六點三重插值細分法

朱洪（安徽三聯學院　基礎部，安徽　合肥　230009）

?

六點三重插值細分法

朱洪
（安徽三聯學院基礎部，安徽合肥230009）

摘要：本文提出了雙參數六點三重插值細分算法.利用生成多項式的方法分析了該算法的一致收斂和連續性條件，通過對參數的適當取值，極限曲線可達到C1,C2連續.數值算例表明，該方法是合理有效的.

關鍵詞：三重細分法；插值；生成多項式；連續性

細分法是根據初始控制多邊形或者初始數據由計算機生成曲線曲面或其他幾何形體的一種方法，其處理方法簡單而且易于實現，因此在曲線曲面造型中得到了廣泛的應用.Dyn等[1]首次提出了只含一個參數的四點二重插值細分法（C1連續）.Hassan等[2]給出了四點三重插值細分算法（C2連續）.WANG Huawei等[3]提出了一種改進的三重插值細分算法，可以插值于開的控制多邊形，極限曲線仍可以達到連續.Cavaretta A S等[4]對穩定細分法作了系統地研究.Rehan等[5]給出了一類三重細分算法，三點三重細分法（C1連續）和四點三重細分法（C2連續）.Siddiqi等[6]利用雙曲函數，提出了動態的六點二重細分算法.本文提出了雙參數的六點三重插值細分算法，利用生成多項式的方法討論了此算法的一致收斂性和C1，C2連續性條件.

1　預備知識

給定初始控制點集P0={pi0∈Rd|i∈￠}，記Pk={pik∈Rd|i∈￠}為第k次細分后的控制點集，則三重細分法的生成規則為

其中α={ai|i∈￠}為此細分法的掩模，并將其記為S，則S的生成多項式為

定理1[2]若三重細分法A一致收斂，則掩模α={ai}滿足

定理2[2]設三重細分法S的掩模α={ai}滿足式（2），則存在一個三重細分法S1，滿足

定理3[4]若三重細分法S的掩模α={ai}和Sj(j=1,2,…, n)的掩模α(j)={ai(j)}滿足

2　雙參數六點三重插值細分法及收斂性和Ck連續性分析

定義1給定初始控制點集P0= {pi0∈Rd|i∈￠}，記Pk= {pik∈Rd|i∈￠}為第k次細分后的控制點集，遞歸地定義第k+1次細分后的控制點如下：

其中μ，v為參數.

下面利用定理[2]和定理[3]分析細分格式（4）的收斂性和Ck連續性.

定理4若參數μ，v滿足：

證明由細分格式（4）知該細分格式的生成多項式為：

顯然α滿足（2）式.根據定理2知，

因此，當

時，此細分法是一致收斂的.

定理5若參數μ，v滿足：

時，此細分法是C1連續的.

證明顯然α，α(1)滿足（3）式，且

因此，當

時，此細分法是C1連續的.

時，此細分法是C2連續的.

證明顯然α，α(1)，α(2)滿足（3）式，且

因此，當

時，此細分法是C2連續的.

3　結論和數值實驗

本文在文獻[2]基礎上給出了雙參數六點三重插值細分算法，點數及參數的增加，使得對曲線的調控更加地靈活.下面給出幾何造型曲線的實例，利用本文方法，經過六次細分，得到了C1,C2連續曲線，其中實線為細分曲線，虛線為初始控制多邊形，如圖1所示.

圖1　六點三重插值細分法

該算法具有更高的細分效率，通過對比發現，對同一控制多邊形，本文方法經過五次細分與文獻[2]方法經過十次細分具有相同的曲線，如圖2所示.

圖2　對比算法

固定參數μ而改變另一參數v對極限曲線的影響，可發現，當固定參數μ，參數v在一定范圍內從大到小變化時，曲線是先向外插值，再向內插值，同時向內微縮，如圖3所示.固定參數v而改變另一參數μ，發現對極限曲線有類似的影響，如圖4所示.

圖3　參數v對極限曲線的影響

圖4　參數μ對極限曲線的影響

當參數取某些特殊值時會有分形現象出現，如圖5所示.因此，多點分形性質有待進一步研究.

圖5　分形現象

參考文獻：

〔1〕Dyn N.Levin D, Gregory J A. A 4-point interpolatory subdivision scheme for curve design [J]. Computer Aided Geometric Design, 1987,4(4):257-268.

〔2〕Hassan M F, Ivrissimitzis I P, Dodgson N A, Sabin M A. An interpolating 4 -point ternary stationary subdivision scheme [J]. Computer Aided Geometric Design,2002,19(1):1-18.

〔3〕WANG Huawei, QIN Kaihuai. Improved Ternary Subdivision Interpolation Scheme [J]. TSINGHUA SCIENCE AND TECHNOLOGY,2005,10(1):128-132.

〔4〕Cavaretta A S, Dahmen W, Micchelli C A. Stationary subdivision [J]. Memoirs of the American Mathematical Society,1991,93(453):1-186.

〔5〕Rehan K, Siddiqi S S. A family of ternary subdivision scheme for curves [J]. Applied Mathematics and Computation, 2015:114-123.

〔6〕Siddiqi S S, Salam W, Rehan K. A new non-stationary binary 6 -point subdivision scheme [J]. Applied Mathematics and Computation, 2015: 1227-1239.

基金項目:安徽三聯學院校級自然科學基金（2014Z002）

收稿日期：2015-11-05

中圖分類號：TP391

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）01-0041-02