線性時滯系統穩定的充分必要條件

張志飛張小綱章兢

摘要：提出一個新的線性時滯系統穩定的充分必要條件，與以前的結論不同的是，我們的結論的表達形式更容易數值計算。開發相應的二種收斂算法，解決系統時滯獨立穩定判斷和時滯相關穩定的時滯界估計。本文給出范數有界不確定性時，系統穩定的充分條件。文末給出的數值實例證明本文結果降低計算復雜度，改進了時滯估計保守性。

關鍵詞：時滯線性系統；充分必要條件；算法；不確定性

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A

1引言

時滯現象在物理和生物系統中以及實際生產生活中廣泛存在，如系統信號的量測（特別是復雜的在線分析儀）、長管道進料或皮帶傳輸、緩慢的化學反應過程等，也常見于電路、光學、神經網絡、生物環境、數據網絡及冶金工業、建筑結構、機械傳動等領域。由于應用背景廣泛，一直深受眾多研究者的關注[1][4-5]。時滯系統穩定性分析的根本問題是其特征方程根在復平面上位置的判斷問題，文獻[2]給出了系統穩定的充分必要條件，從理論上徹底解決了這一問題，但理論與實際計算應用仍有相當距離，文獻[3]在此基礎上提出了一個較實用的代數判據。由于實際系統不可避免地有不確定性或者擾動，該方法無法處理?；谶@一原因，近二十年來，發展了大量基于Lyapunove穩定性理論的分析方法[4-5]。目前主要的研究集中在減少時滯估計的保守性，某些結果取得了奇特的效果[13]，正如文[15]所指出的，一方面這些方法的有效性取決于泛函的選取，要求具有很高的技巧，另一方面LMI技術的應用計算量和復雜度均非常高，可解性不高 [14]，這種方法只能給出系統穩定的充分條件。

本文主要基于文獻[2]的結果，將穩定性問題轉化為閉區間上穩定矩陣的判斷問題，本文的主要貢獻一方面解決了基于特征方程方法對高階系統難于計算應用的局限，另一方面得到的魯棒穩定性結論計算僅需在閉區間上進行，數值實例表明，本文所提出的時滯相關穩定與時滯獨立穩定的算法是有效的，改進了以往相關研究結果。

4結語

本文提出了一個新的時滯系統穩定的充分必要條件，并開發了相應的時滯獨立和時滯相關穩定判斷收斂算法。相應的魯棒穩定判斷準則簡明，易于計算。文中給出的實例表明了本文方法的簡易性和有效性，與相關研究結果比較明表明，降低了計算復雜度和穩定時滯界的保守性。

參考文獻

[1]Shengyuan Xu and James Lam， Improved DelayDependent Stability Criteria for TimeDelay Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， Vol. 50， NO. 3， March 2005：384-387

[2]俞元洪. 超越函數det （aij-bije-λτ-δijλ）零點全分布在復平面左半部的代數判據[J]. 科學通報 ， 1984 ，29（23） ： 1413 2 1415.

[3]張作元. 滯后型方程x（t）= A x （ t） + B x （ t - τ） 全時滯穩定的代數判據[J]. 數學通報 ， 1986 ， 31（23） ： 1768-1771.

[4]RICHARD J. Timedelay systems： An overview of some recent advances and open problems[J]. Automatica， 2003（39）： 1667-1694.

[5]張冬梅，俞立.線性時滯系統穩定性分析綜述[J]. 控制與決策. 2008， 23（8）：841-848

[6]LI X，C. E. de Souza. Criteria for robust stability and stabilization of uncertain linear systems with state-delay[J]. Automatica， 1997， 33： 1657-1662，.

[7]MOON Y S，PARK P，KWON W H，LEE Y S.Delaydependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems[J]. Int. J. Control， 2001，74：1447-1455.

[8]NICULESCU S I，NETO A T，DION J M，DUGARD L.Delaydependent stability of linear systems with delayed state： An LMI approach. in Proc. 34th IEEE Conf[J]. Decision and Control， New Orleans， LA， 1995：1495-1496.

[9]PARK P.A delaydependent stability criterion for systems with uncertain timeinvariant delays[J].IEEE Trans. Autom. Control， 1999，44（4）：876-877.

[10]FRIDMAN E，SHAKED U.An improved stabilization method for linear timedelay systems[J]. IEEE Trans. Autom. Control， 2002， 47（11）： 931–1937.

[11]LEE Y S，MOON Y S，KWON W H，PARK P G.Delaydependent robust H control for uncertain systems with a statedelay[J].Automatica， 2004， 40： 65–72， 2004.

[12]秦元勛，劉永清，王聯.帶有時滯的動力系統的穩定性[M]. 北京：科學出版社， 1989.

[13] ZHANG X M，MIN WU，SHE J H，HE Y.Delaydependent stabilization of linear systems with timevarying state and input delays[J].Automatica 2005，41：1405-1412.

[14]黃琳， 李中.輸出反饋二次型最優的可解性問題[J].中國科學A輯， 1990，20（07）：92-98.

[ 15]ALAVIANI S S.A necessary and sufficient condition for delayindependent stability of linear timevarying neutral delay systems[J]. Journal of