丹江口水庫設計洪水比較研究

胡 瑤，郭生練，劉章君，尹家波

(武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室，武漢 430072)

水文事件的頻率分析常用于推求給定設計頻率或重現期的洪水設計值，為水利工程規劃、設計管理決策提供重要依據[1,2]。水文頻率計算過程涉及兩個關鍵問題：線型選擇和參數估計。我國結合許多長期洪水系列分析結果和多年設計工作的實際經驗，一直采用P-Ⅲ型曲線，并已寫入規范[3]。但洪水過程的形成受多種復雜因素影響，各地水文特性不同，因而統一采用同一線型并不能適用于不同地區的水文特性的原則[4]。李松仕[5]認為:全國采用單一統一頻率分布線型,不能完美地描述我國各地資料出現的各種情況。因此，選擇何種水文頻率線型，仍是頻率分析中尚需研究的問題。目前，美國主要采用對數P-Ⅲ(LP3)分布[6]，英國1975年編寫的《洪水研究報告》推薦采用廣義極值(GEV)分布[7]，該分布在歐洲和非洲大陸得到了廣泛的應用。

參數估計方法是洪水頻率分析計算的另一重要內容。常見的參數估計方法有矩法、極大似然法、適線法、權函數法、概率權重矩和線性矩法。1979年，Greenwood[8]等提出了概率權重矩，用于存在顯式反函數分布的參數估計，如Gumbel分布、GEV分布和Wakeby分布等，宋德敦和丁晶[9]把該法應用于近似估計P-Ⅲ分布參數；1984年，馬秀峰[10]通過引入一個權函數，提出了估計P-Ⅲ型分布參數的權函數法，指出權函數法可減小矩差，提高P-Ⅲ型曲線偏態系數的估計精度；1990年，金光炎[11]論述了水文頻率計算中通用的目估適線法和優化適線法，指出了適線法與分析人員的水平和經驗有關，主觀性很強；1990年，Hosking定義了線性矩法[12]。它是在常規矩的基礎上發展起來的用來估計洪水頻率曲線參數值的一種新方法。線性矩是概率權重矩的線性組合，對極大值、極小值沒有那么敏感，估計偏差小而且更穩健[13,14]。

許多學者在線型分布和參數估計方法比較研究方面取得了大量的成果。戴榮等[15]應用貝葉斯理論和貝葉斯因子法比較了P-Ⅲ和LP3分布對黃河某站洪水資料擬合情況, 結果表明：P-Ⅲ稍優于LP3分布；葉長青[16]等以3種分布選擇準則對P-Ⅲ、LP3等8種典型頻率分布進行擬合優選，結果表明：適合100% 實測流量與50%高水實測流量的最優分布基本一致但存在差別，適合50%高水流量的分布與大洪水點據擬合得更好。劉潔等[17]應用線性矩法估計參數，比較分析了P-Ⅲ、LP3、廣義邏輯(GL)分布在兩個流域洪水頻率分析計算情況，結果表明對于小概率事件，LP3和GL分布的設計洪水值要大于P-Ⅲ曲線分布計算的值，而P-Ⅲ分布的誤差整體小于LP3分布。周芬等[18]采用理想樣本還原準則，對矩法、概率權重矩法、權函數法、混合權函數法和線性矩法等六種估參方法進行了比較研究，最后得出線性矩法的穩健性要明顯優于其他方法；楊紹瓊[19]探討了極大似然法、權函數法、單權函數法、雙權函數法、概率權重矩法和適線法等幾種參數估計方法的應用，結果表明：矩法所得的統計參數和設計值明顯偏小，估計結果只可作為初值；概率權重矩所得的統計參數表現出較好的不偏性和有效性，參數估計效果優于矩法。

為尋求最佳的概率模型來擬合樣本分布，以使估計的樣本參數最能反映總體的內在分布特性，使計算的結果更加合理可靠，本文選取了不同的分布函數和參數估計方法構建了P-Ⅲ型分布和經驗適線法(P-Ⅲ/CF)、P-Ⅲ型分布和線性矩法(P-Ⅲ/LM)、GEV分布和線性矩法(GEV/LM)、對數P-Ⅲ型分布和常規矩法(LP3/MM)組合模型，應用這4個洪水頻率分析模型估計設計洪水，并比較不同模型的計算結果。

1 洪水頻率分析模型簡介

1.1 P-Ⅲ/CF模型

中國《水利水電工程設計洪水計算規范》[3]推薦采用P-Ⅲ型分布和經驗適線，簡記為P-Ⅲ/CF洪水頻率分析模型。P-Ⅲ分布函數的概率密度函數為：

(1)

式中：α、β和μ分別為P-Ⅲ分布函數的形狀、尺度和位置參數。

(2)

若樣本系列為不連序的洪水系列X，其最大調查期為N，調查的歷史洪水個數為a，實測系列的年數為n，實測系列中含特大洪水個數為l。本文采用統一樣本法計算，計算公式如下。

N年中前a個洪水的經驗頻率為：

(3)

實測系列中除特大值外的n-l個洪水的經驗頻率為：

(4)

1.2 P-Ⅲ/LM模型

采用P-Ⅲ型分布，用線性矩法估計參數，建立P-Ⅲ/LM洪水頻率分析模型。若不連序的洪水系列X服從P-Ⅲ型分布，令由小到大排列樣本為{xm,m=1,2,…,n0} (n0=n-l+a)，則線性矩λ1，λ2，τ3對應的樣本矩l1,l2,l3的計算公式如下：

l1=b0l2=2b1-b0

l3=6b2-6b1+b0τ3=l3/l2

(5)

含歷史洪水的不連續系列的前三階概率權重矩公式如下：

(8)

當已知λ1，λ2，τ3，則Ex，Cv，Cs的計算公式如下。

當|τ3|<1/3時，則：

Z=3 πτ23

(9)

當1/3<|τ3|<1時，則：

Z=1-|τ3|

(10)

Ex=λ1Cv=λ2π1/2α1/2Γ(α)/Γ(α+1/2)

Cs=2α-1/2Sign(τ3)

(11)

P-Ⅲ分布參數與線性矩法的關系及具體演算過程見文獻[20]。

1.3 GEV/LM模型

采用GEV分布，用線性矩法估計參數，建立GEV/LM洪水頻率分析模型。

GEV分布函數為：

(12)

式中：μ，α和k分別為GEV分布函數的位置、尺度和形狀參數，其中α>0。

GEV分布函數的不連序系列線性矩λ1，λ2，τ3的計算方法與P-Ⅲ分布一致。

則μ，α，k的計算公式如下：

α=λ2k/[(1-2-k)Γ(1+k)]μ=λ1-α[1-Γ(1+k)]/k

(13)

其中k無顯示表達式，只能用近似方法求解k：

k≈0.785 90c+2.955 4c2[c=2/3(3+τ3)-ln 2/ln 3]

(14)

文獻[21]中推導出Ex，Cv，Cs的計算公式為：

Ex=μ+α[1-Γ(1+k)]/k=λ1

(15)

Cv=α[Γ(1+2k)-Γ2(1+k)]1/2/(|k|Ex)

(16)

Cs=Sign(k) [-Γ(1+3k)+3Γ(1+2k)Γ(1+k)-

2Γ3(1+k)]/[Γ(1+2k)-Γ2(1+k)]3/2

(17)

GEV分布參數與線性矩法的關系及具體計算過程見文獻[21]。

1.4 LP3/MM模型

美國規范推薦采用對數P-Ⅲ分布，用矩法估計參數，即LP3/MM洪水頻率分析模型[6]。對數P-Ⅲ分布是將對應超過概率的水文變量的樣本數據取以10為底的對數，其設計值通過下式計算：

(18)

K值可以通過以下公式估計：

(19)

式中：k=G/6；Kp為頻率因子；G為取對數后的偏態系數。

當偏態系數G介于1.0和-1.0之間時，K值可以通過以下公式計算獲得：

(20)

式中：Kn為標準正態離差。

(21)

標準差S和偏態系數G的計算公式為：

(23)

2 實例分析

丹江口水庫是漢江中下游防洪和水資源開發的關鍵性水利樞紐工程，也是南水北調中線工程的水源工程。丹江口水庫流域面積9.52萬km2，約占漢江集水面積的60%，多年平均來水量約363億m3。本次研究采用丹江口水庫的歷史調查洪水和1929-2014年(共86 a)的實測洪峰系列資料，其中1935年做特大值處理。歷史調查洪峰系列為1583、1867、1852、1832、1693和1921年，最大調查考證期為432 a。分別采用P-Ⅲ/CF、P-Ⅲ/LM、GEV/LM、LP3/MM 4個模型，分析比較丹江口水庫設計洪水的估算結果。

為比較我國規范推薦的P-Ⅲ/CF模型估算結果與其他模型的差別，采用相對偏差(Relative Bias)作為評價指標，其計算公式為:

(24)

表1列出了樣本系列統計特征值的估計結果。表2給出了4種模型估計的設計洪水與相對偏差。

表1 丹江口水庫4種洪水頻率分析模型的統計特征值估計結果Tab.1 Estimated statistical characteristic values of four flood frequency analysis models for the Danjiangkou reservoir

表2 丹江口水庫設計洪水估算成果及偏差對比表Tab.2 Comparison of design flood estimators and deviations for the Danjiangkou reservoir

由表2可知，當重現期T=10 000 a時，P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型的洪峰設計值與P-Ⅲ/CF模型的設計值的偏差最大，其中GEV/LM模型與P-Ⅲ/CF模型的偏差為12.14%，在3種模型中偏差為最小；當重現期T≥10 a時，P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型洪峰設計值與P-Ⅲ/CF模型的設計值的偏差隨著重現期的增大而增大；當重現期T≥1 000 a時，GEV/LM模型的設計值與P-Ⅲ/CF模型的偏差最小，而當T<1 000 a時，LP3/MM模型的設計值與P-Ⅲ/CF模型的偏差最小。

圖1是丹江口水庫年最大洪峰流量的4種模型頻率曲線對比圖。由圖1可知， P-Ⅲ/CF模型的設計值在頻率曲線圖的上下尾端比P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型偏大明顯，而在實測資料的范圍內差別不是很顯著；在頻率曲線圖的上下尾端，P-Ⅲ/LM模型的設計值比P-Ⅲ/CF模型的偏小較明顯，造成該現象的主要原因是L矩估參方法對洪水系列中的極大值和極小值沒有那么敏感。

圖1 丹江口水庫年最大洪峰流量4種頻率曲線對比圖Fig. 1 Plots of the four frequency curves for annual maximum peak flood series at the Danjiangkou reservoir

P-Ⅲ/CF模型估算的小概率設計洪水明顯大于其他模型的主要原因有：P-Ⅲ/CF模型的經驗頻率公式計算結果偏大。中國目前采用的數學期望公式在推求設計洪水時具有較大的偏差和均方差，盡管在連序系列中，數學期望公式頻率估計是無偏的，但擴展到不連序系列后，其頻率估計是有偏的。與其他公式相比，數學期望公式n/(m+1) 上端偏大下端偏小，對工程設計偏安全；P-Ⅲ/CF模型的參數估計方法人為性大。一般總是要盡可能照顧歷史洪水(或大洪水)點據，要盡量靠近它，這樣，所求得的所謂萬年一遇洪水必然偏大很多。

3 結 語

設計洪水計算一直是水文學研究的熱點和難點。本文建立了P-Ⅲ/CF、P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM 4個頻率分析模型，對丹江口水庫1929-2014年的實測洪峰系列資料和歷史調查洪水進行分析計算，通過分析比較發現：

(1)不同模型的計算結果，在實測系列的范圍內差別不是很大，而在外延推求稀遇洪水時的差別就很明顯，說明了在推求設計洪水時，需要慎重選擇合適的線型和參數估計方法。

(2)中國規范估算的小概率設計洪水均明顯大于其他模型，其中當重現期T=10 000 a時，P-Ⅲ/CF模型的設計值比P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型分別偏大14.62%、12.14%和15.12%。

(3)丹江口水庫萬年一遇校核洪水比國外模型估計值偏大很多，有必要在其他流域開展類似的比較研究，分析我國規范設計洪水計算偏大的原因。

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