淺談中職數學三角函數誘導公式記憶運用技巧

葛靜

摘 要：中職學生的數學計算能力普遍不高，面對誘導公式這樣多而復雜的公式、繁瑣的解題過程、一不小心就出錯的情況，學生基本是抱怨誘導公式好難，談誘導公式色變，學習數學的積極性備受打擊。在遇到學生的這些狀況后，針對學生的解題習慣、公式是否可以進一步歸納進行了深思。

關鍵詞：中職數學；誘導公式；新技巧

一、常規誘導公式教學

三角函數誘導公式是高等教育出版社出版的中等職業教育課程改革國家規劃新教材——《數學》基礎模塊上冊5.5節的內容。在最開始的教學中，筆者是根據書本，借助單位圓，利用兩角終邊的對稱性找出兩角終邊上對應兩點的橫坐標、縱坐標的關系，根據任意角三角函數的定義推導得出四組誘導公式，如下：

sin（α+k·360°）=sinα sin（-α）=-sinα

cos（α+k·360°）=cosα （一） cos（-α）=cosα （二）

tan（α+k·360°）=tanα tan（-α）=-tanα

sin（180°+α）=-sinα sin（180°-α）=sinα

cos（180°+α）=-cosα （三） cos（180°-α）=-cosα （四）

tan（180°+α）=tanα tan（180°-α）=-tanα

這四組公式可以這樣分析為：將α看成是銳角，則α為第一象限角，-α為第四象限角，180°+α為第三象限角，180°-α為第二象限角；縱觀四組公式發現變化前后的函數名稱無變化，就是多了正負號，而且還符合三角函數在四個象限的符號的規律：一全為正，二正弦正，三正切正，四余弦正；因此，給學生歸納了誘導公式的記憶運用技巧：函數名不變，符號看象限。

二、誘導公式運用出現的問題

在講完每組公式后，都會講與公式對應的例題，然后學生練習對應的習題，學生基本會做?？墒侨恐v完，歸納完后，問題來了，學生的錯誤率非常高。如：

1.正解sin π=sin（ π+4π）=sin π=sin（ π+π）=-sin π=

- ，學生往往會：sin π=sin（ π+5π）=sin π= ，沒有充分理解公式（一）中k·360°化為弧度應為2kπ，要運用公式（一），π前面系數必須為偶數。

2.會出現類似于：cos（-870°）=cos870°=cos（150°+2×360°）=cos150°=cos（180°-30°）=-cos30°=- 這類復雜的計算。

3.學生還可能會這樣解：tan（- π）=tan（- π-5π），然后不知道怎么做了。

4.誘導公式除了計算，還會用于化簡，如： ，這類化簡若只是按照四組誘導來解，那是非常麻煩的。

三、對出現的問題進行思考

中職學生的數學計算能力普遍不高，面對這樣多而復雜的公式、繁瑣的解題過程、一不小心就出錯的情況，學生基本是抱怨誘導公式好難，談誘導公式色變，學習數學的積極性備受打擊。筆者在遇到學生的這些狀況后，針對學生的解題習慣、公式是否可以進一步歸納進行了深思。

首先對四組誘導公式進行拓展，具體如下：

sin（α+k·360°）=sin（α+2k·180°）=sinα

cos（α+k·360°）=cos（α+2k·180°）=cosα （一）

tan（α+k·360°）=tan（α+2k·180°）=tanα

sin（-α+k·360°）=sin（-α+2k·180°）=-sinα

cos（-α+k·360°）=cos（-α+2k·180°）=cosα （二）

tan（-α+k·360°）=tan（-α+2k·180°）=-tanα

sin（180°+α）=sin（180°+α+2k·180°）=sin[α+（2k+1）·180°）]=-sinα

cos（180°+α）=cos（180°+α+2k·180°）=cos[α+（2k+1）·180°）]=-cosα

tan（180°+α）=tan（180°+α+2k·180°）=tan[α+（2k+1）·180°）]=tanα（三）

sin（180°-α）=sin（180°-α+2k·180°）=sin[-α+（2k+1）·180°）]=sinα

cos（180°-α）=cos（180°-α+2k·180°）=cos[-α+（2k+1）·180°）]=-cosα

tan（180°-α）=tan（180°-α+2k·180°）=tan[-α+（2k+1）·180°）]=-tanα（四）

這里就可以將角轉化的結果歸納為四類：α+2k·180°、α+（2k+1）·180°、-α+2k·180°、-α+（2k+1）·180°。為了方便表述，筆者將180°轉化為弧度π，并將上述四類情況用更通俗的語言表述：α+偶數π，α+奇數π，-α+偶數π，-α+奇數π。

接著討論四類情況分別是第幾象限角，具體如下：將α看成是銳角，則α為第一象限角。根據角概念中的旋轉概念，終邊若旋轉π的偶數倍，則終邊會落回原來位置；若旋轉π的奇數倍，則終邊會落回與原來相反的位置。所以α+偶數π為第一象限角，α+奇數π為第三象限角；-α為第四象限角，則-α+偶數π為第四象限角，-α+奇數π為第二象限角；如圖所示：

如此歸納后，在做題時即可先將角轉化這里所說的四種情況之一，然后充分運用函數名不變，符號看象限。

四、新技巧的運用

（一）對“誘導公式運用出現的問題”中舉的四道題進行解析

1.sin π

解題分析： 不用再考慮商是否為偶數了， π= π+5π是奇數α的形式，所以應為第三象限角，第三象限正弦為負，由此，

sin π=sin（ π+5π）=-sin π=-

2.cos（-870°）

解題分析： -870°=30°-5×180°也是α+奇數π的形式，所以應為第三象限角，第三象限余弦為負，由此，

cos（-870°）=cos（30°-5×180°）=-cos30°=-

3.tan（- π）

解題分析： - π=- π-5π是-α+奇數π的形式，所以應為第二象限角，第二象限正切為負，由此

tan（- π）=tan（- π-5π）=-tan π=-1

4.

解題分析：α+3π為第三象限角，正弦為負；α-4π為第一象限角，正切為正；6π-α為第四象限角，余弦為正；-α-3π為第二象限角，正切為負。所以：

= =tanα

（二）新技巧的運用方法為

1.角的轉化。角為弧度時分子除以分母；角為角度時角除以180°，列出除式，就可將角化為α+偶數π，α+奇數π，-α+偶數π，-α+奇數π四種情形。

這里需要注意：除式運算時使余數盡可能變小，使α最好在-90°～90°或- ～ 之間。

2.看角轉化后所在的象限，記住圖。

3.直接根據三角函數在四個象限的符號寫出最終結果。

五、結束語

筆者拓展歸納后的誘導公式，中職學生更容易記憶運用，并且在之后的教學中得到了充分的肯定，大大簡化了解題過程。

參考文獻：

[1]盛媛媛.職業院校數學三角函數誘導公式的課堂教學策略[J].學科教學，2014（03）.

[2]廖佛成.三角函數誘導公式的三類記憶法[J].考試周刊：數學教學與研究，2014（31）.

編輯 溫雪蓮