Banach空間中線性算子的Drazin廣義逆

林梅羽（莆田學(xué)院　基礎(chǔ)教育學(xué)院，福建　莆田　351100）

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Banach空間中線性算子的Drazin廣義逆

林梅羽
（莆田學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，福建莆田351100）

摘要：通過建立Banach空間中三逆序法的廣義Drazin逆，給出Banach空間上2×2有界線性算子矩陣分塊的廣義Drazin逆的一些表達(dá)形式.

關(guān)鍵詞：Banach空間；三逆序法；Drazin逆；分塊矩陣

1　引言

1958年，Drazin M P[1]在代數(shù)半群和結(jié)合還上定義了一種偽逆，即為后來被大家廣泛稱為D的Drazin廣義逆.后來，Drazin M P又對方陣的情形對Drazin逆做了深入的研究工作.1975年，Campbell和Meyer Jr C D對矩陣的Drazin廣義逆的連續(xù)性做了大量的研究并得出一系列的結(jié)論[2].從此以后，眾多學(xué)者們開始研究矩陣的Drazin廣義逆，于是使得矩陣的Drazin廣義逆得到了空前的發(fā)展.

關(guān)于Banach空間中線性算子的Drazin廣義逆的研究工作是上世紀(jì)90年代前后開始的研究領(lǐng)域.早期可追溯到1981年，喬三正為Banach空間中有界線性算子a引入了Drazin廣義逆ad的定義，并給出了Drazin廣義逆的表示[3].

1985年，蔡東漢在喬三正研究成果的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究Banach空間中有界線性算子的Drazin廣義逆這一研究工作，同時給出了Banach空間中有界線性算子a的Drazin廣義逆ad的另外一種新的表達(dá)形式[3].

2000年，魏伊敏也研究了Banach空間中有界線性算子的Drazin廣義逆，同時給出了不同于上述兩種情形的表達(dá)式[3].

通過建立Banach空間中三逆序法的廣義Drazin逆，給出Banach空間上2×2有界線性算子矩陣分塊的廣義Drazin逆的一些表達(dá)形式.該研究中雖然添加了比較強(qiáng)的條件，但是這里所采取的方法確實新穎的，該方法在別的參考文獻(xiàn)中還沒有出現(xiàn)，而且利用該方法確實也可以得出了很好的一些結(jié)論，相信該方法的引入和幾個重要的結(jié)論對今后其他學(xué)者們對矩陣的Drazin廣義逆會有更好的啟發(fā).

2　預(yù)備知識

設(shè)A是有幺元的B代數(shù)，σ(a)和r(a)分別為a的譜和譜半徑，其中a∈A.記A-1為B代數(shù)A的可逆元素集，A0為B代數(shù)A的冪零元素集，A00為B代數(shù)A的擬冪零元素集.

如果存在元素b∈A滿足aba=a，則稱元素a∈A是正則的，同時我們把元素b∈A稱為元素a∈A的內(nèi)逆.記元素a∈A的所有內(nèi)逆集為a{1}，且B代數(shù)A的所有正則元素集為A+.

設(shè)a∈A，則a∈A的廣義Drazin逆是唯一的，記為ad∈A，且滿足

adaad=ad，aad=ada，a-a2ad∈A0設(shè)Ad為B代數(shù)A的所有的廣義Drazin可逆元素，如果a∈Ad，那么有關(guān)集合{0}的譜冪零aπ=1-aad，并且如果ac=ca，那么必有adc=cad，其中c ∈A.

引理2.1設(shè)a∈Ad，a∈A0.如果ab=0，那么a+b∈Ad，且

證明詳細(xì)參見參考文獻(xiàn)[4].

引理2.2設(shè)b∈Ad，a∈A0.如果ba=0，那么a+b∈Ad，且

證明詳細(xì)參見參考文獻(xiàn)[4].

如果a∈A，p=p2∈A且是冪零的，那么a∈A具有如下分塊矩陣表達(dá)形式：

其中，a11=pap，a12=pa(1-p)，a21=(1-p)ap，a22(1-p)a (1-p).

證明參見參考文獻(xiàn)[5,6,7].

接下來，將利用反序法討論元素乘積abc的廣義Drazin逆，其中，a和c是Banach空間中的可逆元素，而b是Banach空間中的廣義Drazin可逆元素.下面首先給出反序法(abc)-1=c-1b-1a-1的一個充分必要條件，然后利用該反序法給出Banach空間中的分塊矩陣的廣義Drazin逆的一種新的公式，且該公式具有更加的一般性.

3　主要結(jié)論

首先，研究了三個元素乘積的廣義Drazin逆的反序法，該方法可以幫助建立Banach空間中的分塊矩陣的廣義Drazin逆的充分條件.

定理3.1設(shè)a∈A-1，c∈A-1且b∈Ad.如果cab=bca，那么abc∈Ad且(abc)d=c-1bda-1.證明設(shè)x=abc且y=c-1b-1a-1.顯然

yxy=c-1bdbbda-1=y

因為b與ca且可交換，所以廣義Drazin逆bd與ca也可交換.

因此cabbd=bdbca，從而

xy=abbda-1=c-1bdbc=yx

由于x-xyx=abc-abbdbc=abbπ且cabbπ=bπbca，因此我們得到

0≤r(x-xyx)=r(abbπc)=r(bbπca)≤r(bbπ)r(ac)=0

于是r(x-xyx)=0，從而x-xyx∈A0.因此

x∈Ad且xd=y

利用同樣的方法，還可以得出下面的推論3.1[8,9].

推論3.1如果a,c∈A-1且b∈A00.那么cabb00=b00bca的充分必要條件為

abc∈A00且(abc)00=c-1b00a-1.接下來，根據(jù)Banach空間中三逆序法證明下面的定理3.2.

定理3.2設(shè)a,c∈A-1且b∈A.假設(shè)ab∈Ad， bc∈A+且(bc)(1)∈(bc){1}.則

如果cab=abc，那么ab(ab)d=(bc)(1)bc的充分必要條件為

abc∈Ad且(abc)d=(bc)(1)b(ab)d證明設(shè)x=abc且y=(bc)(1)b(ab)d.則有

yxy=(bc)(1)b(ab)dabcc-1(ab)d=y

因為c與ab且可交換，所以(ab)d與c也可交換，從而得出

r(x-xyx)=r((ab)πabc)≤r((ab)πab)r(c)=0因此x-xyx∈A0，從而x∈Ad且xd=y與xy=yx等價.

因為xy=ab(ab)d且yx=(bc)(1)bc，從而可得xy=yx的充分必要條件為

ab(ab)d=(bc)(1)bc.利用定理3.2的證明方法很容易得到下面的相應(yīng)的推論3.2[10,11].

推論3.2設(shè)a,c∈A-1且b∈A.假設(shè)ab∈A00，bc∈A+且(bc)(1)∈(bc){1}.則ab(ab)+=(bc)(1)bc的充分必要條件為

abc∈A+且(abc)+=(bc)(1)b(ab)+

設(shè)

其對應(yīng)的冪元p∈A且a∈(pAp)d.

設(shè)廣義的Schur補(bǔ)為s=d-cadb∈((1-p)A(1-p))d.

利用定理3.1中的逆序法則可以得到廣義Drazin xd幾個具體表達(dá)式（詳見下面幾個重要的定理），該表達(dá)式均以ad與sd的形式給出的.

證明設(shè)x=x1x2x3，其中

顯然x1,x3∈A-1,且

下面證明x2∈Ad.設(shè)x2=y+z其中

由于z2=0,aaπb=0且caπb=0,從而z∈A0且yz=0.利用定理2.1得y∈Ad且

利用引理2.1得x2∈Ad且

由于abc=bca，ca2=sca且abs=a2b，從而adbc=bcad，caad=scad且adbs=aadb

由于

從而可得x3x1x2=x2x3x1.

所以利用定理3.1和上述（1）式可得

aπbcaπ=0，aπbs=0，abc=bca，ca2=sca且abs=s2b 則x∈Ad且

證明類似定理3.3.

根據(jù)上述定理3.3和定理3.4可得如下推論3.3.

abc=bca，ca2=sca且abs=a2b

則

（1）如果aπb=0，則x∈ad且

（2）如果aπb=0且caπ=0，則x∈Ad且

參考文獻(xiàn)：

〔1〕Koliha J J. A generalized Drazin inverse [J]. Glasgow Math J,1996,38:367-381.

〔2〕Djordjevic D S, Wei Yimin. Additive results for the generalized Drazin invers [J]. J Austral Math Soc, 2002,73(1):115-125.

〔3〕王玉文,李國強(qiáng).Banach空間中線性算子的Drazin廣義逆的表示[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2007,30(2)：304-311.

〔4〕Campbell, S L , Meyer, C D. Generalized Inverses of Linear Transformations [M]. Pitman, London,1979.

〔5〕Djordjevic D S, Rakocevic V. Lecturea on the generalized invers[M]. Serbia:Faculty of sciences and Mathematics, University of Nis, 2008.

〔6〕Deng Chunyuan, Wei Yimin. New additive results foe the generalized Drazin invers [J]. J Math Anal Appl, 2010, 370:313-321.

〔7〕Deng Chunyuan, Wei Yimin. Reprensentation for the generalized Drazin invers of 2X2 block -operator matrix with singular Schur complement [J]. Linear Appl. 2011,435:2766-2783.

〔8〕楊志榮.2X2分塊矩陣的Drazin逆[J].江南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009,8(6):733-735.

〔9〕莊桂芬.一類分塊矩陣的Drazin逆表示[J].江南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010,9:107-109.

〔10〕劉曉冀,覃永輝.Banach代數(shù)上廣義Drazin逆的擾動[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2014，57(1):35-46.

〔11〕劉英,楊曉丹.Banach空間中Drazin逆的新擾動定理[J].數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識,2011,41 (8):228-232.

收稿日期：2015-10-13

中圖分類號：O177

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）01-0001-03