索賠盈余風險模型中精確大偏差

華 志 強，　宋 立 新，　馮 敬 海，　齊 曉 夢

( 1.內蒙古民族大學 數學學院， 內蒙古 通遼　028000；

2.大連理工大學 數學科學學院, 遼寧 大連　116024 )

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索賠盈余風險模型中精確大偏差

華 志 強*1,2，宋 立 新2，馮 敬 海2，齊 曉 夢2

( 1.內蒙古民族大學 數學學院， 內蒙古 通遼028000；

2.大連理工大學 數學科學學院, 遼寧 大連116024 )

摘要：考慮了控制變化族(D族)上索賠過程與保費過程構成的索賠盈余風險模型，研究了此風險模型中帶相依關系的隨機變量的非隨機和與隨機和的尾概率漸近問題，利用求相依不同分布的隨機變量的非隨機和與隨機和的精確大偏差方法，得到了帶上延拓負相依和φ混合相依關系的不同分布的隨機變量構成的索賠風險模型中的非隨機和與隨機和的精確大偏差漸近的結論，最后建立了索賠盈余風險模型中精確大偏差的漸近公式．

關鍵詞：精確大偏差；上延拓負相依；索賠過程

0引言

和

成立，其中分布F滿足：存在某個實數T>0，當n→∞時，對于任意的x≥T一致地有

和

若{Xk,k≥1}是一個一致變化族上的、服從不同分布的非負實值隨機變量序列，且隨機變量之間的關系滿足上延拓負相依和φ混合時，文獻[3]給出了由此隨機變量序列構成的索賠風險模型中的非隨機和的漸近尾概率的結論，并獲得了隨機和的精確大偏差．設{Mt,t≥0}是一個嚴平穩的更新計數過程，{Yk,k≥1}是一個取值非負同分布的、負相依的隨機變量序列．在文獻[4]中引入了一個推廣的相依聚合更新風險模型：

稱此風險模型為索賠盈余模型，其中用{Yk,k≥1}來表示保費過程，而{S(t),t≥0}代表了索賠盈余過程．在此基礎上，當索賠過程{Xk,k≥1}是一個D族上的、服從不同分布的非負實值隨機變量序列，且隨機變量之間的關系滿足延拓負相依和φ混合時，本文討論索賠盈余風險模型中D族上隨機變量和的精確大偏差，對文獻[4]中的相應結論進行推廣．

1預備知識

定義1[2]稱{Xk,k≥1}是一個上延拓負相依的隨機變量序列，如果對于每一個k=1,2,…，以及任意的實數x1,x2,…，存在某個M>0，有P(X1>x1,…,Xk>xk)≤MP(X1>x1)…P(Xk>xk)成立；若P(X1≤x1,…,Xk≤xk)≤MP(X1≤x1)…P(Xk≤xk)成立，則稱{Xk,k≥1}是下延拓負相依的；若上述兩式同時成立，稱{Xk,k≥1}是延拓負相依的．

通常地，φ(n)是一個遞減函數．

2D族上索賠風險模型中的精確大偏差

則對于任意固定的γ>0和任意的q>0，當n→∞時，對x≥γn1+q一致地有

和

P(Sn-E(Sn)>x)≥

(1)

φ([bn]-[an])<δ/2

(2)

(3)

根據定義1，有

(4)

根據假設條件A1，對于任意的0<δ<1/2，當n充分大時，對x≥γn1+q有

(5)

由式(4)和(5)可得

(6)

將式(2)、(3)和(6)代入式(1)中，得

[1-δ-M(1+δ)2×

由X的數學期望存在及LF的定義可得

P(Sn-E(Sn)>x)≤

h=(b-2ρlogb)/m2x

對于任意的0<δ<1/2，當n充分大時，對x≥γn1+q有

exp(hm2x/b2)μk)+

Mexp{(1+δ)nh(exp(hm2x/b2)-

2ρlogb)-hx+b}=

(exp((b-2ρlogb)/b2)-1)n(1+

其中第1步用到了切比雪夫不等式及定義1；第3步用到了不等式c1c2…cn≤[(c1+c2+…+cn)/n]n；第4步用到了不等式1+x≤expx；第5步用到了假設條件A1和A2；第6步用到了文獻[3]的命題1(2)，此處B是一個正數．由于

所以就有

和

證明 采用類似于文獻[3]中定理1的證明方法來證明．設δ是取值在(0,1)的任意正數．假設條件A3意味著當t→∞時

(7)

(8)

取滿足文獻[3]中式(3)的ε(t)，對于任意的δ1>0，有

P(SNt-E(SNt)>x)=

A1+A2+A3+A4

(9)

對于A1，記n=[(1-ε(t))λ(t)]，由式(7)及定理1可知，當t→∞時，對x≥γ(λ(t))1+q一致地有

A1≤P(Sn-E(Sn)>x-E(Sn)+

(10)

由定理1、式(7)、式(8)及上式可知，當t→∞時，對x≥γ(λ(t))1+q一致地有

(11)

和

(12)

對于A3，采用與估計A1的相似方法可得當t→∞時，對x≥γ(λ(t))1+q一致地有

(13)

對于A4，設t=1，yi=x/2v，v>1，y=x/v，存在某個常數C′>0，當t→∞時，對x≥γ(λ(t))1+q一致地有

(14)

這里第2步由假設條件A1、A2及文獻[3]的引理2得到，第3步由文獻[3]的命題1(2)得到，第4步由文獻[3]的命題1(1)、式(7)及假設條件A3得到．

由式(9)~(14)可知定理2的結論成立．

3D族上索賠盈余風險模型中的精確大偏差

和

證明 因{Mt,t≥0}是一個更新計數過程，且有E(Mt)=β(t)，根據命題 3可知，當t→∞時有

所以存在非負函數ε(t)，當t→∞時有ε(t)→0，且有

(15)

由于

P(S(t)-E(S(t))>x)=

(16)

對于J1，利用定理2、式(15)及D族的定義可知，當t→∞時對x≥γ(λ(t))1+q一致地有

(17)

對于J2，利用定理2可知當t→∞時對x≥γ(λ(t))1+q一致地有

(18)

和

(19)

對于J3，利用定理2及式(15)可知，當t→∞時對x≥γ(λ(t))1+q一致地有

(20)

由式(16)~(20)可知定理3的結論成立．

4結語

本文采用了求相依的隨機變量的非隨機和與隨機和的精確大偏差的方法，得到了帶上延拓負相依和φ混合關系的、服從D族上不同分布的隨機變量構成的索賠風險模型中的非隨機和與隨機和的精確大偏差結論；構造了索賠盈余風險模型，考慮了此模型中的隨機和的尾概率問題，建立了索賠盈余風險模型中的精確大偏差公式．

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Precise large deviations for claim surplus risk model

HUAZhi-qiang*1,2,SONGLi-xin2,FENGJing-hai2,QIXiao-meng2

( 1.College of Mathematics, Inner Mongolia University for the Nationalities, Tongliao 028000, China；2.School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

Abstract：The claim surplus risk model with dominated variation class (classD) including claim process and premium process, is considered. The asymptotic behavior of the tail probabilities of non-random sum and random sum of dependent random variables in the claim surplus risk model is studied, and some asymptotic results about the precise large deviations for non-random sum and random sum of upper extended negatively dependence andφ-mixing dependent random variables in the claim risk model are got by using the methods of precise large deviations for non-random sum and random sum of dependent and non-identically distributed random variables. Finally, the asymptotic formula of precise large deviation in the claim surplus risk model is obtained.

Key words：precise large deviation; upper extended negatively dependence; claim process

作者簡介:華志強*(1981-)，男，博士生，講師，E-mail:huazhiqiang1981@mail.dlut.edu.cn；宋立新(1966-)，男，教授，博士生導師，E-mail:lxsong@dlut.edu.cn.

基金項目:國家自然科學基金資助項目(11371077,11571058)；內蒙古民族大學科學研究基金資助項目(NMDYB1436，NMDYB1437)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(DUT15LK19).

收稿日期：2014-12-15；修回日期: 2015-11-20．

中圖分類號：O211.4

文獻標識碼：A

doi:10.7511/dllgxb201601010

文章編號：1000-8608(2016)01-0064-06