基于鄧肯-張模型的堆石壩有限元分析

汪天飛，徐 青(武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室，武漢 430072)

1 研究背景

隨著中國水利水電建設事業的發展，堆石壩因具有對不同地形、地質和氣候條件適應性好，造價低，施工速度快，結構簡單，抗震性能強等優點而被廣泛應用。近年，隨著我國經濟的不斷發展，面板堆石壩得到了快速發展。隨著堆石壩壩高的增加，壩體應力和變形分析已成為壩體設計中不可缺少的一部分[1]。因此，如何合理計算壩體變形是堆石壩設計中的一項重要工作。堆石料性質十分復雜，尤其是其強度特性，自1963年劍橋模型被提出了以后，基于大量的試驗成果和理論分析，國內外學者提出了不同的堆石料本構模型。

人們通過不斷研究與實踐，認為非線性彈性模型和彈塑性模型可以較好地反映堆石料的變形特性。其中常用的非線性彈性模型以鄧肯-張模型為代表，彈塑性模型有黃文熙提出的彈塑性模型、沈珠江提出的雙屈服面彈塑性模型等[2,3]。

ANSYS軟件是一款大型通用有限元軟件，目前行業內普遍采用ANSYS軟件進行有限元計算，但它不包含被巖土工程界所廣泛采用的鄧肯-張本構模型。而實際研究表明，鄧肯-張模型意義明確，計算參數簡單且易于通過試驗獲得，同時該模型能夠反映堆石體的主要應力變形特性，計算結果精度能夠滿足工程需要。近年來，不少研究者將鄧肯-張模型嵌入ANSYS、FLAC_3D和ABAQUS中，用于計算堆石壩的受力變形，但未詳細說明如何在每一步加載前考慮已填筑壩體的初始應力。在堆石壩應力應變計算過程中，無論是新填筑壩體還是澆筑完成的壩體，壩體單元都具有一定的初始應力。每一荷載步的初始應力狀態均為前一荷載步終了時的應力。因此，本文基于ANSYS研究平臺，對ANSYS進行二次開發，通過參數化設計語言APDL語言編寫程序，完成了鄧肯-張本構模型的添加[4]。本文在堆石壩應力變形模擬過程中，輸出每一荷載步加載完成后的應力，作為下一荷載步的初始應力，使大壩的填筑和蓄水過程更接近工程實際情況。由于考慮壩體單元初始應力時，會產生相應的附加位移，本文采用約束荷載平衡法消除壩體初始應力引起的附加位移對結果造成的影響，并將二次開發程序用于堆石壩應力變形計算。計算結果表明程序能較好地應用于工程實踐。

2 土石壩非線性靜力分析方法

2.1 鄧肯-張E-B模型[5]

1970年鄧肯等人在康納(Kondner)提出的用雙曲線擬合三軸試驗曲線(σ1-σ3)-ε1的假定基礎上，提出了雙曲線模E-μ型，后來又提出了采用切線體積模量 代替切線泊松比的E-B模型。鄧肯-張E-B模型的理論及公式推導過程，本文不再贅述。

切線彈性模型：

切線體積模量：

泊松比：

回彈模量：

土體初始應力狀態[6,7]：

σ1=γh

σ3=K0γh

K0=0.95-sinφ

式中：h為單元形心到土體表面的深度。

該模型同時還考慮粗粒料內摩擦角φ隨圍壓σ3的變化，內摩擦角為：

根據上面的計算公式可知，要采用鄧肯-張模型，只需要確定φ、C、K、n、Rf、Kb、m、Kur及nur9個參數，這些參數都可以根據常規三軸實驗得到[2]。

2.2 非線性有限元分析方法

非線性有限元分析方法[8]主要有增量法和迭代法2種，尤以增量法更為普遍。增量法思路為：將荷載劃分為若干級荷載增量，每次施加一個荷載增量，求解每級荷載增量下的應力增量和應變增量，最后求和得到全荷載作用下的總位移、總應力和總應變。增量法假定材料是線彈性，即方程是線性的，勁度矩陣是常數，而在不同的荷載增量中，勁度矩陣也可以是不相同的。這種方法是以很多條直線來近似逼近曲線的，當荷載劃分較小時，能得到近似于真實情況的解。增量法分為基本增量法和中點增量法兩種。考慮到基本增量法采用初始應力所對應的彈性常數，使得最后求解的結果與實際曲線有相當大的偏離。本文采用中點增量法進行非線性問題的求解。

中點增量法計算步驟為：先按基本增量法計算一次，將計算得到的應力與初始應力平均，得到該級荷載下的平均應力(中點應力)，再求一次剛度矩陣[D]，根據新的剛度矩陣計算求得應力、應變和位移增量。對第 級荷載，中點增量法計算步驟如下。

(1)用前級終了時的應力，即本級的初始應力{σ}i-1，確定剛度矩陣[D]i，形成勁度矩陣[K]i。

(2)解線性方程組[K]i{Δδ}i={ΔR}i,得到位移增量{Δδ}i，則相應位移總量為{δ}i={δ}i-1+{Δδ}i。

(3)由{Δδ}i求解各單元應變增量{Δε}i和應力增量{Δσ}i，相應的應變和應力總量為{ε}i={ε}i-1+{Δε}i，{σ}i={σ}i-1+{Δσ}i。

(7)由{Δδ}i求解應變增量{Δε}i和應力增量{Δσ}i，進而得到應力和應變總量。

對各級荷載重復上述步驟就可以得到總荷載作用下結構產生的總應力、總應變和總位移。

2.3 APDL語言開發鄧肯-張模型

鄧肯-張模型是一種建立在增量廣義胡克定律基礎上的非線性彈性模型，主要通過不斷改變其切線模量來實現其非線性過程。本文對ANSYS進行了二次開發，利用參數化語言APDL[4]編寫程序，建立鄧肯-張模型，模擬工程實際施工工序，逐步填筑壩體，施加荷載，最后計算得到堆石壩在施工期、竣工期的應力應變大小。該程序基于參數化設計，使用方便，對其他堆石壩工程應力變形分析具有實際意義。

2.3.1施工過程模擬[9-11]

利用ANSYS進行土石壩施工模擬時，先整體建模，根據填筑過程對單元進行劃分，定義單元的材料參數。利用APDL語言編制土石壩施工模擬的計算程序。基本思路如下。

(1)根據施工過程和壩體的剖面圖，分層分區建模，建模完成后進行單元網格劃分，然后根據土體單元的初始應力狀態，計算出初始材料參數，給每個單元定義一個材料號，把相應的材料賦給每一個單元。

(2)創建鄧肯-張E-B模型宏命令。

(3)殺死所有壩體單元，對壩基部分進行計算，考慮壩基初始地應力的影響。

(4)激活壩體第一層單元，讀入單元初始應力，根據初始材料參數進行計算，計算完成后提取每個單元的第1、第3主應力，根據鄧肯-張E-B模型宏命令，采用中點增量法計算出激活單元相應的彈性模量和泊松比，修改各單元的材料屬性，修改單元剛度矩陣，重新進行計算，此時計算得到的位移和應力作為該荷載步加載完成后的計算結果，同時在計算過程中輸出單元的應力作為下一荷載步的初始應力，壩體的材料參數作為下一個荷載步計算的初始材料參數。

(5)依次加載，方法同步驟(4)，直到壩體填筑完成。

(6)根據計算結果進行相應的后處理，編制相應的程序，得到壩體施工完成后的應力、應變結果。施工過程流程圖見圖1。

圖1 施工過程流程圖

2.3.2運行過程模擬

運行過程的模擬是隨著水位的抬高，將水荷載逐步施加在壩體上的，在進行土石壩運行過程仿真模擬時，應根據實際水位變化情況逐步施加水荷載。運行過程中壩體應力應變的計算方法與施工期一樣，只是施加的荷載變為水荷載增量。運行過程流程圖見圖2。由于庫水壓力是隨著庫水水位的升高而升高的，在下一荷載步蓄水施加水壓力時，上一荷載步已蓄水部位的水壓力也要增加，具體見圖3。

圖2 運行過程流程圖

圖3 水荷載逐級施加示意圖

2.3.3APDL語言相關說明

(1)壩體填筑過程模擬。為了實現對壩體填筑過程的模擬，ANSYS軟件提供了“生死單元”功能，由EALIVE(激活)和EKILL(殺死)來實現。

(2)單元第1、第3主應力提取。首先利用ETABLE命令創建單元表，然后用“*get”命令提取單元主應力。例：

ETABLE,EtabS1,S,1(創建單元表)

*get,ArrS1(num),elem,Num,etab,EtabS1(提取單元第1主應力)

(3)單元初始應力的讀入、輸出。在參數化語言APDL中，最開始用于輸出、讀入初始應力文件的命令為iswrite和isfile，隨著軟件的更新，逐漸被inistate,write和inistate,read命令所代替。例：

isfile,read,dam,ist,,1(單元初始應力讀入)

iswrite,on(單元初始應力輸出)

2.3.4約束荷載平衡法

運用ANSYS進行數值模擬時，單元初始應力被當成一種“荷載”施加在每一個單元上，在僅有初始應力荷載時，讀入初始應力文件后，將產生一個大小與原荷載相同，方向與原荷載相反的附加位移。為了避免這一附加位移對計算結果造成影響，本文采用了約束荷載平衡法。即施加相同的邊界條件和與原荷載相同的荷載，使壩體產生的應力場與初始應力相同，而初始位移場為零(位移一般很小，可以忽略不計)[12]。

3 計算實例

本文算例選取均質壩和非均質壩分布進行計算。

3.1 均質壩

算例為一均質堆石壩，壩高100 m,壩頂寬度8 m，上下游坡角為30°，堆石壩密度為2.0 t/m3，其泊松比大致變化范圍是0.31～0.34，根據工程經驗，算例中泊松比取0.3。鄧肯-張E-B模型所需參數見表1。

表1 鄧肯-張E-B模型材料參數

程序對該均質壩壩體分10級均勻加載，即每層填筑高度為10 m。計算結果見圖4～7。

圖4 最小主應力等值線圖(單位：Pa)

圖5 最大主應力等值線圖(單位：Pa)

圖6 水平方向位移等值線圖(單位：m)

圖7 垂直沉降位移等值線圖(單位：m)

計算結果分析：由圖4、圖5可知，在自重作用下，該均質壩大小主應力呈對稱分布，大主應力最大值為1.5 MPa，發生在壩底底部中央，隨著壩體高度的增加逐漸減小，小主應力最大值為0.62 MPa，分布規律與大主應力相同。由圖6、圖7可知，在自重作用下，壩體發生垂直沉降和水平位移，該均質壩為對稱結構，壩體沉降和水平位移也呈對稱分布。壩體沉降最大值發生在壩體中部偏上1/2～1/3壩高處，最大沉降值為72 cm，大約占壩高的0.72%(滿足堆石壩壩體總沉降量為壩高1%以內要求)，方向豎直向下；水平位移則對稱發生在壩體的中下部，上下游壩坡附近，水平位移最大值為18 cm。根據分析可知，壩體應力變形結果符合施工過程逐層加載的計算規律。

3.2 非均質壩

所選模型為某工程大壩最大斷面剖圖，最大壩高為88 m，壩頂寬度為8 m，壩頂高程為515 m，壩底高程為427 m，材料參數見表2，剖面圖如圖8所示，竣工期和運行期的計算結果見圖9～16。 計算結果分析如下。

竣工期計算結果見圖9～圖12。由圖9～圖10可知，壩體大、小主應力的最大值都發生在底部，大主應力最大值為1.6 MPa，小主應力最大值約為0.46 MPa。由圖11可知，壩體水平方向位移為上游側傾向上游，壩體下游側傾向下游，由于壩體下游側次堆石料的工程特性比主堆石料的工程特性差，壩體下游側的位移明顯比上游側大，且最大位移發生在次堆石區部位，高程約為次堆石區的1/3處，水平方向位移最大值約為19 cm。由于下游側壩體向下游發生變形，壩頂以下約1/4壩高的壩體也向下游變形。由圖12可看出，與均質壩分布規律基本相同，壩體最大沉降為88 cm，最大值出現在次堆石區部位高程約為1/2～2/3壩高處。

表2 壩體材料力學參數

圖8 最大斷面剖面圖

圖9 竣工期最小主應力等值線圖(單位：Pa)

圖10 竣工期最大主應力等值線圖(單位：Pa)

圖11 竣工期水平方向位移等值線圖(單位：m)

圖12 竣工期垂直沉降位移等值線圖(單位：m)

圖13 運行期最小主應力等值線圖(單位：Pa)

圖14 運行期最大主應力等值線圖(單位：Pa)

圖15 運行期水平方向位移等值線圖(單位：m)

圖16 運行期垂直沉降位移等值線圖(單位：m)

運行期計算結果見圖13～圖16。由圖13～圖14可知，大、小主應力的最大值都發生在底部，大主應力最大值為1.7 MPa，小主應力最大值約為0.56 MPa。運行期由于水壓力作用，壩體整體向下游移動，上游側壩體在水壓力作用下，竣工期產生的向上游的位移被抵消，并開始向下游變形。下游側壩體的水平位移增加，水平位移最大值約為25 cm，出現在壩體下游部位，高程約為次堆石區的1/3處。由圖16可知，在水壓力作用下，壩體沉降與竣工期規律基本相同，沉降最大值為88 cm，基本與竣工期沒有差別，但是壩體上游側的位移明顯比竣工期大。該工程中壩體竣工期、運行期的最大位移與應力值見表3。

表3 各工況下位移及應力特征值

4 結 語

(1)本文基于APDL語言，對ANSYS進行二次開發，建立鄧肯-張本構模型，模擬堆石壩實際施工過程，分層填筑壩體，逐步施加荷載，靈活實現了有限元分析中的相關功能，為工程設計和研究提供了參考。

(2)計算過程中，考慮壩體初始應力會造成附加位移，本文提出采用約束荷載平衡法消除這一位移對壩體變形的影響。該二次開發程序可以直接得到每一荷載步完成后壩體的位移增量，有利于研究人員對不同填筑方案進行修改，方便檢查計算結果。

(3)利用二次開發程序對均質和非均質堆石壩進行研究，計算結果符合堆石壩壩體應力應變分布規律，驗證了程序的可靠性。該程序基于參數化設計，使用方便，可普遍應用于堆石壩工程的應力應變分析。

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