能夠描述任意形狀的曲線，因而可以對不同程度拖尾的圖像分解系數進行準確建模，因此其作為圖像分解系數的先驗模型是合適的。

隨著小波變換的局限性（缺乏多方向選擇性和非稀疏性）日益顯現，學者們提出了多尺度幾何分析方法[11-13]。2007年Guo等人[13]提出了一種新的多尺度幾何分析方法——Shearlet變換，它能夠對圖像進行稀疏表示且產生最優逼近。與傳統的多尺度分析方法相比Shearlet沒有方向數和支撐尺寸大小的限制，Shearlet可以通過一個基函數的膨脹、剪切和平移變換來進行構造的。此外，Shearlet逆變換時只需要對正向變換中的剪切濾波器進行加工和處理，因而Shearlet實現過程具有更高的計算效率。由于Shearlet具有以上這些優點，其已應用于許多圖像處理領域，如圖像去噪[14]、邊緣檢測[15]、圖像融合[16-18]等。然而，由于Shearlet離散化過程中也采用了下采樣操作，因而其不具備平移不變性，應用于圖像去噪時易在奇異點附近產生偽吉布斯現象。平移不變Shearlet變換[15]通過級聯非下采樣金字塔濾波器和剪切濾波器，其具有Shearlet變換的所有優點且實現過程沒有采用下采樣操作，因而其具有平移不變性，所以平移不變Shearlet變換更適合于圖像去噪工作。

噪聲圖像經多尺度幾何變換后，雖然噪聲大部分集中高頻子帶，但是其低頻子帶仍存在一部分噪聲。本文在此基礎上提出了一種基于快速雙邊濾波[19]和正態逆高斯模型的平移不變Shearlet變換域圖像去噪算法，將平移不變Shearlet與正態逆高斯模型相結合，采樣快速雙邊濾波算法處理低頻子帶，以正態逆高斯模型為高頻系數的先驗模型，利用貝葉斯最大后驗概率估計準則，以達到去除噪聲的目的。實驗結果表明該方法能夠取得較好地去噪效果。

1 基于正態逆高斯模型的平移不變Shearlet變換域圖像去噪算法

1.1 Shearlet變換

Guo和Labate[13]在合成小波理論基礎上衍生出Shearlet變換。當維數＝2時，具有合成膨脹的仿射系統定義為：

則對于任意的∈＋，∈，∈2，Shearlet基函數定義為：

基于以上Shearlet定義，函數()的Shearlet變換為：

式中：,,分別表示圖像尺度參數、剪切方向和平移量。Shearlet變換的頻域支撐如圖1所示。

SIST用于圖像處理時，需采用離散化形式，離散化過程主要分為兩步：①首先對圖像利用非下采樣金字塔濾波器組進行多尺度分解，圖像經過級非下采樣金字塔濾波器，可以得到＋1個與原圖像大小相同的子帶圖像。②對得到的各尺度子帶圖像使用剪切濾波器組進行方向分解。經以上兩個步驟完成了SIST對圖像的分解。由于在圖像處理的過程中沒有進行采樣操作，使其具有平移不變性。更多關于SIST可以參考文獻[15]。

1.2 SIST變換域圖像去噪算法

以往基于小波變換域的圖像去噪算法，大多只是處理其高頻子帶，而認為低頻子帶中不含有噪聲。實際研究發現，含噪圖像經過小波分解，噪聲雖然主要集中于高頻子帶，但其低頻子帶中仍存在少量噪聲，如果僅僅處理高頻子帶，那么處理后的圖像視覺效果不佳，因而在設計圖像去噪算法時應考慮低頻子帶的噪聲情況。因此本文對圖像進行SIST分解后，為了減少計算負擔，首先對低頻子帶采用快速雙邊濾波[19]處理，然后對高頻子帶用NIG模型進行建模，再進行后續的處理。

圖1 Shearlet變換頻域支撐

1.2.1 NIG模型

基于統計模型的小波變換域圖像去噪算法，通常都需要知道圖像的小波變換系數的概率密度函數，然而對于一幅自然圖像，其變換系數的概率密度函數是無法準確確定的，通常需要使用經驗直方圖來近似獲得。圖像經小波變換后，其系數具有零均值，重拖尾的特點，因而Gaussian[20]、Generalized Gaussian Distribution[3]等模型都曾被用來模擬其分布情況，然而小波系數的實際分布情況與這些模型卻有些區別，通過大量實驗我們發現SIST變換系數也具有小波系數的分布特點。文獻[9]提出了一個混合模型，它由一個逆高斯分布和一個具有不同均值的高斯分布組成。由于其參數具有很強的靈活性，理論上可以描述任何形狀的曲線，因而可以作為SIST變換系數的先驗分布，其概率密度函數為：

為了檢驗使用正態逆高斯分布作為SIST系數的分布的先驗模型的合理性，我們分別使用紋理較為豐富的圖像（Barbara）及紋理較少、對比度較低的紅外圖像（Plane）作為擬合示例，圖2是分別用NIG和GGD來擬合Barbara圖像及Plane圖像經2層SIST分解（方向數為4，4）的第二層四個方向的系數分布。從圖2中我們可以看出，GGD無法很好地擬合原始系數的經驗分布，而NIG可以準確地對原始系數分布進行擬合，這種高度擬合情形也同樣出現在其他的子帶中，這再次證明了我們假定NIG為圖像的系數分布的合理性。

1.2.2 貝葉斯最大后驗概率估計

通常情況下，圖像的退化模型可以簡化為：

＝＋(5)

式中：為原始圖像；為均值為零、方差為2的服從高斯分布的噪聲；為含噪圖像。

經SIST變換后，得到：

＝＋(6)

由上假定噪聲服從高斯分布，則高斯白噪聲概率密度函數為：

令(7)式右邊的一階導數等于零，并將(4)和式(8)代入式(7)，從而得到原始系數的估計解：

利用式(9)對圖像進行去噪處理時，需要估計出正態逆高斯模型的參數、以及噪聲方差2，參數、根據不同子帶系數自適應的估計出來，因而可以自適應的處理噪聲圖像的分解系數。

1.2.3 模型參數估計

對各個子帶內對應的噪聲方差2本文采用蒙特卡洛[2]方法進行估計。參數、可以利用下式進行估計：

圖2 不同先驗模型對實際分解系數分布的擬合示意圖

1.2.4 算法主要步驟

Step1：對含噪圖像先進行四層SIST變換，方向數由粗到細尺度的方向數依次為4, 8, 8, 16，得到低通子帶和一系列帶通子帶；

Step2：采樣快速雙邊濾波算法處理低頻子帶；

Step3：運用蒙特卡羅方法估計各個子帶的噪聲方差2，再利用式(10)、(11)對每個子帶估計正態逆高斯模型的參數、；

Step5：進行逆SIST變換，從而得到去噪圖像。

2 實驗結果與分析

在仿真實驗中，對自然圖像Lena、Barbara、Peppers、紅外圖像Plane及遙感圖像（Pentagon）進行測試，加入零均值、方差為2的高斯白噪聲。將本文所提的去噪算法與Contourlet變換（CT）[11]的硬閾值算法，Mihcak等[20]人提出的LAWML（5×5）算法，非下采樣Contourlet變換[12]（NSCT）算法、基于雙樹復小波（DTCWT）的雙變量收縮（BiShrink）[5]算法以及SURE-LET[21]進行比較；然后峰值信噪比（PSNR）、平均結構相似性[22]（MSSIM）以及去噪后的視覺效果結合起來評價本文方法。其中峰值信噪比定義為：

從表1中可以看出，各種方法去噪后的PSNR均有不同程度的提高，這說明了幾種方法的有效性；其中本文的去噪方法處理后的PSNR相比其他方法是最高的。相比于CT方法的去噪效果有明顯的優勢；與LAWML及SURE-LET方法相比，本文方法獲得的PSNR值有較大的提高，平均提高在1.3dB以上；相比于其他兩種去噪方法，本文方法去噪后的PSNR也有不同幅度的提升。

從圖3、4中可以看出，BiShrink方法使用了二元收縮方法，去噪后零系數太多，細節丟失嚴重，使得去噪后的圖像過于平滑，LAWML方法獲得的圖像毛刺現象較為嚴重，本文去噪算法保留了圖像大部分的細節信息，如桌面紋理清晰可見，圖像視覺效果更好，與NSCT算法相比也有一定的程度上的改善；從圖5、6可以看出，Contourlet變換域硬閾值去噪后的圖像存在振鈴現象，LAWML和BiShrink方法去噪后的圖像整體偏暗，邊緣變得模糊，本文方法處理后的圖像減少了振鈴現象，圖像更清晰。

此外，本文方法不僅具有更好的視覺效果和較高的峰值信噪比，從表2可以看出，本文去噪后平均結果相似性也是最高的，表明本文方法去噪后的圖像保持原圖像的結構能力要高于其他方法。

3 結論

本文充分考慮了含噪圖像經SIST分解后，其高、低頻子帶中的噪聲情況，在SIST變換域中，提出了基于雙邊濾波和正態逆高斯模型的SIST變換圖像去噪算法?？焖匐p邊濾波算法用來處理低頻子帶，消除了低頻子帶中的噪聲，以NIG為先驗模型對高頻進行建模，由于模型的參數的自適應性，使得去噪閾值具有自適應性，改善了去噪效果。仿真實驗表明，本文算法無論是在主觀視覺效果還是客觀評價標準PSNR、MSSIM上都有明顯的提高和改善，在有效去除噪聲的同時，更好的保持了原圖像的細節信息，證明本文算法的有效性。

表1 不同方法去噪后的峰值信噪比（PSNR）

表2 不同方法去噪后的平均結構相似性比較（MSSIM）

圖3 噪聲方差為20的圖像（Barbara）去噪后局部放大圖

圖4 不同方法去噪后的圖像（Peppers）比較（噪聲標準差為20）

圖5 不同方法去噪后的紅外圖像（Plane）比較（噪聲標準差為20）

圖6 不同方法去噪后的遙感圖像（Pentagon）比較（噪聲標準差為20）

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A New Image Denoising Algorithm Based on Shift-invariant Shearlet Transform Domain

SHI Manhong1，LIU Wei2

(1.,,233100,; 2.,,230031,)

A novel image denoising algorithm based on bilateral filtering and the normal inverse Gaussian model in shift-invariant shearlet transform domain has been proposed. The shift-invariant shearlet transform (SIST) is utilized to decompose the noised image. The fast bilateral filtering algorithm is used to deal with the low frequency sub-band coefficients; normal inverse Gaussian model for the prior model is used to describe the distributions of the image high frequency coefficients, and corresponding threshold function is derived from the model using Bayesian maximum a posteriori probability estimation theory to get denoised image. Test on different types of images and the experimental results show that our algorithm not only has better visual quality but also has higher peak signal-to-noise ratio (PSNR) and mean structural similarity (MSSIM).

image denoising，shift-invariant shearlet transform，bilateral filtering，normal inverse Gaussian model，Bayesian estimation

TP391

A

1001-8891(2016)01-0033-08

2015-08-14；

2015-12-28.

石滿紅（1987-），女，助教，研究方向計算機輔助幾何設計。

安徽省自然基金資助項目（1508085MC55、1508085QB41）。