泊松公式及其應用

楊帆

（鹽城工學院電氣學院，江蘇 鹽城 224053）

在理論力學教程中，研究轉動參照系時介紹并運用泊松公式。文獻也討論了泊松公式及其應用。朱建陽認為，在理論力學教程中“如能適當提前介紹轉動參照系的初步知識，從而引出泊松公式，則速度、加速度在極坐標、柱坐標、自然坐標、球坐標等曲線坐標中的正交分量就能順利解決。”本文利用單位矢量的模恒為1，計算單位矢量對時間的導數，運用兩矢量的標量積、矢量積公式推導出泊松公式，并系統討論了泊松公式在速度、加速度、坐標系和剛體運動描述中的應用。

1 泊松公式

2 徑向速度和橫向速度

在點的運動的描述中，位矢可以表示成位矢大小r和位矢方向單位矢量的積，即速度即：

式（2）中，第1項矢量的方向在位矢方向，稱為徑向速度，反映了位矢大小變化的快慢；第2項矢量的方向在垂直于位矢方向，稱為橫向速度，反映了位矢方向變化的快慢。

3 切向加速度和法向加速度

在點的運動的描述中，速度可以表示成速度大小υ和速度方向單位矢量的積，即速度其中方向變化的角速度可以用速度大小υ和軌道曲率半徑ρ表示為且于是有：

式（3）中，第1項矢量的方向在速度方向，稱為切向加速度，反映了速度大小變化的快慢；第2項矢量的方向在垂直于速度方向，稱為法向加速度，反映了速度方向變化的快慢。

4 坐標系

直角坐標系選擇了一組不隨空間位置變化且相互垂直的單位矢量和在直角坐標系中，位矢表示成：

比較式（4）、（5）、（7）可知，位矢在直角坐標系中有3個不為0的投影，在柱坐標系中有2個不為0的投影，在球坐標系中僅有1個不為0的投影。在推導速度的式（6）和（8）時，運用了泊松公式。

5 剛體的運動

剛體是指在運動過程中，大小和形狀變化可以忽略的物體。剛體上任意兩點間的距離始終保持不變。描述剛體的運動，需要描述剛體上任意一點的運動。通常任意選擇剛體上的一點A，則剛體上任意一點B的運動可以分解為A點的運動和B點相對于A點的運動的合成。因此，描述剛體的運動是一個相對運動的問題。

對于剛體的運動，A是剛體上的一點，B是剛體上的任意一點。由于剛體上任意兩點間的距離始終保持不變，所以根據式（1），剛體的相對運動速度可以表示成：

將式（11）代入式（10）得，剛體上任意一點B的運動速度為：

6 結語

泊松公式是一個重要的矢量運算公式，在運動學中的速度、加速度的計算以及剛體運動的描述中有著廣泛的應用。在柱坐標和球坐標系中計算速度，也運用到泊松公式，而且可以加深對坐標系的理解。不同的坐標系在本質上是選擇一組相互垂直的單位矢量，任一矢量在某坐標系中，可以運用標題積得到投影表示形式。例如，一般地說，位矢在柱坐標系中有2個不為0的投影，當位矢在球坐標系中有1個不為0的投影；速度在柱坐標系和球坐標系中都有3個不為0的投影。運用泊松公式的計算，抽象簡捷。

[1]范欽珊主編.理論力學[M].北京：高等教育出版社，2000.