三角函數誘導公式和函數的對稱性

宋英

三角函數的誘導公式我們比較熟悉，但對一些公式所反映的對稱性并不熟悉。下面我們來看看函數的對稱軸和對稱中心吧。

一、軸對稱

定理一 如果函數y=f（x）滿足f（x+a）=f（x-a）或f（x）=f（2a-x），函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱。

證明：設函數y=f（x）的圖象上的任意一點為P（x，y），點P關于直線x=a的對稱點p（2a-x，y），顯然有y=f（x）。

說明點p（2a-x，y）也在函數的圖象上。

由點P的任意性，說明函數y=f（x）圖象關于直線x=a對稱。

例如：三角函數誘導公式cos（2kπ-x）=cosx，k∈Z，函數y=cosx的圖象對稱軸為x=kπ，k∈Z；sin（2kπ+π-x）=sinx，k∈Z，函數y=sinx的圖象對稱軸為x=kπ+ ，k∈Z。

二、中心對稱

定理二 如果函數y=f（x）滿足y=f（2a-x）=-f（x）或=f（a-x）=-f（a+x）函數y=f（x）的圖象關于點（a，0）成中心對稱。

證明：設函數y=f（x）的圖象上的任意一點為P（x，y），點P關于點（a，0）的對稱點p（2a-x，-y）

由f（2a-x）=-f（x），則-y=f（2a-x）

說明點p（2a-x，-y）也在函數y=f（x）的圖象上。點P的任意性，說明函數y=f（x）圖象關于點（a，0）成中心對稱。

例如：三角函數誘導公式sin（2kπ-x）=-sinx，k∈Z就說明y=sinx的函數圖象關于點（a，0）成中心對稱；由cos（2kπ+π-x）=-cosx，k∈Z，說明函數y=cosx圖象關于點（kπ+ ，0）成中心對稱。

應用上述結論就比較容易解決人教版數學必修四教材第70頁的第17題：

1.用描點法畫出函數y=sinx，x∈0， 的圖象。

2.如何根據第1小題并應用正弦函數的性質得出函數y=sinx，x∈0，2π的圖象？

編輯 溫雪蓮