基于混凝土軟化特性的拱壩抗拉強度研究

殷 鳴，李同春,2，劉曉青，孫良辰

(1.河海大學水利水電學院，南京 210098；2.水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心，南京 210098；3.中國能源建設集團江蘇省電力設計院有限公司，南京 211102)

0 引 言

拱壩作為一種空間高次超靜定結構，具有受力條件好、超載能力強以及抗震性能好等優點，在我國水力資源豐富的西南部地區被廣泛采用。隨著小灣拱壩、溪洛渡拱壩、白鶴灘拱壩和烏東德拱壩等一系列特高拱壩的建設，我國混凝土拱壩的科研、設計、施工水平已進入世界先進行列。

應力分析是拱壩設計中的一個重要環節，其中的應力控制標準對拱壩的安全性和經濟性起著決定性的作用[1]。我國現行《混凝土拱壩設計規范》(SL282-2003)采用的應力分析方法是拱梁分載法和有限元等效應力法，對壩高200 m以下的拱壩直接給出容許拉應力值進行拉應力的控制。這些拉應力控制指標是在調查了國內已建拱壩的應力計算成果及其控制指標，并參考了國外的拱壩應力控制指標的基礎上確定的[2]，帶有較強的經驗性。拱梁分載法和有限元等效應力法都采用了材料力學的假定，由內力推求應力，故求得的應力值并非壩體各點的準確應力，而是壩體截面上的名義應力。研究與拱梁分載法應力或有限元等效應力相對應的拱壩抗拉強度，可幫助了解拱壩的截面承載力和評價拱壩的抗拉安全性，對設計和科研工作具有一定的參考價值。

由混凝土單軸拉伸應力-應變全曲線可知，在應力達到峰值后會出現應變繼續增加而應力逐漸減小的現象，即混凝土的軟化特性。在一般的混凝土結構分析中，往往忽略應力峰值后的軟化特性，而研究表明混凝土拉伸軟化特性對結構計算結果有較大影響，如果在分析中考慮該特性，則結果更接近實際，且能使設計更為合理經濟[3-5]。

本文首先簡要介紹了混凝土的軟化特性，然后利用有限元分析由混凝土單軸拉伸應力-應變全曲線推求彎拉、偏拉強度，并與試驗結果對比，驗證其可行性。在此基礎上，考慮拱壩截面的應力分布，提出了一種基于混凝土軟化特性的拱壩抗拉強度確定方法，并應用于實際工程。

1 混凝土軟化特性簡介

混凝土在過去很長一段時間被認為是脆性材料，即受拉達到極限抗拉強度后立即發生破壞。20世紀60年代起，國外一些學者相繼發表了混凝土軸向拉伸應力-變形全曲線的資料[6,7]，表明混凝土在軸心受拉時，并非在最大載荷處斷裂，而是存在著峰值后軟化現象，即混凝土在達到極限抗拉強度之后，變形繼續增加，承載力逐漸減小，直至趨近于零時，混凝土出現宏觀裂縫。混凝土材料的軟化特性是引起混凝土構件和結構非線性行為的重要原因之一。

軟化特性作為混凝土材料的一個重要特性，可用軟化區域上的應力與不可恢復變形曲線來表示，即混凝土軟化曲線(σ-w曲線)。軟化曲線主要包括軸心抗拉強度ft、最大裂縫寬度wu以及斷裂能Gf等參數，其中，斷裂能為混凝土軟化曲線下的面積。國外對混凝土軟化曲線研究較早，最早提出這一概念的是Hillerborg教授，他將應變軟化關系假定為一直線[8]。之后學者們又提出了雙線性、多線性及非線性等多種軟化曲線形式。各類軟化曲線的提出加深了人們對混凝土軟化現象的認識[9-10]。

確定混凝土軟化關系的方法主要有直接拉伸法、J積分法和逆分析法3種。逆分析法是近年來的一個研究熱點，其基本思想是：假定混凝土應變軟化關系，采用數值方法計算特定條件下混凝土的力學行為，計算結果與試驗結果誤差達到最小時即認為假定的軟化關系正確[11]。逆分析法一般結合彎曲受拉或楔入劈拉試驗，采用混凝土斷裂力學模型的有限元方法和優化技術進行數值模擬。研究結果表明，采用逆分析法得到的軟化曲線與由直接拉伸試驗得到的軟化曲線非常接近[12-14]。

2 混凝土抗拉強度

為了研究拱壩抗拉強度，首先探討混凝土的抗拉強度。根據試驗中應力分布的不同，混凝土材料的抗拉強度主要有軸心抗拉強度(軸拉強度)、彎曲抗拉強度(彎拉強度)、偏心抗拉強度(偏拉強度)3種。其中，單軸拉伸試驗無需做理論上的近似假定，得到的軸心抗拉強度是混凝土材料的“真實抗拉強度”，是我國《水工混凝土結構設計規范》(SL191-2008)規定的抗拉強度標準值。由彎曲抗拉試驗和偏心抗拉試驗得到的強度是建立在材料力學基本假設的基礎上的，其試件截面上的應力分布不均勻，能夠反映混凝土構件在特定荷載組合下的截面承載力，更接近大體積混凝土的實際受力狀況，具有廣泛的應用價值，一些國家也已將抗彎強度列入國家標準[15]。運用逆分析法求混凝土軟化曲線是假定拉伸軟化曲線，通過數值模擬斷裂試驗，使計算結果與試驗結果相等。那么，利用由單軸拉伸試驗得到的實際軟化曲線，對彎曲抗拉試驗和偏心抗拉試驗進行數值模擬，就可計算出混凝土的彎拉強度和偏拉強度。下面通過試驗和數值計算驗證該方法。

2.1 混凝土單軸拉伸應力-應變全曲線試驗

試驗裝置見圖 1。

圖1 混凝土軸心抗拉試驗裝置Fig.1 Concrete direct tension test device

混凝土試件配合比為水泥∶砂∶石子∶水灰比=1∶2.09∶3.88∶0.58，實測28d齡期的150 mm立方體抗壓強度為29.02 MPa，采取預埋式端頭夾持方式，采用自拌混凝土鋼模澆筑成型，自然養護，7 d拆模，養護28d進行試驗。試件尺寸為100 mm×100 mm×550 mm。

試驗測得混凝土試件軸心抗拉強度平均值為1.52 MPa，其中一個試件的應力-應變全曲線見圖2。

圖2 混凝土應力-應變全曲線Fig.2 Concrete stress-strain complete curve

在單軸拉伸試驗中，混凝土的總變形δ為：

δ=δe+δo+w

(1)

其中，δe=(σ/Et)/l；δo=δp-δep；w=δ-δe-δo。

式中：δe、δo分別為斷裂區以外混凝土的彈性變形、殘余變形，均與試件的長度l有關；w為裂縫發展寬度，與試件長度無關，根據Hillerborg的虛擬裂縫模型中的假設[8]，在達到應力峰值前w為0；Et為混凝土受拉彈性模量；δp、δep分別為峰值應力時的總變形和彈性變形。

基于上述計算原理，由單軸拉伸試驗得到的一條混凝土拉伸軟化曲線見圖 3，軟化曲線下的面積即為斷裂能。試驗測得的斷裂能平均值為44.6 N/m。

圖3 混凝土拉伸軟化曲線Fig.3 Concrete tension softening curve

2.2 混凝土四點彎曲抗拉試驗

試驗設備為電子萬能試驗機。梁試件尺寸為150 mm×150 mm×550 mm，中部有深40 mm、寬5 mm的預切縫。加載示意圖見圖 4，P為荷載。

試驗測得的彎曲抗拉強度為2.57 MPa。

圖4 四點彎曲抗拉試驗加載示意圖(單位：mm)Fig.4 Loading diagram of four-point bending test

2.3 混凝土偏心抗拉試驗

試驗裝置與軸心抗拉試驗相同。梁試件尺寸為100 mm×100 mm×550 mm，偏心距為10 mm。

試驗測得的偏心抗拉強度為2.37 MPa。

2.4 由單軸拉伸試驗結果推求彎拉及偏拉強度

為便于數值分析，將單軸拉伸試驗得到的軟化曲線分別擬合為單線性、雙線性、非線性(Cornelissen曲線型[16])軟化曲線，見圖5。

圖5 擬合軟化曲線Fig.5 Fitted softening curve

利用擬合后的軟化曲線及混凝土材料基本參數，采用虛擬裂縫模型的有限元混合法[17]，對四點彎曲抗拉試驗和偏心抗拉試驗進行數值模擬計算。二維有限元模型見圖 6、圖 7，數值模擬推求結果見表1。

圖6 四點彎曲抗拉試驗二維有限元模型Fig.6 2D finite element model of four-point bending test

圖7 偏心抗拉試驗二維有限元模型Fig.7 2D finite element model of eccentric tension test

軟化曲線類型彎拉極限破壞荷載/kN彎曲抗拉強度/MPa與試驗結果偏差百分比/%偏拉極限破壞荷載/kN偏心抗拉強度/MPa與試驗結果偏差百分比/%單線性24.723.3028.416.932.7114.3雙線性19.912.653.1115.662.515.91非線性21.942.9314.016.172.599.28試驗結果-2.57--2.37-

由表1可以看出，由單線性軟化曲線推求出的彎拉強度與試驗結果偏差較大，由雙線性和非線性軟化曲線得到的彎拉強度與試驗結果較為接近，偏差在15%以內；三種擬合軟化曲線的偏拉強度推求結果均與試驗結果比較接近，偏差均在15%以內。雙線性軟化曲線的彎拉、偏拉強度推求結果與試驗結果最為接近，偏差均在6%以內。該結果表明，借助有限元方法，由混凝土單軸拉伸應力-應變全曲線推求彎拉和偏拉強度是可行的。

結果中的誤差主要來源于兩方面，一是試驗結果的誤差，二是數值模擬中軟化曲線擬合以及有限元計算所導致的誤差。

3 一種拱壩抗拉強度確定方法

3.1 基本原理

在前文試驗中，軸拉強度、彎拉強度、偏拉強度三者并不相等的主要原因是混凝土構件在承載過程中的應力分布情況不同，三者的典型應力分布情況見圖8。那么，混凝土拱壩截面上的應力分布不同，其抗拉強度也就不同。在此基礎上，本文提出了一種確定拱壩抗拉強度的方法。

圖8 構件截面典型應力分布Fig.8 Typical stress distribution in cross section

拱壩是偏心受壓結構，壩體水平截面上的典型應力分布如圖9所示，一邊受壓，一邊受拉。由拱梁分載法和有限元等效應力法計算得到的拱壩截面應力分布相似，如圖10。這樣的應力分布圖形與材料力學中偏心受拉構件的應力圖形相同，均為兩端應力值不同，中間呈線性分布，故認為拱壩截面受拉破壞的模式與混凝土偏心受拉構件的破壞模式是類似的。

當根據拱壩所處的荷載組合，已由拱梁分載法或有限元等效應力法計算得到壩體某個截面上的線性化應力分布時，在假定拱壩應力圖形不變的前提下，總能找到一個偏心受拉構件的應力分布圖形與拱壩該截面此時的應力圖形相同，可以該偏心受拉構件的偏拉強度來代表該截面在該荷載組合下的抗拉強度。

3.2 實現過程

偏心受拉構件的應力分布圖形的形狀可用截面相對偏心距(偏心距/截面半高2e/h)來代表。拱壩截面上的應力分布圖形在不同荷載組合下是不同的，而僅通過試驗來獲得各種應力分布情況下的混凝土偏拉強度幾乎是不可能的，因此可采用由混凝土單軸拉伸應力-應變全曲線推求偏拉強度的方法。

確定拱壩抗拉強度的具體步驟如下：

(1)測出數值模擬所需的材料基本參數，如拱壩混凝土材料的彈性模量、泊松比等；

(2)獲得軸拉強度、軟化曲線及斷裂能：對拱壩混凝土進行單軸拉伸試驗，測得軸拉強度ft及拉伸應力-應變全曲線，由應力-應變全曲線推得拉伸軟化曲線及斷裂能Gf，并對軟化曲線進行擬合；

(4)查得拱壩截面抗拉強度：根據拱壩所處的荷載組合，利用拱梁分載法或有限元等效應力法算出拱壩各截面的內力，并計算各截面的相對偏心距2e/h，據此從相對偏心距與偏拉強度的對應關系中查取偏拉強度作為此荷載組合下拱壩該截面的抗拉強度。

3.3 實例分析

將本文提出的拱壩抗拉強度確定方法應用于某拱壩。

該拱壩壩型為變圓心變外半徑的雙曲拱壩，壩底高程92 m，最大壩高99 m，壩頂寬8 m，壩底寬25 m，拱冠梁剖面如圖11。水庫正常蓄水位183.75 m，壩前淤沙高程115 m。

圖11 拱冠梁剖面示意圖(單位：m)Fig.11 Arch crown beam profile

假設壩體混凝土材料及配合比與第3節中試驗所采用的混凝土相同。混凝土材料參數：密度ρ=2 400 kg/m3，彈性模量E=25 GPa，泊松比υ=0.2，軸心抗拉強度ft=1.52 MPa，斷裂能Gf=44.6×10-3kN/m。

軟化曲線采用雙線性曲線，利用虛擬裂縫模型的有限元混合法程序計算不同偏心距下的偏拉強度[17,18]，得到相對偏心距與偏拉強度之間的關系曲線，見圖12。由圖12可知，隨著應力分布的不同，該拱壩的抗拉強度可能在1.52～3.69 MPa的范圍內變化，大于我國現行拱壩設計規范(SL282-2003)中規定的1.2 MPa的容許拉應力[2]，且截面相對偏心距越大，其抗拉強度越大。

圖12 相對偏心距與偏拉強度關系曲線Fig.12 Relative eccentricity-Eccentric tensile strength

考慮壩體自重、水荷載、泥沙荷載及溫降荷載，采用拱梁分載法計算拱壩拱冠梁的2～4號水平截面的內力及相對偏心距，根據截面相對偏心距，查圖12，得到拱壩各截面在該荷載組合下的抗拉強度。結果見表2及圖13，表中應力以拉應力為負，壓應力為正。

表2 拱冠梁各截面抗拉強度及應力Tab.2 Tensile strength and stress of sections of crown cantilever

圖13 拱壩抗拉強度分布圖Fig.13 Tensile strength distribution of arch dam

由表2和圖13可知，在該荷載組合下，用拱梁分載法計算的拱壩四層水平截面中，只有靠近底部的兩個截面的上游部位出現了拉應力，且拉應力值均遠小于用本文方法得到的拱壩截面抗拉強度，表明若考慮混凝土的軟化特性及拱壩截面應力分布特點，該算例中的拱壩截面是具有較高的抗拉安全裕度的。另外，越靠近壩底的截面抗拉安全系數越小，這符合理論上的規律。

4 結 論

應用虛擬裂縫有限元方法，考慮混凝土軟化特性，可由單軸拉伸應力-應變全曲線推求出混凝土在不同相對偏心距下的偏心抗拉強度。利用該方法，提出了一種拱壩抗拉強度的確定方法：在某一荷載組合下，采用與拱壩某截面此時的應力分布相同的混凝土偏拉構件的偏拉強度，作為拱壩該截面在該荷載組合下的抗拉強度。算例表明，本文提出的分析方法是合理可行的，能夠較合理地評價拱壩的抗拉安全性。用本文方法得到的拱壩抗拉強度考慮了混凝土的軟化特性及拱壩截面應力分布，能更準確地反映拱壩在工作中的實際承載力，若應用于設計研究，可進一步發揮拱壩結構的抗拉能力，使設計更為經濟合理。

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