帶電粒子的秘密花園

王國紅

帶電粒子在有界磁場中所做的勻速圓周運(yùn)動的問題，由于較好地綜合了數(shù)學(xué)、物理知識，而成為歷年高考考查的重點(diǎn)。此類問題也由于具體條件、情況復(fù)雜，方法繁多，而成為同學(xué)們公認(rèn)的難點(diǎn)。

如果說我們在解決這個問題上有什么竅門的話，那就是畫圖，一絲不茍地畫，直到有一天可以像賣油翁那樣淡定地說：“無他，唯手熟爾。”

一、畫圖確定基本幾何量

帶電粒子沿垂直于磁場的方向進(jìn)入有界磁場，其運(yùn)動軌跡為一圓弧（優(yōu)弧或劣弧），連接圓弧的兩端點(diǎn)（入射點(diǎn)、出射點(diǎn)）即得弦，而粒子在入射點(diǎn)或出射點(diǎn)的速度方向即為該圓弧的切線。

1.確定圓心

方法一：洛倫茲力F為向心力，必指向圓心，且F⊥v，由此可確定兩個F的方向，畫其延長線，兩延長線的交點(diǎn)即為圓心。

方法二：利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置。

2.角度的確定，明確φ=α=2β

φ──偏向角，即帶電粒子沿偏轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)過的角度，反映在入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的速度方向變化上。

α──圓心角，即帶電粒子經(jīng)過圓弧所對的圓心角。

β──弦切角，即帶電粒子的速度方向與弦所成的角。

如圖所示，易證：φ=α=2β。

3.運(yùn)動時間的確定

帶電粒子轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時間，由表達(dá)式 確定，其中T即為該帶電粒子做圓周運(yùn)動的周期。轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時間t越長，但t與運(yùn)動軌跡的長短無關(guān)。

二、畫圖解決基本問題

基本例題（單邊界問題）：如圖所示，在x軸下方存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在xOy平面內(nèi)，從原點(diǎn)O處沿與x軸正方向成θ角（0<θ<）以速率v發(fā)射一個帶正電的粒子（重力不計）。則下列說法正確的是（ ）

A.若v一定，θ越大，則粒子在磁場中運(yùn)動的時間越短

B.若v一定，θ越大，則粒子離開磁場的位置距O點(diǎn)越遠(yuǎn)

C.若θ一定，v越大，則粒子離開磁場的位置距O點(diǎn)越遠(yuǎn)

D.若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運(yùn)動的時間越短

解析：帶正電粒子射入磁場后，由于受到洛侖茲力的作用，粒子將沿圖所示的軌跡運(yùn)動，從A點(diǎn)射出磁場，射出方向與x軸的夾角仍為θ。由圖可以看出軌跡的圓心角α=2π-2θ，運(yùn)動時間 ，則知運(yùn)動時間與v無關(guān)，與θ有關(guān)，θ越大，運(yùn)動時間越短，所以A正確，D錯誤。當(dāng)v一定時，由r= 知，r一定；當(dāng)θ從0變至 的過程中，θ越大，粒子離開磁場的位置距離O點(diǎn)越遠(yuǎn)，所以B正確。當(dāng)θ一定時，圓心角α=2π-2θ一定；由r= 知，v越大，r越大，粒子離開磁場的位置距離O點(diǎn)越遠(yuǎn)，所以C正確。

答案：ABC

重要結(jié)論：帶電粒子射入單邊界的有界磁場時，由邊界進(jìn)入，必由邊界射出，并且進(jìn)出時與邊界的夾角不變。

遷移練習(xí)：在x軸上方有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，同一種帶電粒子從O點(diǎn)射入磁場。當(dāng)入射方向與x軸正方向的夾角α=45°時，速度為v1、v2的兩個粒子分別從a、b兩點(diǎn)射出磁場，如圖所示，當(dāng)α=60°時，為了使速度為v3的粒子從a、b的中點(diǎn)c射出磁場，則速度v3應(yīng)為（ ）

A.（v1+v2） B.（v1+v2）

C.（v1+v2） D.（v1+v2）

三、畫圖解決臨界問題

進(jìn)階例題1（單邊界+臨界問題）：如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T。磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行。在與ab相距l(xiāng)=16cm處，有一個點(diǎn)狀的放射源S，它向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速率都是v=3.0×106m/s，已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比=

5.0×107C/kg。現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度。

解析：α粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，軌道半徑R=，代入數(shù)值得R=10cm，由此可知2R>l>R。

如圖所示，因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，由此作出某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。

為定出P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R；以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1，有 。

再考慮N的右側(cè)。任何α粒子在運(yùn)動中與S的距離不可能超過2R，因此以2R為半徑，S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。

由圖中幾何關(guān)系得，所求長度為 P1P2=NP1+NP2，代入數(shù)值得 P1P2=20cm。

點(diǎn)評：本題中帶電粒子入射速度的大小不變，其對應(yīng)的軌跡半徑也就確定了，但由于入射速度的方向發(fā)生改變，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置發(fā)生變化。在處理這類問題時，關(guān)鍵是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動的軌跡圖（對應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向），再利用幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射范圍。

進(jìn)階例題2（多邊界+臨界問題）：（2015·連云港、徐州、宿遷三市三調(diào)）如圖所示，在邊長為L的等邊三角形ACD區(qū)域內(nèi)，存在垂直于所在平面向里的勻強(qiáng)磁場。大量質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子以相同速度（速度大小未確定）沿垂直于CD的方向射入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后三條邊均有粒子射出，其中垂直于AD邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時間為t0。不計粒子的重力及粒子間的相互作用。求：

（1）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；

（2）要確保粒子能從CD邊射出，射入的最大速度；

（3）AC、AD邊上可能有粒子射出的范圍。

解析：（1）由，，圓心角為60o，，解得。

（2）當(dāng)軌跡圓與AC、AD都相切時，粒子能從CD邊射出，半徑最大，速度為最大值，此時，

，，解得 ，所以粒子射入的速度應(yīng)滿足。

（3）由（2）知，當(dāng)軌跡圓與AC相切時，從AC邊射出的粒子距C最遠(yuǎn)，故有粒子射出的范圍為CE段，。當(dāng)軌跡圓與AD邊的交點(diǎn)F恰在圓心O正上方時，射出的粒子距D點(diǎn)最遠(yuǎn)。故有粒子射出的范圍為DF段，

。

進(jìn)階練習(xí)1：如圖所示，邊界OA與OC之間分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，邊界OA上有一粒子源S。某一時刻，從S平行于紙面向各個方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子（不計粒子的重力及粒子間的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，經(jīng)過一段時間有大量粒子從邊界OC射出磁場。已知∠AOC=60°，從邊界OC射出的粒子在磁場中運(yùn)動的最短時間等于（T為粒子在磁場中運(yùn)動的周期），則從邊界OC射出的粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為（ ）

A. B. C. D.

進(jìn)階練習(xí)2：一個質(zhì)量是m，帶電荷量為+q的粒子（不計重力），從坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)處沿+y方向以初速度v0射入一個邊界為矩形的勻強(qiáng)磁場中。已知磁場的方向垂直于xOy平面向里，它的邊界分別是y=0、y=a、x=-1.5a、x=1.5a，如圖所示。改變磁感強(qiáng)度B的大小，粒子可以從磁場不同的邊界面射出，并且射出磁場后偏離原來速度方向的角度θ會隨著改變。試討論粒子可以從哪幾個邊界面射出，從這幾個邊界面射出時磁感強(qiáng)度B的大小及偏向角θ各在什么范圍。

遷移練習(xí)：D

解析：當(dāng)帶電粒子入射方向與x軸正方向的夾角為α=45°時，速度為v1、v2的兩個粒子分別從a、b兩點(diǎn)射出磁場，作出運(yùn)動軌跡圖，則有2r1cos45°=Oa，

2r2cos45°=Ob。當(dāng)α為60°時，為使速度為v3的粒子從c點(diǎn)射出磁場，有2r3cos30°=Oc，而，

聯(lián)立解得（r1+r2），由 r=得，（v1+v2），則v3=（v1+v2）。

進(jìn)階練習(xí)1：B

解析：由左手定則可知，粒子在磁場中做逆時針方向的圓周運(yùn)動。由于粒子速度大小都相同，故軌跡弧長越小，粒子在磁場中運(yùn)動時間就越短；而弧長越小，所對弦長也越短，所以從S點(diǎn)作OC的垂線SD，則SD為最短弦，可知粒子從D點(diǎn)射出時運(yùn)行時間最短。如圖所示，根據(jù)最短時間為，可知△O′SD為等邊三角形，粒子圓周運(yùn)動半徑R=SD。過S點(diǎn)作OA垂線交OC于E點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知SE=2SD，SE為圓弧軌跡的直徑，所以從E點(diǎn)射出，對應(yīng)弦最長，運(yùn)行時間最長，且t=，故B項(xiàng)正確。

進(jìn)階練習(xí)2：

解析：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動是勻速圓周運(yùn)動，軌道半徑R=，即半徑R跟速率v成正比。而磁場區(qū)域是有界的，它從哪個面射出，與半徑R的大小有關(guān)，因此要分別進(jìn)行討論。

當(dāng)R>a時，粒子從上邊界射出，此時B<，θ<；

當(dāng)a>R≥時，粒子從左邊界射出，此時≤

B<，π>θ≥；

當(dāng)R<時，粒子從下邊界射出，此時B≥，θ=π。