函數列的收斂與一致收斂

時杰

摘 要：從收斂和一致收斂的概念出發，討論數學分析中函數列的收斂與一致收斂的關系，這為如何掌握并進一步研究函數列的收斂與一致收斂問題提供了方法。

關鍵詞：函數列；收斂；一致收斂

函數列收斂與一致收斂理論是數學分析中的重要概念之一，同時也是教與學的難點。但是學生往往對定義理解不透徹，生搬硬套“？著-N”語言，加之各種版本的數學分析教科書將函數列的收斂問題與函數項級數的收斂問題放在一起，使得教與學更為困難。本文從實數數列的收斂問題中引出函數列的收斂，進而引出一致收斂，逐步推進，使得這部分內容更易學習并掌握。

實數序列的收斂問題是定義在實數集上的，其實函數序列的收斂性也是如此，函數序列的收斂性反映的是函數列在點集上的局部性質，也就是說，函數列在點集上的收斂性就是實數序列的收斂問題。下面就從這個角度討論函數列的收斂與一致收斂問題。

一、收斂的幾個定義

實數列的收斂性定義

定義1：設xn是實數序列，a是實數，若對任意給定的正數？著，都存在相應的正整數N，使得當n>N時，恒有xn-a<？著，則稱實數列xn收斂于a，記為limxn→∞=a，或簡記為xn→a（n→∞）。

幾何上，xn→a的意思是：數軸上跳動的點xn與定點a之間的距離，隨著n的無限變大而無限變小，無論？著是怎樣小的數，做點a的？著鄰域（a-？著，a+？著），跳動的點遲早有一次將跳進去，再也跳不出來，這個次數便可作為N。

但是例如序列：（1+ ），（1+ ）2，（1+ ）3，…，（1+ ）n，…有極限ex，這個序列的特點是每一項都是函數，極限也是x的函數，這樣構成的序列就不是實數序列了，而是函數序列，可以記為：fn（x），收斂定義如下：

定義2：設函數列fn（x）每一項fn（x）及函數f（x）均在數集E上有定義，若？坌x∈E，函數列fn（x）收斂于f（x），則稱函數列fn（x）在E上收斂于f（x），并稱函數f（x）是函數列fn（x）的極限函數。

定義2也可以用“？著-N”語言描述：設函數列fn（x）每一項fn（x）及函數f（x）均在數集E上有定義，對？坌x∈E，？坌？著>0存在正數N，使得當n>N時，總有fn（x）-f（x）<？著，則稱函數列fn（x）在E上收斂于f（x），并稱函數f（x）是函數列fn（x）的極限函數，記為limf（x）→∞=f（x）。

我們發現，函數列fn（x）的收斂問題不僅要考慮fn（x）的趨向，還要考慮極限函數f（x），但是我們也發現取定x0∈E時，代入fn（x）即得實數序列：f1（x0），f2（x0），…，fn（x0）…，這時就是實數序列的收斂性問題了。

函數列fn（x）收斂的定義中是對每一個固定的x∈E，根據給定的？著找N，一般來說，這樣找到的N不僅與？著有關，而且與x有關，可記為N（？著，x）。但是對于函數列，僅停留在談論一點上的收斂是遠遠不夠的，重要的是研究極限函數與函數列所具有的解析性質的關系，例如能否根據函數列每項的連續性和可導性來判斷出極限函數的連續性和可導性，或極限函數的導數或積分，是否分別是函數列每項的導數或積分的極限，顯然只研究函數列在一點處的收斂不能滿足要求。

例如：函數列fn（x）=xn（x∈[0，1]），n∈N，它處處收斂于函數f（x）=0 x∈[0，1）1 x=1，但是極限函數f（x）不連續，也就是說收斂性不能保證極限函數的連續性。

那么是否能根據正數？著找到一個公共的N，使得N只與？著有關，不妨記為N（？著），對此我們引進比點點收斂更強一點的收斂概念，那就是一致收斂，定義如下：

定義3：設函數列fn（x）每一項fn（x）及函數f（x）均在數集E上有定義，若對任意？著>0，總存在正數N，使得當n>N時，對一切x∈E，都有fn（x）-f（x）<？著，則稱函數列fn（x）在數集E上一致收斂于f（x），記為fn（x）？圯f（x）（n→∞）。

定義3的描述等價于：對于定義在同一數集E上的fn（x）和f（x），滿足條件lim→∞supx∈efn（x）-f（x）=0（n→∞），進一步還等價于lim→∞fn（x）-f（x）=0。顯然定義3比定義2更強，定義3成立必能推出定義2成立。

定義4：設函數列fn（x）每一項fn（x）及函數f（x）均在數集E上有定義，若對任意[a，？茁]？奐E，fn（x）在[a，？茁]上都一致收斂于f（x），則稱fn（x）在數集E上內閉一致收斂于f（x）。顯然定義4比定義3更強，定義4成立必能推出定義3成立。

注1：函數列fn（x）在數集E內閉一致收斂于f（x），則必在E上收斂于f（x）。

注2：函數列fn（x）在非閉數集E上一致收斂于f（x），則必在E內閉一致收斂于f（x）。

注3：函數列fn（x）在閉數集E上一致收斂于f（x）的充分必要條件是在E內閉一致收斂于f（x）。

注4：fn（x）在（-∞，+∞）上內閉一致收斂等價于對一切充分大的N>0，fn（x）在[-N，+N]上一致收斂。

注5：fn（x）在（a，？茁）上內閉一致收斂等價于對一切充分小的a>0，fn（x）在[a+？滓，b-？滓]上一致收斂。（a，？茁這有限實數）

注6：fn（x）在（a，？茁]上內閉一致收斂等價于對一切充分小的？滓>0，fn（x）在[a+？滓，b]上一致收斂。（a，？茁這有限實數）

注7：fn（x）在數集E上一致收斂于f（x），則其任一子函數列fn（x）均在E上一致收斂于f（x）。

注8：fn（x）在數集E上內閉一致收斂于f（x），則其任一子函數列fn（x）均在E上內閉一致收斂于f（x）。

注7和注8可以類比實數序列與子序列的收斂關系，其實注7和注8便是對實數序列與子序列收斂關系的推廣。

下面僅給出注2、注3的簡單證明：

證明注2：

任給[a，？茁]？奐E，因fn（x）在E上一致收斂于f（x），則在[a，？茁]上一致收斂于f（x），即fn（x）在數集E上內閉一致收斂于f（x）。反之未必成立。

證明注3：

必要性：任給[a，？茁]？奐E，由于fn（x）在E上一致收斂于f（x），必在[a，？茁]上一致收斂于f（x），即在E內閉一致收斂于f（x）；

充分性：由于fn（x）在E內閉一致收斂于f（x），故對閉數集E？奐E，也有fn（x）在E上一致收斂于f（x）。

二、一致收斂的幾個等價命題

命題1（一致收斂的柯西收斂準則）

函數列fn（x）在數集E上一致收斂？圳對任給的？著<0，總存在正整數N，對一切x∈X，都有fn（x）-fm（x）<？著。

命題1等價于如下命題：

命題2：函數列fn（x）在數集E上一致收斂？圳對任給的？著>0，總存在正整數N，當n>N且x∈E時，對任意自然數p，都有fn+p（x）-f（x）<？著。

用命題1和命題2進行判別的優勢在于不需要知道極限函數是什么，只是根據函數列本身的特點來判斷函數列是否一致收斂。

例如：設函數列fn（x）=xn，n∈N，為定義在（-∞，+∞）上的函數列，證明它的收斂域是（-1，1]，且極限函數為fn（x）=0，x<11， x=1（*）

證明：任給？著>0，（不妨設？著>1），當0N（？著，x）時，就有fn+p（x）-f（x）<？著，當x=0和x=1時，則對任何正整數n，都有fn（0）-f（0）=0<？著，fn（1）-f（1）=0<？著，這就證得fn（x）在（-1，1]上收斂，且有（*）式的極限函數。而當x>1時，則有xn→∞（n→∞），當x=-1時，對應的數列為：-1，1，-1，1，…顯然它是發散的。所以函數列xn在區間（-1，1]外是發散的。

以上內容通過實數列的收斂引出函數列的收斂、一致收斂以及一致收斂的等價命題，據此我們可以研究數項級數的收斂和函數項級數的收斂與一致收斂問題。

在數學學習與研究過程中，函數列的收斂和一致收斂的證明是一個非常重要的內容，這些內容在初等數學和高等數學中都有很好的體現。這些內容更是函數項級數的收斂與一致收斂的基礎。以上討論，為學習者理清了思路，幫助學習者掌握其中規律，增強對函數列收斂與一致收斂的概念理解。

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編輯 薛直艷