雙指數跳擴散模型下的交換期權定價

王宇帆

北京理工大學

雙指數跳擴散模型下的交換期權定價

王宇帆

北京理工大學

本文研究了標的資產服從雙指數跳擴散的交換期權定價。首先，介紹了雙指數跳擴散模型與交換期權；其次，通過Girsanov定理對交換期權定價公式進行了測度變換；最后借助Hh函數的性質給出了雙指數跳擴散模型下的交換期權定價公式。

交換期權；雙指數跳擴散模型；Girsanov定理

1.引言

期權定價理論是現代金融數學的核心問題之一，1973年由Fischer Black和Myron Scholes[1]提出了著名的Black-Scholes期權定價模型，成為期權定價問題領域的基石，然而經典的Black-Scholes模型有兩個主要缺陷：一是尖峰厚尾性質和非對稱性質，即在經典B-S模型有著比正態分布更高的峰度和更厚的尾函數；二是“波動率微笑”，經典模型中隱含波動率是一個常數，而實際情況卻是個類似于“微笑”形狀的曲線。

交換期權是一種特殊的奇異期權，期權的持有者可以在到期日用一種標的資產換取另外一種標的資產。本文借鑒Kou文中研究歐式期權定價的方法，運用Girsanov定理和Hh函數的相關性質給出了雙指數跳擴散模型下交換期權的數值解。

2.雙指數跳擴散模型下的交換期權定價

2.1 雙指數跳擴散模型

假設市場中有三個可連續交易的資產，一個無風險資產B和兩個風險資產S1和S2，在風險中性測度Q下， ，假設風險資產S1和S2在t時刻的價值滿足：

其中σ1和σ2分別表示兩種風險資產在無跳躍發生時波動率，W1和W2為Q下的布朗運動滿足 ，N1(t)和N2(t)分別是參數為λ1和λ2的泊松過程且相互獨立，Vi是一系列非負的獨立同分布隨機變量，，令 有

p＞0表示資產價格向上跳躍的概率，q＞0表示資產價格向下跳躍的概率，因此有p+q=1。假設所有的隨機變量都是相互獨立的。

用公式可以解得：

則由由此可知在初始時刻的期權價格應該滿足：

接下來分別計算前后兩項。

這樣就有

于是我們考慮Q測度下 的概率。

2.2 Hh函數與相關引理[7]

引理2.1對于任意的 ，有

其中概率Pn,k與Qn,k分別為：

其中

這里ξ+與ξ-分別是參數為η1和η2的指數隨機變量

引理2.2

假設{ξ1,ξ2,…}是一列參數為η＞0的獨立同分布指數隨機變量，Z是服從N(0,σ2)正態隨機變量，則對于所有的有

(1)概率密度函數為(2)分布函數為

這兩個引理將雙指數隨機變量轉換為了兩族單指數隨機變量的和的概率

2.3 交換期權定價

的泊松過程，N2(t)的跳頻度不變，在Q下是獨立

同分布的隨機變量，概率密度函數為

其中

所以在Q測度下有

計算可得

即有

其中

由引理2.1可得，

這里ξ+與ξ-分別是參數為η1和η2的指數隨機變量。

所以可以計算得

綜合上述可得到

同理考慮

可得

所以可以得到

定理3.1雙指數跳擴散下的交換期權的定價為

其中

3.結論

本文研究了雙指數跳擴散下的交換期權定價，并運用Hh函數的相關性質與引理和Girsanov定理給出了顯示解，本文中考慮的重點在于應用這些性質與引理解決交換期權定價，所以僅考慮風險資產的收益率和波動率為常數的情況。今后還可以進一步改進這個模型與數值解，例如考慮期望收益率和波動率依賴市場經濟狀態，其中經濟狀態可以用帶切換的隨機微分方程來表示。

[1]Black F， Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J]. Journal of Political Economy， 1973， 81(3)：637-54.

[2] Merton R C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous ☆[J]. Working Papers， 1975， 3(1–2)：125-144.

[3]Hull J， White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities[J]. Journal of Finance， 1987， 42(2)：281-300.

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[5]X. Guo. Information and option pricings[J]. Quantitative Finance， 2010，1(1)：38-44.

[6]Kou S G. A jump diffusion model for option pricing with three properties： leptokurtic feature， volatility smile， and analytical tractability[C]// Computational Intelligence for Financial Engineering. IEEE， 2000：129 - 131.

[7]Kou S G. A Jump-Diffusion Model for Option Pricing[J]. Management Science， 2002， 48(8)：1086-1101.