第二類r-置換因子循環(huán)矩陣的逆與廣義逆

胡　艷

(西安培華學(xué)院 基礎(chǔ)部， 陜西 西安 710125)

第二類r-置換因子循環(huán)矩陣的逆與廣義逆

胡艷

(西安培華學(xué)院 基礎(chǔ)部， 陜西 西安 710125)

摘要：給出了第二類r-置換因子循環(huán)矩陣的概念，利用特殊矩陣，得到f(x)、g(x)的公因式d(x)，根據(jù)公因式的取值進(jìn)而得到第二類r-置換因子循環(huán)矩陣的逆與廣義逆，并給出了具體的計(jì)算公式.

關(guān)鍵詞：第二類r-置換因子循環(huán)矩陣；第二類r-置換因子循環(huán)矩陣的逆；廣義逆

0引言

1基本概念

我們給出如下定義：

定義1設(shè)P為n階基本置換因子循環(huán)矩陣，對(duì)于Mn中的矩陣πr如果滿足

(1)

顯然，πr的特征多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式都是xn-r.

定義2設(shè)πr∈PrCMn,對(duì)于Mn中的矩陣A,如果存在多項(xiàng)式

f(x)=a0+an-1x+an-2x2+…+a1xn-1，

稱f(x)=a0+an-1x+an-2x2+…+a1xn-1為A的伴隨多項(xiàng)式.

定義3[3]設(shè)矩陣A∈m×n，若存在矩陣B∈m×n及條件

(1)ABA=A，

(2)BAB=B，

(3)(AB)*=AB，

(4)(BA)*=BA，

(5)AB=BA，

則我們

稱滿足方程(1)～(4)的矩陣B為A的Moore-Penrose逆陣，并記為A+；

稱滿足條件(1)、(2)的矩陣B為A的反射g逆；

若滿足方程(1)、(2)且其非零特征值是A的非零特征值的倒數(shù)的矩陣B為A的譜逆，記為As；

稱滿足條件(1)、(2)、(5)的矩陣B為A的群逆，記為A[1,2,5]或記為A#.

引理1[1]設(shè)Z是一個(gè)有不同特征值的n×n矩陣，φz表示所有與Z可交換的矩陣組成的集合，則φz中每一個(gè)矩陣A都有指標(biāo)1，并且A的唯一譜逆As是A在φz中僅有的廣義逆.

f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

引理3[4]一個(gè)非零矩陣A有唯一譜逆As當(dāng)且僅當(dāng)有指標(biāo)1，這時(shí)As也是A的群逆A#.

2主要結(jié)果

定理1若設(shè)πr為滿足(1)式的n階第二類r-置換因子循環(huán)矩陣，對(duì)于Mn中的矩陣A，若A∈PrCMn，則πrA=Aπr.

證明因?yàn)锳∈PrCMn,所以

則有

=Aπr.

定理1得證.

定理2設(shè)A∈PrCMn是奇異的，則A#=As.

由引理1和引理3以及定理1很容易得到定理2的證明，此處省略.

(1)若d(x)=1，則A可逆，并且A-1=u(πr)∈PrCMn.

A#=As=d(πr)u1(Pr)且A#∈PrCMn.

(1)若d(x)=1，由引理1，得到u(x)f(x)+v(x)g(x)=1，取x=πr，則由于f(πr)=A,g(πr)=0，所以Au(πr)=In，故A可逆，并且u(πr)是A的唯一逆矩陣，即A-1=u(πr)∈PrCMn.

(2) 若d(x)≠1，設(shè)f(x)=d(x)f1(x),g(x)=d(x)g1(x)，則(f1(x),g1(x))=1.由(d(x),g1(x))=1，得

(f(x),g1(x))=(d(x)f1(x),g1(x))=1.

又由(d(x),g1(x))=1,從而得

(f(x)d(x),g1(x))=1.

f(x)d(x)u1(x)+g1(x)v1(x)=1.

(1)

在(1)式兩端右乘以h(x)，得

f(x)d(x)u1(x)f(x)+g1(x)v1(x)f(x)=f(x).

(2)

在(2)式中令x=πr，由于f(πr)=A,g(πr)=0，所以有

Ad(πr)u1(πr)A=A.

(3)

同理在(1)式兩端左乘以d(x)u1(x)，并令x=πr，得

d(πr)u1(πr)Ad(πr)u1(πr)=d(πr)u1(πr).

(4)

又因?yàn)閔(x)d(x)u1(x)=d(x)u1(x)h(x)，并令x=πr，得

h(πr)d(πr)u1(πr)=d(πr)u1(πr)h(πr)，

即有

Ad(πr)u1(πr)=d(πr)u1(πr)A.

(5)

由(3)、(4)、(5)及定義1知A#=d(πr)u1(πr).

下面給出的是通過定理1得到求第二類r-置換因子循環(huán)矩陣的逆和廣義逆的一般步驟：

(1)由循環(huán)矩陣A∈PrCMn，找出πr，得到兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x).

As=A#=d(πr)u1(πr).

并且

f(x)=1+2x+x2，g(x)=x3-1.

顯然d(x)=1.構(gòu)造多項(xiàng)式矩陣

對(duì)A(x)只進(jìn)行初等行變換：

對(duì)A(x)只進(jìn)行初等行變換：

可以得出d(x)=x-2，這時(shí)

再構(gòu)造多項(xiàng)式矩陣

對(duì)A1(x)只進(jìn)行初等行變換;

所以

參考文獻(xiàn)：

[1]Cliue,R.E,Plemmons,R.J.andWorm,G..GeneralizedinversesofToeplitzmatrix[J].LinearAlgebraandItsAppl,1974, 8:25-33.

[2]張小紅，蔡秉衡.高等代數(shù)專題研究選編[M].西安：西安科學(xué)技術(shù)出版社，1990.

[3]王國(guó)榮.矩陣與算子廣義逆[M]. 北京：科學(xué)出版社，1998:1-3.

[4]ScroggsJE,OdellPL.Analternatedefinitionofapseudo-inverseofamatrix[J].JSocIndandApplMath,1966, 14:796-810.

[5]趙立寬,李振,孟令霞.關(guān)于第二類循環(huán)矩陣的幾個(gè)性質(zhì)[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009,35(4):34-36.

[6]蔣加清.關(guān)于第二類循環(huán)矩陣求逆的一種算法[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2012,32(1):87-90.

[7]胡艷,秦克云,孫繼忠.r-塊置換因子循環(huán)矩陣及其逆矩陣的求法[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，29(4)：63-67.

[8]毛綱源.循環(huán)矩陣及其在分子振動(dòng)中的應(yīng)用[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1995.

The Inverse and Generalized Inverse of the

Second Kind ofr-permutation Factor Circulant Matrix

HU Yan

(DepartmentofBasicCourses,Xi'anPeihuaUniversity,Xi’an710125,China)

Key words:the second kind of r-permutation factor circulant matrix; the second kind of r-permutation factor circulant matrix inverse; generalized inverse

責(zé)任編輯：周倫

中圖分類號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-9824(2015)02-0010-05

作者簡(jiǎn)介：胡艷(1984—)，女，河南駐馬店人，助教，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).

基金項(xiàng)目：西安培華學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目(NO.PHKT20130609)

收稿日期：2014-12-21