馬斯京根匯流參數(shù)抗差估計研究

沈丹丹，包為民，劉可新，龔婷婷，張 乾，陳偉東(河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，南京 210098)

0 引 言

馬斯京根匯流參數(shù)估計采用的是河段上下兩斷面的實(shí)測流量過程資料。若流量資料誤差為服從零均值正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布的隨機(jī)誤差時，利用傳統(tǒng)的估計理論(如最小二乘法)可取得比較好的估計效果；但當(dāng)流量資料中存在異常值時，用傳統(tǒng)的估計方法進(jìn)行參數(shù)估計常常會得出不合理的參數(shù)估計結(jié)果[1]。

抗差最小二乘法將抗差理論與最小二乘法相結(jié)合，利用抗差理論的特性抵御異常誤差對參數(shù)估計的影響，從而提高參數(shù)估計的精度和穩(wěn)定性。本文將附有條件的抗差最小二乘法運(yùn)用到馬斯京根匯流參數(shù)估計中，利用閩江流域沙縣河段21場實(shí)測入流資料構(gòu)建理想模型，并基于人工生成的零均值正態(tài)分布的隨機(jī)誤差和異常誤差這兩類誤差，分析檢驗(yàn)了用抗差最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計的有效性與穩(wěn)定性。

1 參數(shù)估計方法

1.1 最小二乘法

(1)

采用拉格朗日算子法，可導(dǎo)出最小二乘解：

(2)

1.2 附有條件的抗差最小二乘法

利用抗差等價權(quán)原理，采用拉格朗日算子法，可導(dǎo)出抗差最小二乘估計，為：

(3)

式中：W是對角元素為ωi的對角陣；ωi為抗差權(quán)函數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]的研究，本文使用如下三段權(quán)函數(shù)和函數(shù)變量：

(5)

式中：ωi為抗差權(quán)；εi為權(quán)函數(shù)變量；k1和k2為待定的常數(shù)，本文中分別取1和2.5；Qi和Qci分別為下斷面實(shí)測流量和計算出流；n為計算時段數(shù)。

1.3 抗差最小二乘法計算步驟

(1)由式(5)和式(4)分別計算出εi和ωi的值；

污水的深度處理工藝的目的是進(jìn)一步去除污水中經(jīng)二級處理后剩余的污染物質(zhì)，工藝的選擇取決于二級處理出水的水質(zhì)和所需達(dá)到的水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)。二級處理出水中污染物質(zhì)為有機(jī)物和無機(jī)物的混合體，有機(jī)物包括細(xì)菌、病菌、藻類及原始生物等。不論是有機(jī)物還是無機(jī)物，根據(jù)它們存在于污水中的顆粒的大小又可分 為 懸 浮 物 （＞1μm）、膠 體 （1μm ～1nm）和 溶 解 物 （<1nm），一般來說通過混凝沉淀等常規(guī)工藝可以去除懸浮物和膠體粒子。溶解性雜質(zhì)必須通過某些非常規(guī)手段才能去除。

(2)計算等價權(quán)矩陣W；

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 理想系統(tǒng)設(shè)計

本研究采用的匯流參數(shù)為C0=0.27，C1=0.50，C2=0.23，上斷面入流過程選用了閩江流域沙縣斷面1989-2001年21場不同量級和不同特點(diǎn)的實(shí)測洪水過程(21場洪水的洪峰流量和最小流量見表1)，并用式(1)計算相應(yīng)的下斷面的出流過程作為理想系統(tǒng)的輸出。由此構(gòu)成的理想模型的參數(shù)、輸入和輸出都是已知且無任何誤差。

表1 21場洪水的洪峰流量和最小流量值 m3/sTab.1 The peak discharge and the minimum discharge of 21 floods

2.2 誤差生成

觀測誤差按絕對值大小分一般可分為小誤差、粗差和極值誤差。小誤差發(fā)生頻率高，且一般服從零均值正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布；而粗差和極值誤差發(fā)生頻率低、變化較大，一般不具有這些誤差統(tǒng)計特征。因此，本文采用如下兩種誤差生成模式：

δi～N(0,var)i=1,2,…,n

(7)

3 結(jié)果分析

3.1 隨機(jī)誤差

在1.1構(gòu)建的理想模型的下斷面計算出流過程上加上式(6)生成的隨機(jī)誤差，分別用最小二乘法和抗差最小二乘法估計河段馬斯京根匯流參數(shù)，估計結(jié)果如表2。表2中Cl0，Cl1，Cl2為最小二乘法估計的匯流參數(shù)；Cr0，Cr1，Cr2為抗差最小二乘法估計的匯流參數(shù)。隨機(jī)誤差情況下兩種估計方法的匯流參數(shù)估計結(jié)果(以參數(shù)C0為例)統(tǒng)計如圖1。

表2 隨機(jī)誤差的參數(shù)估計結(jié)果Tab.2 Parameter estimation results of random errors

圖1 隨機(jī)誤差參數(shù)(以C0為例)估計結(jié)果圖Fig.1 Parameter estimation results of random errors(take C0 as example)

分析表2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)實(shí)測資料的觀測誤差服從零均值正態(tài)分布時，用最小二乘法和抗差最小二乘法估計出的參數(shù)值相差不大，且都非常接近真值。但比較而言，最小二乘法估計的參數(shù)均值更接近真值，說明此時最小二乘法的估計效果更好。

參數(shù)估計均方差從統(tǒng)計意義上反映了參數(shù)估值對于參數(shù)均值的偏離程度。因此，在同樣的樣本資料條件下，兩種不同方法的參數(shù)估計均方差可以反映兩種評價方法的穩(wěn)定性。從表中可以看出，最小二乘法和抗差最小二乘法的參數(shù)估計均方差都比較小，表明誤差服從零均值正態(tài)分布時，兩種方法估計結(jié)果都比較穩(wěn)定。但比較而言，抗差最小二乘法的參數(shù)估計均方差更小，因此，抗差最小二乘法估計結(jié)果更穩(wěn)定。

由圖1參數(shù)估計結(jié)果統(tǒng)計圖也可以看出，隨機(jī)誤差情況下，兩種方法的估計效果和穩(wěn)定性相差無幾，與表2分析結(jié)果相吻合。

綜上所述，當(dāng)誤差服從零均值正態(tài)分布時，兩種方法的參數(shù)估值都是有效的。最小二乘法估計結(jié)果更接近真值，而抗差最小二乘法的估計結(jié)果更穩(wěn)定。

3.2 異常誤差

在理想模型的下斷面計算出流過程上加上式(7)生成的異常誤差，這里時間間隔L取10 h，即本文采用的是崩潰率為10%的誤差資料。分別用最小二乘法和抗差最小二乘法估計河段馬斯京根匯流參數(shù)，估計結(jié)果如表3。表3中Cl0，Cl1，Cl2為最小二乘法估計的匯流參數(shù)；Cr0，Cr1，Cr2為抗差最小二乘法估計的匯流參數(shù)。異常誤差情況下兩種估計方法的匯流參數(shù)估計結(jié)果(以參數(shù)C0為例)統(tǒng)計如圖2。

由表3可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)誤差為不滿足正態(tài)分布的粗差或極值誤差時，雖然最小二乘方法估計結(jié)果的均值與真值很接近，但每場洪水的參數(shù)估值都嚴(yán)重偏離真值，例如890511號洪水，最小二乘估計的參數(shù)估值為0.040 4，0.716 4和0.243 2。此時，最小二乘估計方法幾近崩潰，根本無法得出有效的參數(shù)估值。而抗差最小二乘法的估計結(jié)果，無論從次洪還是估值的均值來看都非常接近真值，且參數(shù)估計均方差較小，穩(wěn)定性較好。說明，在異常誤差的情況下，抗差最小二乘法利用抗差特性抵御了異常值對參數(shù)估計的影響， 能夠獲得有效且穩(wěn)定的估計結(jié)果。

分析圖2可以發(fā)現(xiàn)，異常誤差情況下，最小二乘法估計結(jié)果嚴(yán)重偏離真值，且上下波動非常大，估計結(jié)果極不穩(wěn)定；而抗差最小二乘法參數(shù)估值與真值非常接近，且穩(wěn)定性較好。這與表格分析結(jié)果一致。

表3 異常誤差的參數(shù)估計結(jié)果Tab.3 Parameter estimation results of abnormal errors

圖2 異常誤差參數(shù)(以C0為例)估計結(jié)果圖Fig.2 Parameter estimation results of abnormal errors(take C0 as example)

綜上所述，當(dāng)觀測資料受到異常值污染時，最小二乘估計方法崩潰，不再適用。而抗差最小二乘估計方法能夠檢測出異常值，根據(jù)其大小采用剔除或降權(quán)處理的方式抵御其對參數(shù)估計的影響，從而獲得有效且穩(wěn)定的參數(shù)估值，值得推廣使用。

4 結(jié) 語

(1)最小二乘法在隨機(jī)誤差的情況下能獲得有效的參數(shù)估值，但在異常誤差的影響下，估計結(jié)果嚴(yán)重偏離真值，方法不再適用。

(2)抗差最小二乘法將抗差理論與最小二乘估計相結(jié)合，利用抗差理論所具有的抗差能力，有效地抵御了異常值對參數(shù)估計的影響，在隨機(jī)誤差和異常誤差的情況下都能得出有效且穩(wěn)定的參數(shù)估值。因此，抗差最小二乘法在隨機(jī)誤差和異常誤差情況下均適用。

(3)本文只研究了一種異常誤差的情況，抗差最小二乘法對不同頻率不同量級的異常誤差的抗差估計效果還有待進(jìn)一步研究。

□

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