任意裂紋面荷載作用下界面斷裂分析

鐘　紅，宋平平

(大連理工大學 建設工程學部，110624 遼寧 大連)

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任意裂紋面荷載作用下界面斷裂分析

鐘紅，宋平平

(大連理工大學 建設工程學部，110624 遼寧 大連)

摘要:為研究裂紋面上作用的荷載對裂紋穩定性的影響，本文基于比例邊界有限元方法提出裂紋面作用有任意方向、任意大小面荷載的界面應力強度因子求解模型.界面裂紋具有復數形式的應力奇異性指數，在任意裂紋面荷載作用下其奇異應力場更為復雜.應用本模型，徑向的位移和應力可解析求解，無需網格細分即可自動反映裂尖的應力奇異性.裂紋面上的任意荷載首先可分解成平行于裂紋面以及垂直于裂紋面的分量，并進一步分解成有限項冪函數的和.對每個冪函數荷載解析求解，基于線性疊加原理獲得結構在全部荷載作用下的解.該模型對各向同性材料和各向異性材料均適用.文中通過板承受裂縫面荷載時的應力強度因子求解的多個算例對該模型進行了驗證和應用，對板的幾何尺寸和雙材料參數進行了敏感性分析，并應用于重力壩壩踵界面裂縫在水壓力作用下的應力強度因子求解.

關鍵詞:比例邊界有限元；界面斷裂；任意裂紋面荷載；應力強度因子

很多實際工程都涉及界面，例如巖基上的混凝土壩，壩基和混凝土的交界面通常比較薄弱，易于出現裂紋，尤其是當水進入縫內后，水壓力將對裂縫的進一步擴展起促進作用，從而劣化大壩的穩定性.在日常生活中，也常常遇到界面斷裂問題，諸如焊接、粘接等結合材料，通常在結合處或者其附近首先開裂.這是因為結合材料界面附近不僅容易存在缺陷，導致結合強度的低下，而且會因界面的存在而引發應力集中并產生殘余應力，使界面附近的材料處于較高的應力水平.隨著復合材料應用范圍的擴大，界面問題變得越來越重要，傳統的強度分析和評價方法局限性也日益明顯.

不同于均質材料斷裂，界面斷裂有一些特殊性.Williams[1]分析了界面裂紋尖端的奇異場，利用應力函數的分離變量形式，求得奇異性指數和奇異應力場，但是該奇異性指數(0.5±iε)不是實數而是復數，導致了裂紋尖端應力場的振蕩奇異性和裂紋面的互相嵌入.振蕩引起I型斷裂和II型斷裂耦合，對稱結構內的裂縫即使處于對稱荷載作用下，其斷裂也是復合型的.常見的斷裂力學求解方法，包括有限元法、邊界元法、邊界配置法[2]和擴展有限元[3]等，所采用的標準插值函數都是光滑的，與奇異應力場相差甚遠[4].有限元法求解斷裂問題時，為了得到更精確的應力解，劃分有限元網格時需要在裂尖局部加密或引入奇異單元(如四分之一節點單元[5-6])進行求解.然而對于界面斷裂問題，奇異應力場的近似解是非常復雜的，對單元進行改進的復雜程度遠遠大于求解斷裂問題本身.Miyazaki等[7]提出M1積分方法求解雙材料界面斷裂問題，分別計算了含單邊裂紋和中心斜裂紋雙材料板的應力強度因子;Munz等[8]基于有限元方法描述了雙材料界面裂紋處的應力分布特征;陳瑛等[9]綜合評述和分析了多種斷裂力學模型和實驗方法，同時介紹了雙材料界面斷裂力學在FRP-混凝土復合結構中的應用.

界面裂縫的縫面荷載對裂縫的穩定性有至關重要的影響.在這種情況下，裂尖的奇異應力場和應力強度因子都將產生顯著變化，從而對數值方法和數值模型提出了新的挑戰.對于裂紋面上承受任意荷載的復雜情況研究較少，其中胡小飛[10]采用基于辛體系的解析奇異單元分析含裂紋的結構；劉鈞玉[11]基于比例邊界有限元法計算了一類面荷載作用下的裂縫奇異應力場；涂傳林[2]利用邊界元法研究了裂紋面上受均勻法向外荷載的斷裂問題.以上研究所考慮的荷載形式和作用方向均較簡單.

比例邊界有限元法(scaled boundary finite element method，SBFEM)是一種新型的半解析數值方法，可計算多種材料交界面處[4]的奇異應力場，以及溫度荷載[12]、動荷載[13]等作用下的奇異應力場，并已推廣至非線性斷裂模擬[14].本文采用比例邊界有限元法，基于裂紋面荷載的冪級數展開和線性疊加原理，提出了求解任意裂紋面荷載作用下的界面斷裂求解模型.將該模型應用于各向同性和各向異性雙材料板的界面問題，通過與文獻結果對比進行了驗證.在此基礎上開展了一定的參數敏感性分析.

1比例邊界有限元方法的基本原理

整體坐標系下一點的坐標用比例邊界有限元坐標表示為

(1)

圖1　比例邊界有限元模型和ξ-η坐標

(2)

應力為

(3)

式中[D]是材料的彈性矩陣，B1(η)和B2(η)是應變位移矩陣，參見文獻[15].用位移表達的比例邊界有限元方法的控制方程為

(4)

(5)

(6)

式中μ是個很小的數(如0.000 1)，徑向的內部節點力為[17]

(7)

方程(4)可寫成一階常微分方程

(8)

式中[Z]是Hamiltonian系數矩陣[17]，特征值為λi和-λi，方程(8)可以通過[Z]陣特征向量進行解耦，運算中容易出現數值不穩定，產生對數奇異.

本文采用塊對角Schur分解[17]

(9)

裂紋面荷載的節點位移模態為

(10)

相應的等效節點力為

(11)

則位移解為

(12)

對于給定的積分常數，邊界上的節點位移為

(13)

則對應的等效邊界節點力為

(14)

由式(13)可得積分常數用邊界位移表達為

(15)

將方程(15)代入方程(14)得

(16)

式中[K]為剛度矩陣.通過邊界條件，由式(16)解出邊界節點位移{ub}，代入式(15)求得積分常數{c}，位移場由式(12)求出.求得的位移場代入式(3)，最后求出應力場：

(17)

上式可整理寫成

(18)

其中

(19)

(20)

2應力強度因子

(21)

其中μi是剪切模量

對于各向同性雙材料板，標準應力強度因子定義為

(23)

式中L為特征長度.方程(23)可表示為矩陣形式:

(24)

其中

(25)

對于各向異性雙材料板，應力強度因子可定義為

(26)

其中W1，W2可由各向異性材料的彈性常數計算得出[18].本文采用的廣義應力強度因子通過推導可表示為[15]

(27)

3數值算例

給出4個帶裂縫平板的應力強度因子，考慮了各向同性和各向異性材料，裂紋面荷載考慮了法向和切向荷載.執行計算工作的計算機配置為：處理器Intel(R)Core(TM)i5-2300 CPU @ 2.80 GHz，4個內核，4個邏輯處理器，物理內存8.00 GB.

3.1各向同性單邊裂紋單材料板承受法向裂紋面荷載

圖2　單邊裂紋單材料板

表1同時給出了半無限大板單邊裂紋承受任意荷載的I型應力強度因子解析解[19]，作為本文的參考解.從結果可以看出，隨著荷載指數n的增大，應力強度因子減小，隨著板的尺寸W/a增大，應力強度因子減小，板的尺寸W/a足夠大時，可以近似用來模擬單邊裂紋半無限大板.當W/a=30，網格劃分N=10時的計算結果與解析解很接近，表格最后一行給出了W/a=30，N=10計算結果與解析解之間的誤差，誤差范圍均小于3%.圖3給出了板尺寸W/a=30時，不同網格下的計算結果與解析解的對比，可以看出誤差很小，粗細不同的3種網格計算結果相差較小，由此說明本方法的計算精度對網格粗細劃分不敏感，較少的網格就可以達到計算精度.N=2時1.4 s即可完成整個計算過程，N=10時60 s完成計算過程.

表1各向同性單邊裂紋單材料板承受法向裂紋面荷載的無量綱應力強度因子

W/a網格疏密n=0n=1n=2n=3N=21.3678820.5875600.3881170.2917255N=61.3678830.5875600.3881000.291690N=101.3678820.5875580.3881050.291812N=21.1892650.4792680.3102180.23250410N=61.1893290.4792920.3102720.231388N=101.1893280.4792890.3102250.230874N=21.1390520.4493770.2889690.21667820N=61.1398970.4496310.2897310.216867N=101.1398980.4496120.2880790.214919N=21.1285140.4438040.2905670.23177930N=61.1299020.4436630.2871290.223066N=101.1299470.4436840.2850070.203025解析解[19]1.1214710.4385480.2811460.208314誤差/%0.75 1.17 1.37 2.54

3.2各向同性單邊裂紋雙材料板承受法向裂紋面荷載

圖3　不同網格計算結果與解析解對比

圖4　單邊裂紋雙材料板

表2各向同性單邊裂紋雙材料板承受法向裂紋面荷載的無量綱應力強度因子

η應力強度因子n=1n=3K*IK*IIK*IK*II1本文0.4434760 0.1950100 文獻[10]0.4362640 0.2078400 2本文0.443854-0.0064820.217686-0.007837文獻[10]0.438484-0.0049010.209213-0.0082825本文0.444680-0.0157390.206461-0.022349文獻[10]0.438604-0.0127020.209820-0.01861310本文0.444920-0.0219410.213263-0.025749文獻[10]0.438746-0.0182920.209939-0.024628

3.3正交各向異性單邊裂紋雙材料板承受法向裂紋面荷載

本文求得的應力強度因子見表3，無解析解可與之對比.可以看出雖然幾何圖形是對稱的，裂紋面只承受對稱法向荷載的作用，但是由于材料1和材料2的差異性會產生II型應力強度因子，并且隨著指數n的增大，相應的I型和II型應力強度因子減小.當φ1=0°,90°時，材料1為正交各向異性材料，Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子絕對值小于φ1=30°、60°時應力強度因子的絕對值.原因是當材料為正交各向異性材料時式(26)中W2為0.

圖5　承受法向裂紋面荷載的單邊裂紋板

3.4正交各向異性單邊裂紋雙材料板承受切向和法向面荷載

對于裂紋表面既承受法向裂紋面荷載σ，又承受剪切荷載τ的問題，I型和II型應力強度因子不僅與法向荷載σ有關，還與剪切荷載τ有關.同時I型、II型應力強度因子也與兩種材料的彈性常數有關，兩種材料之間有干涉作用，4組材料中材料1的性能不變，材料2的y方向彈性模量在變化，隨著y方向彈性模量的減小，I型應力強度因子增大，II型應力強度因子減小.應用本文界面斷裂求解模型整個計算過程不超過5s.

表3正交各向異性單邊裂紋雙材料板承受法向裂紋面荷載的無量綱應力強度因子

φ1/(°)應力強度因子n=0n=1n=2n=30K*I1.3767080.6231680.4149620.312437K*II-0.219304-0.044082-0.021666-0.01360230K*I1.5299580.6641310.4380710.330323K*II-0.417664-0.147609-0.095482-0.07151760K*I1.6013020.6912450.4556050.342079K*II-0.654783-0.244728-0.160870-0.12118190K*I1.4892040.6510890.4299860.322961K*II-0.723042-0.240713-0.152680-0.112912

圖6　承受法向和切向裂紋面荷載的單邊裂紋板

3.5重力壩算例

表5給出了壩體和地基的不同模量比、不同縫面水壓力分布時的應力強度因子.可看出對于不同水壓力分布形式，隨著壩體和壩基彈模比值的增大，KI均明顯減小；對于給定彈模，λ=0時KI最小，隨著n的減小，施加的縫內水壓增大，KI增大.當壩體地基模量比較小時，水壓力的差異對KI的影響更為重要，隨著模量比增大，界面斷裂的耦合效應影響加大.KII的大小主要取決于上游面水壓力，因此受縫內水壓分布影響不大，但當壩體地基模量比增大時，界面斷裂耦合效應使得KII有所增大.由于此時KI減小，KII/KI呈增大趨勢，裂尖剪切分量增大.

圖7　重力壩尺寸(m)　圖8　子域劃分與網格剖分

表4正交各向異性單邊裂紋雙材料板承受切向和法向面荷載的無量綱應力強度因子

(E22/E11)II應力強度因子n=0n=1n=2n=31K*I1.1259920.5209490.3476320.262732K*II1.4748270.5172800.3214450.2344610.5K*I1.1961750.5394620.3587740.270020K*II1.4090670.5049300.3163230.2314790.3K*I1.2544330.5560230.3691320.278416K*II1.3453490.4927320.3108750.2285020.1K*I1.3864110.5988640.3959580.297984K*II1.1487650.4546000.2924090.216945

表5壩基界面裂縫的應力強度因子106N·m-3/2

E1/E2應力強度因子λ=0n=0n=1n=21KI1.2963811.6594831.3830281.335719KII1.4076561.4614531.4393591.4076562KI1.0101231.5044261.1356531.071478KII1.4223281.3930041.4260531.4272305KI0.6112961.2535520.7959350.712791KII1.5104721.3493691.4732531.48526510KI0.3471891.0668080.5697720.476663KII1.6038411.3603831.5400061.559327

4結語

基于比例邊界有限元方法提出了裂紋面作用有任意方向、任意大小面荷載的界面斷裂求解模型.首先給出了比例邊界有限元方法的基本方程，針對任意裂紋面荷載問題，將荷載分解成平行于裂紋面以及垂直于裂紋面的分量，并各自分解成有限項冪函數的和，對每個冪函數荷載解析求解，基于線性疊加原理獲得結構在全部荷載作用下的解.第一個算例單材料板的計算結果與解析解進行對比，驗證了本模型有較高的計算精度和計算效率，網格剖分簡單.接著3個算例雙材料界面斷裂問題，研究了幾何尺寸和材料參數的變化對KI和KII的影響，本文計算模型可用于求解各向同性和各向異性雙材料界面斷裂問題.最后將本模型應用于重力壩壩踵裂縫承受水壓力時的應力強度因子求解，發現縫內水壓分布形式對KI影響較大；隨著壩體和地基模量比的增大，KI明顯減小，KII有所降低，裂尖的剪切分量比重增大，斷裂模態復合的程度加劇.

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(編輯趙麗瑩)

Analysis of interface crack with arbitrary crack tractions

ZHONG Hong, SONG Pingping

(Faculty of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, 110624 Dalian, Liaoning，China)

Abstract:This paper presents a model for solving interface crack with arbitrary crack traction based on the Scaled boundary finite element method to study the significant influence of the traction acting on the crack faces on the stability of a crack. The order of stress singularity is complex for an interface crack. With the existence of crack traction, the stress singularity is more complicated. Base on the proposed model, stress and displacement are solved analytically in the radial direction, and the stress singularity at crack tip is obtained with high precision without refined mesh. The arbitrary crack traction is firstly decomposed to one component parallel to the crack and the other one perpendicular to the crack, then both the two components are expressed as the sum of a limited number of power functions respectively. The effect of each power function is solved analytically. According to the Linear superposition principle, the solution of a structure with arbitrary crack traction can be obtained. The proposed model is effective for both anisotropic and isotropic materials. The model is verified by several plates with crack tractions, in which stress intensity factors are calculated. Sensitivity analysis is also performed concerning the plate geometry and material properties. Finally the model is applied to solve the stress intensity factors of an interface crack of a gravity dam filled with water.

Keywords:the scaled boundary finite element method; interface crack; arbitrary crack traction; stress intensity factor

中圖分類號:TU311.1

文獻標志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)02-0152-06

通信作者:鐘紅，hzhong@dlut.edu.cn.

作者簡介:鐘紅(1981—)，女，副教授，碩士生導師.

基金項目:國家自然科學基金(51009019,51579033)；中央高校基本科研業務費專項資金(DUT14LK40)；中國博士后基金特別資助項目(2013T60283).

收稿日期:2014-11-08.

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.02.026