斐波那契數列在優化計算中的應用

張婧馨

(哈爾濱市第九中學，哈爾濱 150040)

斐波那契數列在優化計算中的應用

張婧馨

(哈爾濱市第九中學，哈爾濱 150040)

簡要分析了斐波那契數列的定義及特點，結合極值與導數初步的概念。基于初等數學理論，從優化角度出發，設計一類能解決實際優化問題中極值求解的的高效可行方法，此方法可以推廣求解相應的多維非線性問題。

斐波那契數列；優化算法；極小值；極限與導數

1 斐波那契數列定義

1202年，意大利數學家列昂納多·斐波那契(Leonardo Fibonacci，1170-1240)撰寫了《珠算原理》(Liber Abacci) 。書中他以兔子繁殖為例，引入一個數列：1,1,2,3,5,8,13,21……這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和，即：

a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3)，

2 斐波那契數列的性質

隨后的幾個世紀里，人們不斷研究這個數列，又發現了許多奇特的性質，如：

A．fm+n=fn-1fm+fnfm+1。

D．fn/fn+1是一個連分數。

F．1884年法國數學家拉姆開辟了應用斐波那契數列作為有力工具的先河，他用斐波那契數列證明了：應用輾轉相除法的步數不大于較小的那個數的位數的5倍。

實際上斐波那契數列還有很多重要性質，這些性質不僅在幾何、代數、概率等數學研究領域有重要的應用，而且在很多實際問題中也有涉及，如：植物生長方式、動物行為和鋼琴鍵盤設計等。

3 斐波那契數列與優化方法

一維搜索是求一元函數在某區間上的極值點的方法。斐波那契搜索法的一維搜索過程是建立在一個被稱為斐波那契數列的基礎上進行的。從理論上來說，斐波那契法的精度比黃金分割法要高。這類方法不僅有實用價值，而且是多維最優化方法的一個基礎。設f是定義在閉區間[a,b]上具有一個極值點x*的一元實函數，如圖。

圖1 搜索過程示意圖Fig.1 Search process diagram

(1)

(2)

例1：用斐波那契搜索法求函數f(t)=t2-6t+2的近似極小點和極小值，要求縮短后的區間不大于區間[0，10]的0.05倍。

4 實際問題計算中的應用

在現實生產生活中，有很多問題的解決可以轉化為求解函數的極大極小值。例如，如何投入資本使得收益最大，如何設計產品使得成本最小及如何分配產品銷售和倉儲才能獲得最大利潤等。以一個實際問題說明斐波那契數列在優化計算中的應用。

例2：工業項目建設污染排放要進行嚴格控制，一般要求對污染測定與污染源的距離至少要2km，在污染源相對集中的情況下，空氣受污染水平與排污量成正比，與到污染源的距離成反比，工廠A與B相距20km，分別釋放的污染為85μg/mL與300μg/mL，若想在A，B間建造一個居民小區，試問居民小區建在何處所受污染最小？

通過matlab編寫程序計算得到：x=6.9476，此時最大污染值為35.2178μg/mL。

因此，居民區建在離工廠A6.9476km處所受污染最小。

例子是函數極值問題在實際中的應用，實際上極值問題在經濟生活及工程技術等方面應用廣泛，但如何求得函數極值是解決上述問題的關鍵。這里從斐波那契數列出發，為進一步融合極值的概念，在初等數學的基礎上研究了一種可以解決一大類實際問題的搜索方法。

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Theapplication of Fibonacci sequence in optimization algorithm

ZHANG Jing-xin

(The No.9 Middle School of Harbin, Harbin 150040, China)

Combining the concepts of extremum and derivative, the definition and characteristics of Fibonacci sequence are briefly analyzed. Based on the theory of elementary mathematics, an efficient and feasible method to solve the extremum in practical optimization problem is designed from the viewpoint of optimizing. This method can be used to solve the multidimensional nonlinear problem.

Fibonacci sequence; Optimization algorithm; Minimal value; Limit and derivative

2016-09-15

張婧馨(1999-)，女，學生。

G642

A

1674-8646(2016)23-0020-03