立體幾何中的顯隱問題

房 亮

(貴州省賽文高級中學，貴州 興義 562400)

立體幾何中的顯隱問題

房 亮

(貴州省賽文高級中學，貴州 興義 562400)

本文從立體幾何圖形中基本的平面概念出發，來分析高考文科數學立體幾何題型中因為一些隱藏的線、面給題目帶來的視覺影響和解題限制，從而尋求一種關于立體幾何中的顯隱問題的解題策略。

高考；立體幾何；顯隱問題

立體幾何在高考中占據重要的地位。通過近幾年的高考情況分析，考察的重點及難點穩定。高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直的性質和判定作為考察重點。在難度上也始終以中等偏難為主。在高考考目題中，從2015高考新課標全國卷2題目中要求在立體幾何圖形中做出滿足要求的輔助線，不用說明理由。當時此題的社會反響很大，其中大部分的反應是：立體幾何題目不是應該出平行垂直的證明么？怎么畫起正方形來了，是不是舍本逐末。這恰恰是立體幾何運用的關鍵所在，在教學中很多學生將立體幾何中的所有的線全部都畫成了實線，顯然學生缺乏空間想象能力，做題目時無法建立空間模型，對于異面直線位置關系不能很好的建立空間想象，所以會證明一些題目并不意味著具備空間想象能力，恰恰是這道高考題才能說明什么是應試、什么是能力，才能進行有效選拔。

例1：正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結論：

(1)直線AM與CC1是相交直線；

(2)直線AM與BN是平行直線；

(3)直線BN與MB1是異面直線；

(4)直線AM與DD1是異面直線。

其中正確的結論為________.

(注：把你認為正確的結論的序號都填上)

分析：此題(1)(2)可能會被誤選，所以要將直線AM、BN繼續延展顯現出來。

根據公理2的推論“兩條平行直線確定一個平面”，由AB//MC1得ABMC1確定一個平面，所以將BC1與AM這兩條不平行的直線延長一定會交于一點。如下圖，所以(1)是錯的。

將BN延長至點C2，所以(2)也是錯的。正確答案為(3)(4)。

例2：如圖，在正四棱柱A′C中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D′D、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN//平面B′BDD′。

分析：此題過點N應有一個平面α與平面B′BDD′平行，則M在α內，又因點M在四邊形EFGH內，所以M在兩個平面的交線上，所以需要將α顯現出來。

解答：因NH//BD，HF//BB′，所以平面NHF//平面B′BDD′ ，根據公理3，FHN確定一個平面NHF，而平面NHF∩四邊形EFGH=FH，所以M在線段FH上。

例3：如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點。

(1)求證：AM//平面BDE。

(2)若平面ADM∩平面BDE=n，平面ABM//平面BDE=m，試分析直線n與m的位置關系，并證明你的結論。

分析：第2問若想將直線m、n顯現出來，有一定的難度，不好操作。但看到兩問的聯系AM不難找到突破口。

簡答：AM//平面BDE，AM在平面ADM內，平面ADM∩平面BDE=n，所以AM//n；同理AM//m，根據公理4，m//n。

例4：如圖，已知三棱柱ABC-A′B′C′，側棱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°，點M，N分別為A′B和B′C′的中點。

(1)證明：MN//平面AA′C′C；

(2)設AB=λAA′，當λ為何值時，CN⊥平面A′MN，

試證明你的結論。

分析：除A′N⊥CN外，平面A′MN在三棱柱中的截面沒有完全顯示，導致由CN⊥MN或CN⊥A′B無法解答或無法快速解答此題。

結論：在需要解答的題目中，要充分利用平面的延展性和顯隱策略解題，即利用四個公理進行解題，適當的進行平面的延展，才能很直觀的看到或找到解決問題的途徑，這樣才能夠很好地體現學生空間想象能力的考察和空間幾何問題的分析能力體現。

Explicit and implicit problem in stereo eometry

FANG Liang

(Saiwen Senior High School of Guizhou Province, Xingyi 562400, China)

Based on the basic plane concept in stereo geometric figure, this paper analyzes the visual influence and problem-solving limitation caused by some hidden lines and faces in stereo geometry of liberal arts mathematics in college entrance examination, so as to find problem-solving strategy of explicit and implicit problem.

College entrance examination; Stereo geometry; Explicit and implicit problem

2016-09-26

房亮(1980-)，男，學士，中學一級教師。

G634

B

1674-8646(2016)23-0031-02