例談從“最近發展區理論”下設計教學案例

武紹麗

摘 要：最近發展區理論是蘇聯教育家維果茨基提出的，其認為學生在已掌握知識和未掌握知識之間存在需要教師引導的區域，教學的作用恰是在這樣的區域中進行教學的設計、引導學生學習.

關鍵詞：最近發展區；數學；教學；一元二次；不等式；設計

蘇聯教育家維果茨基在多年教學研究中發明了最近發展區理論，這給當時的蘇聯教學給出了一定的指導作用. 其教育理論的核心思想是明確研究了介于學生已經掌握知識和未能掌握知識之間的知識“空白地帶”，該理論認為學生可以通過教師的合理設計、精心準備，將這些屬于“跳一跳”可以觸摸的知識傳授給學生，即在最近發展區理論下進行教學的設計.

從當下數學教學的現狀來看，教師一直是以這樣的方式進行數學教學的設計，從知識復習鞏固——新知教學——課堂小結，這是當下課堂教學設計的主要流程. 但是，在這種總體框架下的具體教學設計還是有區別的，筆者以為做到符合發展區理論下的數學課堂教學設計需要符合幾個標準：

（1）設計自然：符合最近發展區的課堂教學設計自然，既需要對任教學生有扎實的學情了解，又需要對教材做合理的符合學生水平的預期設計，既承接前期學過的知識，又對后續新知有合理的過渡；

（2）循序漸進：最近發展區對于學生個體而言又存在著不同，這里的設計需要按照學生均衡程度去處理教學設計，即循序漸進的原則，這樣的最近發展區較為符合學生認知心理；

（3）留有余地：教師忌任何問題面面俱到、細微不至，如果將學生的最近發展區“填滿”，學生成長的空間就顯得比較小. 本文結合筆者設計的《一元二次不等式》做一番設計.

[?] 內容解析

一元二次不等式及其解法（三）是人教版《數學》（必修5）第三章第2節的第三課時，本節課的學習是對前面一元二次不等式解法的進一步延伸與拓展，以一元二次不等式中的含參問題和恒成立問題為載體，培養學生化歸、數形結合、函數和分類討論等數學思想，旨在強化對一元二次不等式及其解法的深刻理解與應用.

[?] 學情分析

1. 最近發展區

通過前面兩個課時的學習，學生已經掌握了一元二次函數圖象、一元二次方程的根以及一元二次不等式的解集三者之間的關系，并且能求一元二次不等式的解集，以及解決一些簡單的含參問題，并對求解含參一元二次不等式時的分類討論思想有了一個初步的認識.

因此前面的學習為本節課教學內容的順利進行奠定了一個良好的基礎，為學生能力的提升搭建了一個良好的平臺.

2. 能力儲備區

由于不等式問題的綜合性較強，更加注重對能力的考查，因此，雖然有了前面的基礎，但對于學生來講，這始終還是一個難點，很多學生對于含參不等式中參數的處理往往把握不準，找不到合適的解法，或者分類討論時很混亂，無法準確找到分類的標準，從而使解題陷入困境.

[?] 策略分析

通過以上對本節教學內容的重難點、學生學情的分析，以及所要達成的學習目標，特對本節課的教學做如下安排：

1. 通過熱身訓練、知識梳理、能力提升三個環節對一元二次不等式前2個課時進行復習鞏固；

2. 通過引導分析來解決問題2以及變式2，從而掌握由不等式解集求解參數的值或取值范圍這類題型的解法要領；

3. 通過“思考與探究”環節，讓學生通過觀察、討論、自我歸納等方式，完成對不等式恒成立條件的探索，再由教師進行歸納小結；

4. 對于本節課中重難點的處理，主要采取“學生思考——教師分析（引導式）——學生解題——教師點評”的策略，以學生為中心，教師當好“導航儀”，組織學生進行獨立思考，最后由教師進行點評，歸納出本節課的核心知識；

5. 通過跟蹤檢測環節來了解學生對本堂課知識點的掌握情況，以便教師及時進行查漏補缺，以此進一步鞏固知識；

6. 通過方法提煉環節，師生一起回顧總結，梳理本節課所學知識點及思想方法，深化認知. 教學方法：自主探究，引導分析，點評歸納，層層建構.

[?] 具體實施

1. 復習鞏固

問題1：求解關于x的不等式x2-2mx-2m-1>0.

解析：因為Δ=4（m+1）2≥0，故不等式化為：[x-（2m+1）]（x+1）>0，

所以x1=-1，x2=2m+1，且x2-x1=2（m+1），

①當m=-1時，不等式為：（x+1）2>0，解集為{x

x≠-1}；

②當m>-1時，2m+1>-1，解集為{x

x>2m+1或x<-1}；

③當m<-1時，2m+1<-1，解集為{x

x>-1或x<2m+1}.

設計意圖：通過復習鞏固，讓學生最快進入到學習狀態，同時更有效地復習了前面課時內容的重難點——求解含參不等式，同時也為本節課的學習做鋪墊.

2. 能力提升

【變式1】 解關于x的不等式mx2+（1-m）x-1>0.

解析：（Ⅰ）當m=0時，不等式化為x-1>0，即解集為{x

x>1}.

（Ⅱ）當m≠0時，Δ=（1+m）2≥0，所原不等式可化為：（mx+1）（x-1）>0，

所以x1=-，x2=1，且x2-x1=1+=，

①當m>0時，-<1，解集為{x

x< -或x>1}，

②當m=-1時，不等式化為-（x-1）2>0，解集為 ，

③當-11，解集為{x

1

④當m<-1時，-<1，解集為{x

-

設計意圖：該題在復習鞏固的基礎上，引導學生進入更高一級的“最近發展區”，即對二次項系數進行討論的一元二次不等式，旨在強化學生的分類討論思想，通過求解含參不等式，掌握分類思想的要點，爭取做到分類明確，不重不漏，并為后面解決恒成立等綜合問題做準備.

3. 深度發展

問題2：已知不等式x2-2mx-2m-1>0的解集為（-∞，-1）∪（15，+∞），求m的值.

解析：由題意可知：-1和15是方程x2-2mx-2m-1=0的根，代入方程解得：m=7.

【變式2】 若不等式x2-14x-15<0的解滿足不等式2x2-9x+m<0，求實數m的取值范圍.

解析：由上可知：{x

-1

f（15）≤0，所以2+9+m≤0，

450-135+m≤0，解得：m≤-315.

設計意圖：問題2及其變式2的設置，旨在讓學生體會一元二次不等式解集與一元二次方程之間的關系，并能從不等式的解集求出參數的值或取值范圍. 這里的深度發展，是符合學生從參量討論到不同情況下的討論更進一步.

問題3：對于一切實數x不等式x2-2mx+2m+1>0恒成立，求m的取值范圍.

解析：要使不等式恒成立，只需Δ=（2m）2-4（2m+1）<0，即1-

【變式3】 對于一切實數x不等式mx2-2mx+2m+1>0恒成立，求m的取值范圍.

解析：（1）當m=0，1>0成立；

（2）當m≠0時，

m>0，

Δ=（2m）2-4m（2m+1）<0，解得：m>0.

綜上可得：m≥0.

設計意圖：問題3是對前面“思考與探究”中有關恒成立條件的直接應用，該題相對比較簡單，主要由學生獨立完成；而變式3在問題3的基礎上遞進了一層，需要對二次項系數進行分類討論，先由學生試做，教師觀察情況，再做點評.這種循序漸進的方式符合最近發展區理論.

思考題：設函數f（x）=ax2-2x+2，對于滿足10，求實數a的取值范圍.

[?] 思考小結

本設計從學生固有知識出發，將解不等式問題延伸至學生“觸手可及”的反向解決參數和恒成立問題，這種設計緣自教材又高于教材，對學生而言也比較符合應試的準則. 從本課設計的問題而言，主要力主學生：（1）解含參不等式時一定要注意分類討論，即①討論二次項系數；②討論判別式Δ的符號；③當Δ>0時，討論方程兩根x1，x2的大小關系. （2）已知不等式的解集求參數時，一定要抓住解集的端點就是對應方程的根. （3）處理一元二次不等式恒成立問題時，一定要抓住恒成立的實質，具體問題具體分析，或用最值分析法，或用參數分離法，或用轉換主元法.

從最近發展區理論實踐的角度來說，筆者也收獲了下面的一些想法：

1. 本堂課主要抓住了解不等式問題中的常見類型并加以練習，把方法的選擇總結和提煉為線索作為整節課的主干，分別對分類討論法，最值分析法、參數分離法等方法進行重點剖析，但這是一個自然過渡的過程；

2. 在本節課的重難點處理上，主要采取“學生思考——教師分析（引導式）——學生解題——教師點評”的策略，以學生為中心，教師當好“導航儀”，這種循序漸進的過程恰是最近發展區理論最恰當的教學體現；

（3）在例題及其變式的設置上，可謂是精心準備，編排上更是層層遞進，整個過程尤其注重對數學思想方法的應用，對數學本質的理解. 并在最后給出思考留有余地，引導學生自身不斷加深對更深知識的理解和追求.