基于Maple軟件《常微分方程》一體化教學的探討

李銀，位瑞英

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

基于Maple軟件《常微分方程》一體化教學的探討

李銀，位瑞英

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

基于由加拿大Waterloo大學研究組開發的符號計算軟件Maple,對常微分課程理論與實用協同一體化教學進行了研究與探討.首先,利用軟件強大的符號計算功能，對方程解的動態化、“形”與“數”的同步進行了探討;其次,運用Maple作圖功能輔助方程課的教學和展示;最后,通過創設情境、做數學實驗等方式,可以優化課堂教學,提高教學成效.

Maple軟件;常微分課程;優化教學

隨著信息技術對現代教育的沖擊,大學里一些基礎課程面臨著創新和提高;數學是研究現實世界中空間形式和數量關系的科學［1-2］,數學表現出高度的抽象性和應用的廣泛性的特點,具有特殊的公共基礎地位,其重要性顯而易見.基于Maple軟件的數學教學從學生實際出發，創設的問題情景，引導學生通過實踐思考探索交流,獲取知識,形成技能,拓寬思維,學會學習,促使學生在教師指導下生動活潑地主動地富有個性地學習.

在組織教學的過程中應該以學生為主題的課堂理念來組織教學,有選擇的來應用實驗,啟迪心智、增進學生的素質.PPT的簡單與完美、Word的樸實、幾何畫板的清新快捷、Flash動感與浪漫、Maple的“萬變不離其宗”,讓數學教學變得豐富多彩.

因此,數學軟件的應用,可以優化課堂教學，大幅度地提高教學質量.在目前的教學中,Maple，Mathematica，MATLAB等軟件使用較為廣泛［3］,本文則主要對Maple在常微分課程教學中的應用作些探討.Maple是一個易學易用的符號計算軟件,它的最大優勢能讓方程的解動起來及“形”與“數”的同步.具體思路見圖1.

圖1 Maple在常微分課程教學中的應用思路

1 運用《Maple軟件》進行理論學習探討

常微分方程是數學與應用數學、信息與計算科學、統計學專業的一門專業必修課.它不但是數學的基礎課,同時也是常微分方程學科本身近代發展方向的重要基礎.在教學當中,教師應加強基本理論的教學，同時也要注意運算技能的培養和訓練;通過典型例子、做練習題這些環節,幫助培養、提高解題能力和技巧.課程的知識與技能要求分為知道、理解、掌握、學會四個層次,循序漸進,環環相扣.課程的內容主要包括模型建立、一階方程的求解、解的存在唯一性、高階方程的求解、方程組的求解、穩定性(選講)等內容.

在《常微分課程》實驗教學［4-5］中,利用Maple教學的目的是使學生掌握數學實驗的基本方法和思想.基本理論的教學一直是教學的難點,需要將理論概念中“易錯易混”的內容在教學中有許多需要反復比較、仔細觀察、認真體會,從而發現一些數量關系、位置關系.從實際問題出發,借助符號計算和Maple軟件,通過自己設計和動手,提出自己的猜測并找出支持論據,從實驗中學習、探索和發現數學規律.如:課程中的極限問題.

這是極限中的一個重要極限,通過嚴密的證明推導得出結果,技巧較高,過程抽象.老師可以通過Maple作圖,讓學生從圖形中觀察極限的漸進過程,加深對定義的理解.

由圖2可知,當x→1時f(x)→1．圖2對學生的直觀思維起了很好的引導作用,使學生能很好體會極限的含義,為以后的學習打下堅實的基礎．函數的左、右極限也是相當抽象的概念．若單純從定義的角度來解釋,不僅單調乏味,學生有時也感到難以接受．通過幾何圖形來深化它的外延和內涵,將使概念易學易懂．

圖2 極限問題

圖3 方程解曲線問題

例2解方程的初值問題：y=1-y2,y(-4)=2,y(-4)=-0.99.

對于方程的求解,同學們感到非常的困難，通過Maple作圖（見圖3），讓學生從圖形中觀察方程解的漸進過程,加深對方程求解的理解.

With(DEtools):

DEplot((D(y))(x)=1-y(x)^2,y(x),x=-4..4,[[y(-4)=-.99],[y(-4)=2]],title='AsymptoticSolution',color=blue,linecolor= [gold,purple]);如圖3所示,紅色曲線代表y(-4)=-.99;紫色代表y(-4)=2.

2 基于《Maple軟件》作圖驗證結論的準確與錯誤

常微分課程中有很多類型方程如表1,其類型的結論與求解各不相同，其結論的逆命題不一定成立,也有很多命題是假命題,可以通過Maple強大的計算功能和繪圖功能來驗證命題的準確與錯誤.

在函數微分中,已知函數單調性的分界點是函數的極值點,但是反之未必成立,其反例為：

從反例到一元函數而言,函數的極值點不一定是函數單調性的分界點.用生動的反例駁斥錯誤的命題是行之有效的手段.而借助圖形直觀、明顯說服力強等突出優點,學生將非常容易從反面消除一些易出現的模糊認識,正確區分相近易混的命題、定義,從而對知識的理解和掌握更加牢靠深刻.

表1 微分方程的類型

對于學生來說,方程的解都是很難求的,齊次方程學生勉強可以應付,但對于非齊次,學生感覺會力不從心.顯然,怎樣把數學難題、教學的難點等通過直觀圖形表現出來的,可使學生獲得直觀感知,加深印象.

Maple命令窗口輸入：

>dfieldplot(diff(x(t),t)=exp(-t)-2*x(t),x(t),t=-2..3,x=-2..3,axes=BOXED);

向量場輸出結果見圖4.而解的漸進形態見圖5.此時Maple命令窗口輸入：>

phaseportrait(diff(y(t),t)=exp(-t)-2·y(t),y(t),t=-2..3,{[0,0],[0,0.2],[0,0.4],[0,0.6],[0,0.8],[0,0.1]},y=-2..3,axes=BOXED)

從圖形4中可以發現方程解的一些特征：當x<0時,積分曲線在一點是遞增的.當t→∞時,所有的借都趨于零.這樣通過直觀圖形可以把教學的重點呈現出來,可是學生獲得直觀認識,深化理解水平,這也彌補傳統教學的不足,對教學的效果有很好的提高作用.

圖4 極值點反例

圖5 方程向量場問題

3 利用圖形輔助微分方程數值解的有關計算

在方程應用中,許多方程是超越方程,很難甚至得不到符號解.解決的途徑是要了解曲線的圖形,確定搜索區域,因此繪出曲線圖形成為此類問題解決的關鍵.通過Maple作圖,可以從繁雜的數據和復雜的函數公式中觀察變量的內在關系,感受由圖形所傳遞的深層信息，如圖6所示.

圖6 解的漸進形態

圖7 方程數值解

Step1畫出函數的圖像,見圖7；

Step2確定區域,求數值解,見表2.

程序：

>alias(y=y(t),y0=y(0),yp0=D(y)(0)):

>eqn:=diff(y=y(t),t$2-(1-y(t)2)·diff(y(t),t)+y(t)=0; >init:=y0=0,yp0=0.1;

>F:=dsolve({eqn,init},y,type=numeric);

>with(plots):

>odeplot(F,[t,y],0..50,color=blue);

表2 微分方程的數值解

Step1列出方程組及初值,畫出函數的圖像,見圖8和圖9；

Step2確定區域,求平面及三維數值解.

程序：

>restart:

with(DEtools):

eq1:diff(y=y(t),t)+y(t)+x(t)=0:

eq2:y(t),diff(x(t),t):

inil:=x(0)=0,y(0)=5:

ini2:=x(0)=0,y(0)=-5:

>DEplot({eq1,eq2},[x(t),y(t)],t=-5..5,[[ini1],[ini2]],stepsize=0.1);

>DEplot3d({eq1,eq2},[x(t),y(t)],t=-5..5,[[ini1],[ini2]],stepsize=0.1,color=blue);

Maple為基于圖形的教學提供了很好的手段,借助于軟件繪制的圖形可以直觀,充分體現方程的概念、定理的內涵,克服傳統教學中講解內容抽象,教學內容難于推廣等方面的不足,使抽象的數學教學更加形象生動.

圖8 方程組平面解

圖9 方程組立體數值解

4 結語

對于將來要以數學為工具解決各種實際問題的學生來說,需要準確、快捷的計算和嚴密的邏輯推理.面對一個實際問題時,在計算、推理之前,首先要用數學語言描述它,建立方程模型;在得到方程的解之后,要結合實際進行分析、檢驗、修正.傳統的數學教學體系和內容則偏重于前者,對于后者的實踐遠遠不夠.學生在畢業之后解決實際工作中的問題時,對復雜問題不知如何簡化,不知道如何將研究問題抽象成一個簡單的方程模型來反映客觀事實;想象力差,分析問題、解決問題的能力比較低.在平時的教學過程中,若能引入Maple軟件,智能化學習與獨立解決問題,這樣會大大提高學生解決實際問題的能力,有利于理論與實際有效的結合,提高教學效果.

［1］王劍俠，龔力強.Maple在高等數學教學中的應用[J].廣州大學學報（自然科學版），2002，1(6)：69-73.

［2］周甄川，呂同斌.Maple的圖形繪制功能在高等數學教學中的應用[J].黃山學院學報，2010，12(6)：117-119.

［3］紀宏偉.幾何圖形在高等數學中的作用及在Maple下的實現[J].高師理科學刊，2011，31(4)：1-3.

［4］馮瑋，涂偉霞.由淺入深學Maple[M].北京：國防工業出版社，2002.

［5］何青，王麗芬.Maple教程[M].北京：科學出版社，2006.

Discussion on Integrative Teaching of Ordinary Differential Equations via Maple Software

LI Yin,WEI Rui-ying
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

This paper studies and discusses the integration teaching of the ordinary differential course theory via a symbolic computation software maple developed by the University of Waterloo.Firstly,using the powerful symbolic computation function of software,the dynamic of equation solution and the synchronization of"shape"and"number" are discussed.Second,Maple mapping function to assist the teaching and demonstration of the course is presented. Then,by creating the situation,do mathematical experiments,etc.,which can optimize the classroom teaching, improve teaching effectiveness.

Maple software;ordinary differential equations;optimize teaching

G624.0

A

1007-5348（2016）12-0073-05

（責任編輯：邵曉軍）

2016-10-20

國家自然科學基金項目(批準號11501373);廣東省教改項目(編號2015558).

李銀(1980-),男,河南周口人,韶關學院數學與統計學院副教授，博士；研究方向：數理方程.