ILU預處理Newton—Krylov方法的潮流計算

廖小兵王文超+李奔

摘要：由于電力系統修正方程組具有高維、稀疏的特點，本文提出將預處理Krylov子空間方法應用于潮流修正方程組的求解，形成預處理NewtonKrylov的潮流計算方法。結合ILU預處理方法，比較了最常用的3類NewtonKrylov方法求解潮流方程的計算效果。通過對 IEEE30、IEEE118、IEEE300 和3個Poland大規模電力系統進行潮流計算，結果表明：3類NewtonKrylov方法是電力系統潮流計算的有效方法，呈現出良好的收斂特性和計算效率。

關鍵詞：潮流計算；修正方程組；ILU預處理；NewtonKrylov方法

中圖分類號：TM744 文獻標識碼：A

1引言

潮流計算是電力系統分析中最古老的經典課題之一。傳統的電力系統潮流計算通常以牛頓法為主[1]。牛頓法是求解非線性代數方程組的有效方法之一，它將非線性方程組的求解轉化為線性代數方程組的求解，但由于每次迭代后都需更新雅可比矩陣的元素，導致每次都需求解高維的線性代數方程組。傳統的直接法，如Gauss消去法，LU分解等，計算量和存儲量較大，且固有的前推回代過程難以并行[2-3]。迄今為止，越來越多的國內外研究人員在電力系統潮流計算中采用NewtonKrylov方法求解潮流方程[4-8]。

NewtonKrylov方法是在不精確牛頓法的基礎上，結合Krylov子空間迭代法，形成的一類新的求解非線性方程組的數值方法。這類方法結合了Newton方法的良好收斂特性，以及Krylov子空間方法的存儲量少、計算量小、易于并行等優點[9]，非常適合并行求解大規模的非線性方程組問題[10]。文獻[4]首次將Krylov子空間法中的GMRES方法應用于潮流計算中。文獻[5]將此類迭代法與不精確牛頓法相結合（NewtonGMRES），同時采用不同的預處理方法，對兩個大規模電力系統進行了對比分析計算。結果表明：結合適當的預處理的NewtonGMRES方法比NewtonLU方法約快2倍。

迄今為止，在潮流計算中應用最廣泛的NewtonKrylov方法是NewtonGMRES方法。結合預處理技術的NewtonGMRES方法具有良好的收斂特性和數值穩定性，已成為大規模電力系統潮流計算首選方法之一。目前，關于其它NewtonKrylov方法[11]在潮流計算中的應用還缺乏相關的報道，以及它們在潮流計算中計算效率的比較。因此，本文結合ILU預處理技術，將3種最常用的NewtonKrylov方法應用于潮流計算，并比較了它們的收斂性和計算效率。

3預處理NewtonKrylov方法的潮流計算

Krylov子空間方法是求解大型稀疏線性代數方程組的一類有效方法，其收斂速度依賴于其系數矩陣特征值的分布。通過選取適當的矩陣M使M-1A盡可能接近單位陣，來改善系數矩陣特征值分布的方法稱為預處理技術，。通常的做法是令M在某種意義下接近A并且M-1的計算易于實現或選取接近于A-1的M-1并且M-1容易求取。迄今為止，潮流計算常用的預處理方法主要包括直接抽取矩陣的對角線元素作為預條件子、ILU分解（incomplete LU factorization）、不完全 Cholesky 分解、Jacobi 預條件子等。文獻[10]對這幾種預處理方法，采用不同規模的電力系統進行了潮流計算，結果表明：結果表明：基于ILU分解的預處理方法比其它預處理方法具有更少的迭代次數和浮點運算次數。

NewtonKrylov潮流計算方法的本質是一種雙層迭代法。在求解過程中，均含內、外兩類迭代過程：一般將牛頓法迭代過程稱為外迭代；將稀疏線性代數方程組的迭代求解過程稱為內迭代，即Krylov子空間迭代。嚴格來說，NewtonKrylov潮流計算方法并不是一種新方法。但由于結合了預處理技術，而預處理方法的選擇極具靈活性，所以是一種極具潛力的計算方法。

4算例仿真和分析

本文所有仿真分析均基于MATLAB平臺，設計實現了3種NewtonKrylov（NG法，NB法，NC法）潮流計算程序，并以此詳細比較3種NewtonKrylov方法求解潮流方程的效率。外迭代的收斂容差為1e-6（基準功率100MVA），內迭代的收斂容差為1e-2。圖1是基于ILU預處理NewtonKrylov方法潮流計算流程圖。圖1基于ILU預處理NewtonKrylov

方法潮流計算流程圖

所采用的算例模型包括 IEEE標準測試系統 IEEE30、IEEE118和IEEE300，以及3個Poland互聯大規模電力系統模型，測試時間取平均值。表1給出了6個算例系統的網絡規模和雅可比矩陣的條件數。從表1可以看出隨著電力系統規模的擴大，其初次形成的雅可比矩陣J的條件數往往是很大的（cond（J）>1e+3），接近極限運行狀態。

表2是基于ILU預處理NewtonKrylov方法進行潮流計算的結果。從表2可以看出，3種NewtonKrylov方法的收斂性都非常強健；在同樣收斂精度的情況下，NB法和NC法在收斂速度上比NG法快，大約減少一半的迭代次數；但NB法和NC法包含了兩次正交化的過程，計算量大約是NG法的兩倍，因此，從整體上來說求解效率并沒有明顯提高。再結合表3可知，當電力系統規模較小時，NB法和NC法都比NG法節省計算時間；隨著電力系統規模的增大（上千節點時），NG法的計算時間較NB法和NC法減少。需要說明一下，對于IEEE30系統而言，ILU預處理的精度太高，將迭代法變成了直接法，相當于ILU預處理和內迭代中兩次分解雅克比矩陣，使得IEEE30系統的計算時間比IEEE118系統還要多。

5結論及討論

3類NewtonKrylov方法是計算電力系統潮流的有效方法，具有良好的收斂特性和計算效率。在同樣的收斂精度下，基于ILU預處理的NG法和NC法的內迭代次數較NG法明顯減少，但NG法和NC法的計算量大約是NG法的兩倍，因此，在計算時間上并沒有明顯提高。總體上說，3類算法各有優缺點，要根據電力系統的規模，選擇合適的算法。

NewtonKrylov潮流計算方法成功的核心在于預處理矩陣的選取，本文采用最常用的ILU預處理方法，其它預處理方法對3類NewtonKrylov的方法計算效率的影響，及如何針對不同規模的電力系統，選取合適的預處理方法，都缺乏相關的結論。預處理方法和NewtonKrylov的方法怎樣協調配合計算不同規模的電力系統潮流，都有待進一步研究和驗證。

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