基于最小二乘的同步多用戶非周期長碼直擴信號擴頻序列估計

張天騏 強幸子 馬寶澤 王俊霞

(重慶郵電大學 信號與信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400065)

基于最小二乘的同步多用戶非周期長碼直擴信號擴頻序列估計

張天騏 強幸子 馬寶澤 王俊霞

(重慶郵電大學 信號與信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400065)

針對低信噪比下同步多用戶非周期長碼直擴信號的擴頻序列估計問題,提出了一種基于嵌套迭代最小二乘投影算法的擴頻序列估計方法. 首先,將同步多用戶非周期長碼直擴信號等效為含有缺失數據的相應的短碼直擴信號. 然后,利用最大似然估計理論對相應的短碼直擴信號進行數學分析,構建擴頻序列估計的數學模型. 最后,利用一種嵌套迭代最小二乘投影算法來實現擴頻序列的估計. 研究表明,該算法在低信噪比(小于-10 dB)情況下,對多用戶(多達10路)擴頻序列的估計有著良好的性能表現.

長碼直擴信號;缺失數據模型;最大似然估計;嵌套迭代最小二乘投影算法

引 言

直接序列擴頻(DirectSequenceSpreadSpectrum,DSSS) 信號由于其抗干擾能力強、保密性能好、直擴通信速率高以及便于實現多址通信等優點,在軍事和民用通信系統中得到廣泛應用,如超長波對潛通信及第三代移動通信CDMA系統等. 在合作通信系統中,合作接收方可利用已知的擴頻碼序列對接收到的直接序列擴頻信號進行解擴提取信息碼. 然而在非合作通信系統中,特別是在低信噪比條件下,需要事先對擴頻序列進行估計才能完成信號的盲解擴. 因此,擴頻序列估計已成為目前研究的熱點之一.

在非合作直擴通信系統中,針對多用戶短碼直擴信號(擴頻周期等于信息碼周期)擴頻序列估計的相關文獻較多,較為成熟. 目前已有方法大致可分為:基于奇異值分解的方法[1-3]、基于最大似然估計的方法[4-5]、基于子空間的方法[6]、基于模式識別聚類的方法[7-8]、基于盲源分離的方法[9]以及基于神經網絡的方法[10]等. 對于相應周期長碼直擴信號擴頻序列估計的相關工作大多是對短碼直擴信號估計方法的擴展. 但是針對多用戶非周期長碼直擴信號擴頻序列估計的相關研究較少[11]. 文獻[12]提出一種基于平行因子的長碼直擴信號擴頻序列盲估計方法,但該方法需要多通道接收技術來保證階維矩陣低秩分解的唯一性. 文獻[13]通過構造缺失數據模型,利用奇異值分解(SingularValueDecomposition,SVD)算法對擴頻序列進行估計,該方法實際是利用迭代過程首先估計出與長碼直擴信號對應的短碼直擴信號,然后利用SVD得到擴頻序列子空間的估計值,再將缺失數據矩陣投影到擴頻序列子空間,通過期望最大化(ExpectationMaximization,EM)算法對擴頻序列進行估計. 當用戶數較多,且噪聲污染比較嚴重時,該方法運算復雜度明顯增強,且估計效果不理想.

本文的核心思想是利用文獻[13]的思路,將同步多用戶非周期長碼直擴信號建模為含有缺失數據的相應短碼直擴信號,利用最大似然估計理論對信號模型進行分析,并提出一種嵌套迭代最小二乘投影算法實現各用戶擴頻序列的估計.

1 同步多用戶DSSS模型

定義1 設A,B分別為兩個m×n矩陣,A=(aij)m×n,B=(bij)m×n. 記

A⊙B=(aijbij)m×n,

(1)

稱A⊙B為A與B的hadamard乘積矩陣.

實際非合作場景中,K路用戶長碼直擴接收信號模型可寫為

n=0,1,…,N-1.

(2)

針對同步多用戶長碼直擴信號,滿足τ1=τ2=…=τk=τ. 在實際情況中,式(2)中各個用戶載波的初始相位φk往往是不同的,但考慮到文獻[14]可對各個用戶的載波相位進行估計,然后將其等效為異步多用戶長碼直擴信號模型. 對于異步多用戶長碼直擴信號模型,將另作文章具體分析,本文假設f1=f2=…=fk=f及φ1=φ2=…=φk=φ.

假設信號已經過盲同步處理,即τ=0. 此時,基帶同步多用戶長碼直擴信號可寫為

n=0,1,…,N-1.

(3)

信號樣本的列向量形式為

(4)

同時將信息碼、擴頻碼序列以及噪聲序列寫成矩陣形式:

(5)

(6)

(7)

為方便起見,將各用戶的信號幅度乘入擴頻序列矩陣中,如式(6)所示. 此時,式(2)可以寫為如下形式:

(8)

式中,Z為K個1組成的列向量. 式(8)結構如圖1所示.

圖1 同步多用戶長碼DSSS信號模型

本文假設用戶數已知,且每個用戶中擴頻序列的長度、信息碼元的寬度均已事先被估計[2,15]出來.

現在用含有缺失數據的同步多用戶短碼直擴信號虛擬同步多用戶長碼直擴信號模型. 虛擬一個與該多用戶長碼直擴信號擴頻碼序列和信息碼序列相同對應的短碼直擴信號,則該短碼直擴信號加噪并離散化后可寫為

(9)

(10)

式中:

(11)

V表示噪聲矩陣.

Y的結構如圖2所示.

圖2 虛擬多用戶短碼直擴信號模型

圖3 缺失數據模型

2 擴頻序列估計

2.1 最大似然理論分析

(12)

其負對數最大似然函數為

(13)

依據最大似然估計原理,當式(13)取最小值時對應的C和B為該最大似然函數所對應的最大似然概率估計. 由于式(13)中K和σ均為常數項,上述最大似然估計問題可以轉化為如下最小二乘估計問題.

2.2 最小二乘估計方法

根據最大似然函數的表達式,可以將以上問題建模為

(14)

(15)

(16)

得到B2,依此迭代,直到B收斂(Bn=Bn+1). 當固定B時,C的求解過程與上述方法類似.

綜上所述,對于目標函數式(15)的求解方法實際上是采用了一種嵌套迭代最小二乘投影算法進行求解[16-17]. 具體步驟如下:

2)n=n+1,j=0,k=0.

3)j=j+1,

(17)

6)k=k+1;

(18)

本文所提算法主體是采用最小二乘方法,因此其計算復雜度主要集中在對缺失數據矩陣求偽逆,而求偽逆的計算復雜度又主要由乘法構成,對一個X×Y的矩陣求偽逆,共需要XY2+2Y3次乘法,因此算法步驟3)中迭代過程的計算復雜度為iLM2+2iM3,步驟5)中迭代過程的計算復雜度為jLM2+2jM3,總體的計算復雜度為n(i+j)LM2+2n(i+j)M3,其中i,j,n分別表示步驟3)、步驟5)和整體的迭代次數. 文獻[13]首先利用SVD對擴頻序列子空間進行估計,然后再利用EM算法對擴頻序列進行估計,SVD估計擴頻序列子空間的算法復雜度約為(L+M)3; EM算法復雜度主要集中在對矩陣求逆,復雜度約為nLM2+2nM3; 總體算法復雜度為(2n+1)M3+(n+3)LM2+3L2M+L3. 因此,本文算法與文獻[13]算法的計算復雜度從數量級上來說是相當的,并且擴頻碼序列的長度對本文算法計算復雜度影響較小.

2.3 收斂性

2.3.1 步驟3)迭代過程中的收斂性證明

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由于

(24)

(25)

(26)

(27)

2.3.2 步驟6迭代過程中的收斂性證明

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

由于

(33)

(34)

(35)

(36)

2.3.3 整體迭代過程中的收斂性證明

假設在步驟3中迭代結束后目標函數為

(37)

在步驟6中迭代結束后目標函數為

(38)

(39)

取得最小值,又因為

(40)

(41)

(42)

當且僅當Cn=Cn-1,Bn=Bn-1時,等號成立.因此,該算法在整體迭代的過程中也是收斂的.

2.4 可辨識性

為論證本文算法迭代過程中收斂結果的確定性,這里提出可辨識性[16]的定義以及兩個性質,性質證明詳見附錄A.

性質1 對于YL×N=CL×KBK×N,如若C和B滿足以下條件,則Y的K維分解可辨識.

1)C和B分別為列滿秩和行滿秩矩陣;

2)B中的任一元素Bi,j∈{+1,-1};

3)B中存在著這樣的2K-1列:在這2K-1列中既沒有完全相同的列,也沒有完全相反的列.

性質2 對于YL×N=(CL×KBK×N)⊙WL×N,W(n)L+1,[n/G]+1=1,其中,(n)L表示n除L取余數,n=0,1,…,GN-1. 如若C和B滿足以下條件,則Y的K維分解可辨識.

1)C和B分別為列滿秩和行滿秩矩陣;

2)B中的任一元素Bi,j∈{+1,-1};

3)B中存在著這樣的2K-1列:在這2K-1列中既沒有完全相同的列,也沒有完全相反的列.

4)C中任意連續的G行所組成的子矩陣均為列滿秩矩陣.

5) 2G-a-1>K,其中a=GCD(G,L),GCD表示最大公約數.

3 仿真實驗

下面用計算機仿真的方法對本文算法的性能進行分析.不失一般性,仿真中擴頻及信息碼序列采用隨機產生的雙相移相鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)調制序列,算法收斂判別中參數設置為ρ1=10-4,ρ2=10-4,ρ=10-2. 采用誤碼率作為該算法性能評價指標. 誤碼率計算公式為

(43)

式中:nm表示第m次蒙特卡洛仿真中估計錯誤的擴頻序列的個數;K為用戶數;L為擴頻序列長度;M為蒙特卡洛仿真次數. 信噪比計算公式為

(44)

實驗一 驗證本文算法的可行性,取L=63,G=30,固定信號樣本長度(取信息碼個數為3 000的數據段). 在信噪比為-7dB的情況下,對K=5的多用戶長碼直擴信號擴頻序列進行估計. 首先,將信號樣本按照第2節中缺失數據模型的構造過程構造成缺失數據矩陣,然后利用3.2節中算法步驟進行迭代運算,直至滿足收斂條件,得到各個用戶擴頻序列的估計值. 計算仿真實驗結果如圖4(a)和(b)所示.

(a) 擴頻序列真實值

(b) 擴頻序列估計值圖4 不同用戶的擴頻序列真實值和估計值

對比圖4(a)和(b)可知,本文算法在信噪比為-7dB的情況能夠準確地估計出多路用戶所對應的擴頻序列.

實驗二 驗證本算法在不同用戶數下的性能,固定信號樣本長度(取信息碼個數為3 000的數據段). 在K=7,8,9,10時,信噪比在-15～0dB時,分別在L=127,G=50和L=1 023,G=500的條件下估計所得擴頻序列的誤碼率,蒙特卡洛仿真200次后所得性能曲線如圖5(a)和(b)所示.

(a) L=127,G=50

(b) L=1 023,G=500圖5 不同L和G條件下時誤碼率曲線

由圖5可知:當信噪比為-10dB時,該算法能夠在L=1 023,G=500時對10路用戶的擴頻序列進行有效分離; 且在其他條件給定時,隨著用戶數的減少,性能增強; 擴頻周期越長,本文算法的抗噪性能越強.

實驗三 驗證信息碼長度對算法性能的影響. 取L=1 023,G=500,RSN=-10dB. 分別在K=8,9,10,信息碼個數為500～4 000時,估計所得擴頻序列的誤碼率,蒙特卡洛仿真200次后所得性能曲線如圖6所示.

圖6 數據組數對擴頻序列估計的影響

由圖6可知:隨著信息碼長度的增加,算法估計性能不斷提高; 相同條件下,用戶數越少,算法估計性能越好.

實驗四 驗證本文算法在不同用戶數下的收斂

速度,固定信號樣本長度(信息碼個數為3 000的數據段),取RSN=-10dB時,在L=1 023,G=500.當K=6,8,10時,本文算法在迭代過程中擴頻序列誤碼率的變化情況如圖7所示.

圖7 收斂速度曲線

由圖7可知:本文算法能夠通過迭代運算不斷降低擴頻序列估計值的誤碼率,直到收斂; 用戶數越多,所需的迭代次數越多,收斂速度越慢.

實驗五 固定信號樣本長度(取信息碼個數為3 000的數據段). 在L=1 023,G=500,K=6的條件下,通過200輪蒙特卡洛仿真對照本文算法與文獻[13]在不同信噪比(-15～0dB)條件下擴頻序列估計誤碼率的變化曲線,仿真結果如圖8所示.

由圖8可知,本文算法在整體上優于文獻[13]算法. 信噪比越低,本文算法相對于文獻[13]算法的優勢越明顯,說明本文算法的抗噪性能較文獻[13]算法要好.

圖8 不同信噪比條件下擴頻序列估計性能對照

4 結 論

本文針對同步多用戶非周期長碼直擴信號擴頻序列估計問題,提出了一種基于嵌套迭代最小二乘投影算法的擴頻序列估計方法,并對該方法的收斂性進行了較為詳細的理論推導,研究表明:本文算法在信噪比低于-10dB時可對L=1 023,G=500的多達10路用戶的同步多用戶非周期長碼直擴信號擴頻序列實現準確估計. 本文方法可應用于衛星通信以及電子對抗中擴頻序列估計,特別是多用戶非周期長碼信號擴頻序列的估計.

附錄A

性質1證明:假設存在C′、B′同樣是Y的分解矩陣,并且C′、B′也滿足如上條件. 則有

Y=CB=C′B′.

(A1)

由于B′是行滿秩矩陣,可得

C′=CB(B′)?.

(A2)

式中,(B′)?表示B′的偽逆. 若對兩邊同時乘以B′,則有

CB=C′B′=CB(B′)?B′,

(A3)

即

C[B-B(B′)?B′]=0.

(A4)

因為C是列滿秩矩陣,故必有.

B=B(B′)?B.

(A5)

(A5)又因為B和B′均為行滿秩矩陣,所以B(B′)?是一個非奇異的方陣,令T=B(B′)?,即有

B=TB′.

(A6)

(A7)

(A8)

方程(A7)的解為:t11和t12中一個為±1,一個為0. 方程(A8)的解與(A7)類似. 結合T為非奇異矩陣,則T滿足:每一行中只有一個±1,其它為0,T可逆. 此時,TB′實際上只是對B′進行了行交換,即Y是可辨識的.

假設K=k時,Y是可辨識的. 此時,T滿足:任意一行中只有一個±1,其它為0,且T可逆.

現在考慮K=k+1時,

(A9)

按照性質中所給條件,不失一般性的假設

(A10)

按照式(A6)展開第一行即有

(A11)

因為方程組中如若除去第一列,后邊k列的排列組合總是成對出現(總有與之完全相反的項出現),根據K=2時的結論,該方程的解應為

(A12)

或者

(A13)

對于第一種解的情況,顯然后邊方程組的解各項都為0; 對于第二種解的情況,后邊方程組的上半部分是對應K=k時的情況,根據K=k時的假設,方程組的解只能是:存在一個±1的解,其它為0. 綜上所述,對于式(A6)在K=k+1的情況下,T的第一行的解只能是:存在一個±1,其它項為0.

同理可證,其它各行的解的形式與第一行相同. 同時,由于T可逆,所以T矩陣是一個單純的行交換矩陣,即Y可辨識.

綜合以上歸納證明可知,當YL×N=CL×KBK×N,C和B滿足性質中所給的三個條件時,Y是可辨識的.

性質2證明:令

(A14)

令

(A15)

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Estimation of the spread spectrum sequence for synchronous multi-user aperiodic long-code DSSS signals based on least squares

ZHANG Tianqi QIANG Xingzi MA Baoze WANG Junxia

(ChongqingKeyLaboratoryofSignalandInformationProcessing,ChongqingUniversityofPostsandTelecommunications,Chongqing400065,China)

This paper studies the problem of estimation of the spread-spectrum sequence for low SNR synchronous multi-user long-code direct sequence spread spectrum (DSSS) signals. An estimation approach of spread-spectrum sequence based on a nested iterative least squares with projection (NILSP) algorithm is presented. First, The synchronous multi-user long-code DSSS signals is constructed as the short-code ones with missing data. Then the mathematical analysis for the short-code ones with missing data is done based on the theory of maximum likelihood estimation (MLE) to establish a mathematical model of spread-spectrum sequence. After that, the spread-spectrum sequence is estimated by a NILSP algorithm. The theoretical analysis and simulations show that, the proposed algorithm always has a good performance for estimation of multi-users’ (more than 10 users) spread-spectrum sequence in low-SNR (lower than -10 dB) scenarios, and under the same conditions, the longer the data size, the better the performance.

long-code direct sequence spread spectrum (DSSS) signals; missing data model; maximum likelihood estimation(MLE); nested iterative least squares with projection (NILSP)

10.13443/j.cjors.2016030201

2016-03-02

國家自然科學基金(61671095，61371164，61275099)；信號與信息處理重慶市市級重點實驗室建設項目(CSTC2009CA2003)；重慶市教育委員會科研項目(KJ130524，KJ1600427，KJ1600429)

TN911

A

1005-0388(2016)06-1113-11

張天騏 (1971-),男,四川人,重慶郵電大學教授,博士,研究方向為擴頻信號的盲處理、神經網絡實現以及信號的同步處理.

強幸子 (1986-),男,陜西人,重慶郵電大學碩士研究生,研究方向為直擴信號盲處理.

馬寶澤 (1990-),男,河北人,重慶郵電大學碩士研究生,研究方向為通信信號盲源分離.

王俊霞 (1990-),女,河南人,重慶郵電大學碩士研究生,研究方向為通信信道編碼.

張天騏,強幸子,馬寶澤, 等. 基于最小二乘的同步多用戶非周期長碼直擴信號擴頻序列估計[J]. 電波科學學報,2016,31(6):1113-1123.

ZHANG T Q, QIANG X Z, MA B Z,et al. Estimation of the spread spectrum sequence for synchronous multi-user aperiodic long-code DSSS signals based on least squares [J]. Chinese journal of radio science,2016,31(6):1113-1123.(in Chinese). DOI:10.13443/j.cjors.2016030201

聯系人： 張天騏 E-mail: zhangtq@cqupt.edu.cn

DOI 10.13443/j.cjors.2016030201