擴散型梯形斷面躍后共軛水深的解析計算研究

黃 朝 煊(浙江省水利水電勘測設計院，杭州 310002)

0 引 言

隨著國家對農田水利發展的重視以及“五水共治”的提出，水閘消能計算顯得尤為重要。針對現有水閘消能計算公式只適用于矩形翼墻斷面，而實際工程設計中也有采用梯形翼墻斷面情況，如文獻[1]中舟山市六橫小郭巨圍墾工程擋潮排澇閘，由于外海潮位不停變化，通常矩形閘門內外水壓波動，閘門周邊橡皮止水水封不密實，滲漏很嚴重，因此，設計單位創新性的提出了梯形閘門，該型閘門水密性很好，可完全解決擋潮排澇閘的滲漏問題。基于此，本文對擴散型梯形斷面水躍計算進行了深入研究。

《水閘設計規范》[2]對水閘消能計算的研究僅針對矩形斷面的，對于工程實際中的梯形翼墻斷面消能計算，往往采用矩形斷面進行面積等效轉換，該近似等效法誤差較大，影響工程實際消能防沖安全。黃朝煊[3]對矩形斷面消力池池深極值進行了無量綱化數學推導，得出了矩形斷面消力池池深極值的直接計算公式。王賀瑤等[4]對考慮底挑離心力時的收縮水深計算進行了深入研究，并給出了直接解析計算式。李蕊等[5]、劉玲等[6]、張志昌等[7]分別給出了棱柱體梯形斷面躍后共軛水深計算得迭代算法，計算較復雜；劉計良等[8]給出了近似擬合算式，但局部計算區間誤差較大。文獻[9]、[10]采用智能算法對消能進行了研究，但無法尋找本質共性特征。

王正中等[11]、黃朝煊[12,13]對梯形斷面臨界水深、收縮水深等特征水深進行了深入研究，為擴散型梯形斷面共軛水深的計算提高了基礎。

鑒于當前對水閘消力池計算僅適用于矩形斷面，本文將通過數學分析理論，結合Matlab軟件及CurveExpert軟件對擴散型梯形翼墻斷面共軛水深計算進行深入研究。

1 躍前收縮水深的解析算式

收縮水深方程為：

(1)

式中：T0為以收縮斷面底部為基準面的泄水建筑物上游總水頭，m；h1為收縮斷面水深，m；g為重力加速度常數；φ為流速系數；A1為收縮斷面過水面積，m2；q為過閘單寬流量，m3/(s·m)，見圖1、2。

圖1 水閘消力池消能簡圖

圖2 消力池梯形翼墻斷面簡圖

(2)

將以上高精度等效計算式代入公式(2)可知：

(3)

求解一元二次方程(3)可知：

(4)

通過大量數值計算研究，本文收縮水深計算公式(4)最大相對誤差<0.5%(見圖4)，精度完全滿足工程計算要求。為了更直觀的反應收縮水深h1/T0與無量綱KQ、Km關系，通過數值計算得關系曲面圖5。

當斷面坡比影響參數Km=0時，便退化為水閘設計規范(SL265-2001)附錄中矩形斷面的收縮水深計算公式B1.1.1-3，可見該計算公式是本文公式(4)的特例。

圖3 函數高精度二次曲線擬合

圖4 公式(4)相對誤差分布曲線圖

圖5 h1/T0與無量綱KQ、Km關系曲面

2 躍后共軛水深計算

對于擴散型梯形翼墻斷面下水躍共軛水深的計算，利用連續方程和動量方程推導得水躍方程為：

(5)

式中：v1、v2為躍前斷面和躍后斷面平均流速；g為重力加速度；α1、α2為躍前斷面和躍后斷面流速系數；F1、F2為躍前斷面和躍后斷面順水流軸線方向作用力；F3為擴散段翼墻水壓力在順水流軸線方向的投影分量值。

根據水壓力計算理論可知(見圖6)：

(6)

F3計算考慮水躍過程中水面線的非線性變化的影響，將公式(6)代入公式(5)可得：

(7)

其中參數ε為水躍過程中水面線的非線性變化的影響系數，一般1≤ε<1.2，本文近似取ε=1；m1、m2為躍前斷面和躍后翼墻斷面坡比，取m1=m2=m，取α1=α2=1，記η2=mh2/b2，η1=mh1/b1，ξ=b1/b2。

將以上參數代入方程(7)可知：

(8)

公式(8)即為躍后共軛水深的計算方程，該方程也是一元五次方程，一般情況下無法得出公式解。

2.1 無擴散時(ξ=1)躍后共軛水深的一元四次方程公式解

對無擴散時梯形斷面共軛水深計算，劉計良等[10]中給出了近似計算法，但精度不高，其中最大躍后水深相對誤差甚至大于5%。本文將根據數學方程理論，求出躍后共軛水深精確解析解。

對于無擴散情形，即b1=b2=b時，ξ=1，公式(8)可進一步簡化為：

(9)

易知公式(9)是對稱方程，η1、η2均是一元五次對稱方程(9)的實根，由水躍前收縮水深計算水躍后共軛水深時，可將對稱方程(9)除以(η2-η1)進而轉化為一元四次方程，便能求出其解析公式解。

記K0=Q2m3/(gb5)，設躍前收縮水深無量綱值η1，躍后水深無量綱值η2為待求量，設t=η2-η1，代入公式(9)變換后得：

(t+η1)3[2t+(2η1+3)][t+(η1+1)]+6K0=

(10)

以上對稱方程滿足初始條件，η2=η1(即t=η2-η1=0)是方程(10)的一個特解，以上關于t=η2-η1的五次方程常數項為0；方程兩邊同除以t，即以上方程轉化為四次方程：

t4+a1t3+a2t2+a3t+a4=0

(11)

根據代數方程根的判別式理論，易知以上四次方程(11)含有一對復數根(實部為負)、一正實根(待求共軛水深)以及一個負實根。

通過變量參數變換，設z=t+a1/4，方程(11)可以轉化為三次項系數為0的四次等價方程：

z4+c2z2+c3z+c4=0

(12)

z4+c2z2+c3z+c4=(z2+kz+d1)(z2-kz+d2)

(13)

通過對待定系數法各項系數的恒等關系消元變換得，待定系數k2滿足以下的三次方程：

(k2)3+2c2(k2)2+(c22-4c4)k2-c23=0

(14)

利用卡當公式解求解方程(14)，可得待定系數k2的正實根為：

(15)

將k2代入方程(13)右邊的因式分解項，故方程(13)降次為兩個一元二次方程，求解得正根z：

(16)

根據上文參數代換z=t+a1/4；t=η2-η1，求解得躍后共軛水深的精確解析計算式為：

(17)

根據以上解析法可求出水躍相對共軛水深x、y隨無量綱參數K0之間的精確數據關系表，見表1，通過分析可知，當0.28時，最大相對誤差為3.5%，相對誤差基本滿足工程計算要求。

表1 依據共軛水深公式解求出的精確共軛水深x～y～K0關系表

通過數學理論推導及最佳逼近擬合原理，得出無擴散時(ξ=1)共軛水深的簡潔近似計算公式：

(18)

2.2 擴散型(0.5<ξ<1)躍后共軛水深計算

(19)

方程(19)為關于η2的一元五次方程，其中無量綱參數K0、η1、ξ均為已知參數。

由于方程(19)較復雜，無法直接求解，可采用迭代法求解，其迭代方程由方程(19)變換而得，其形式如下：

(20)

通過對公式(20)右邊求導容易證明其導數絕對值小于1，即迭代方程(20)收斂，限于篇幅，本文未詳細給出證明。

其迭代初值可根據無擴散時(ξ=1)躍后共軛水深的修正值(乘以修正系數ξ)給出，公式如下：

(21)

其中收縮斷面的臨界水深無量綱值可通過以下公式計算(見黃朝煊[12])：

η1k=0.5[1+3.952λ(1+4λ)0.202 5]0.5-0.5

(22)

通過Matlab軟件大量數值計算分析可知，本文初值公式(21)精度較好，最大相對誤差一般小于5%，通過迭代公式(20)迭代一次后精度基本小于1.0%，滿足工程實際計算要求。

2.3 擴散型(0.5<ξ<1)躍后共軛水深的數值分析研究

(23)

即比值函數H(x,K0, ξ)為躍后水深初值公式(21)與精確值的比值關系，其反應躍后水深初值公式的誤差大小，H(x,K0, ξ)=1則表示躍后水深初值與精確值一致，相對誤差為0；H(x,K0, ξ)=0.9則表示躍后水深初值相對誤差為-10%；同理，H(x,K0, ξ)=1.1則表示躍后水深初值相對誤差為10%。

由圖7可知，本文躍后水深初值公式(21)在一般情況下精度還是比較高的，只是在K0較小(小于0.2)時相對較敏感，誤差稍大；迭代公式(20)收斂速度較好，一般迭代一次后便能得出精度較高的解，完全滿足工程實踐要求。

圖7 躍后水深初值公式(21)與精確值的比值函數H(x,K0, ξ)曲面關系圖

3 結 語

鑒于當前對水閘消力池計算僅適用于矩形斷面，而實際工程設計中也有采用梯形翼墻斷面情形，根據水力學理論及數學推導，結合Matlab軟件及CurveExpert擬合軟件，對含擴散型梯形翼墻斷面水躍計算進行了深入研究，主要結論如下：

(1)通過數學函數理論及無量綱原理對擴散型梯形翼墻斷面水閘消能計算進行分析研究，推出了相對收縮水深直接計算公式，該公式最大相對誤差<0.15%，精度完全滿足工程計算要求。

(2)根據水力學理論及動量原理，推導了擴散型梯形翼墻消力池水躍共軛水深計算基本方程，并通過數學函數理論給出了無擴散(ξ=1)、擴散型(0.5<ξ<1)梯形翼墻斷面躍后水深的直接計算公式，并通過算例分析，認為本文計算公式精度可靠，方便快捷。

(3)通過Matlab軟件編程進行數值分析研究，認為本文擴散型(0.5<ξ<1)梯形翼墻斷面躍后水深初值計算公式(21)一般情況精度<5%，甚至更高，通過公式(20)迭代一次后最大相對誤差一般<1.0%，并給出了躍后水深初值計算公式(21)相對精度隨擴散度ξ的影響關系曲面圖。

□

[1] 舟山市六橫小郭巨圍墾工程初步設計[R]. 杭州：浙江省水利水電勘測設計院，2010.

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