一道有理函數不定積分題目的多種計算方法

劉春輝

（赤峰學院　數學與統計學院，內蒙古　赤峰　024001）

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一道有理函數不定積分題目的多種計算方法

劉春輝

（赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰024001）

摘要：本文綜合運用有理函數積分法以及多種方式的換元積分法，給出了一道不定積分題目的多種計算方法，開拓了不定積分的解題思路.

關鍵詞：不定積分；有理函數積分法；換元積分法

不定積分的計算是高等數學[1-3]課程的一項重要的內容，通常的高等數學教材中都是通過依次介紹換元積分法、分部積分法和有理函數的積分法三個板塊來編排教學內容的.但學生在學習完這部分內容后，往往會遇到一個十分令人困惑的問題，那就是，面對一道不定積分的計算問題，如何去選擇一個適當的方法計算出其結果？事實上，對于各類積分法不應該將他們孤立的去看待，而應該將他們看成為一個相互影響的有機整體，進而從中分別體會每類方法的精髓.計算不定積分的過程是一個靈活多變的過程，大多情況下，對一個不定積分的計算常常需要綜合運用多種方法.同時，對同一問題，用不同的視角去分析，從而得到多種不同的解題思路，有助于不斷積累解題經驗，提高解題效率.鑒于此，本文將以一道有理函數的不定積分計算題目為例，運用多種方法給出其計算過程.

解法1從被積函數的形式上來看，它是一個典型的有理函數.因此，最常規的方法，也是最容易被想到的方法就是按照有理函數積分法進行計算.從而有：

比較分子的系數，得關于待定系數A,B,C的方程組

解之得

故

因此，我們有

令1+x=t，則1+x2=1+(t-1)2=t2-2t+2，dx=dt，從而原積分變形為：

比較分子的系數，得關于待定系數A,B,C的方程組

解之得

故

因此，我們有

將t=1+x帶入上式，便得

從而原積分變形為：

注意到被積函數中包含1+x2，針對這一特點，可以考慮利用三角恒等式

進行三角換元.鑒于大多數高等數學教材中都利用前者進行換元，這里我們利用后者進行討論.于是有：

解法4令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

所以，移項得

解法5令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

因為

所以，結合解法4的變量回帶過程得

解法6令x=cosθ，則dx=-csc2θ，于是

因為

所以，結合解法4的變量回帶過程得

解法7令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

所以

因此，結合解法4的變量回帶過程得

解法8令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

因為

所以，移項整理得

因此，結合解法4的變量回帶過程得

解法9令x=cotθ，則dx=-csc2θ，于是

因為

所以，結合解法4的變量回帶過程得

結束語

通過上述討論，我們給出了一個不定積分的9種計算方法，細心的讀者不難發現，如果在解法4-9中采用x=tanθ的方式換元，還可以得到類似于解法4-9的6種方法，因此，實際上我們給出了該不定積分的15種計算方法.雖然15種方法考慮問題的角度與出發點各不相同，但是殊途同歸，最終獲得的結論是一致的，這正是數學問題一題多解的精髓所在.問題的討論過程，不僅可以讓我們不斷開拓思維，使思考問題的思路更加靈活，做到“舉一反三”，而且有助于我們進一步理清前后知識的脈絡，達到融會貫通的效果.

參考文獻：

〔1〕同濟大學數學系.高等數學：上冊[M].北京:高等教育出版社,2014.

〔2〕同濟大學數學系.高等數學附冊：學習輔導與習題選解[M].北京:高等教育出版社,2014.

〔3〕同濟大學數學系.高等數學習題全解指南上冊[M].北京:高等教育出版社,2014.

收稿日期：2015年10月9日

中圖分類號：O172

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）02-0001-03