信息技術輔助函數與方程的學習

賴曉暉（福建省福州高級中學）

信息技術輔助函數與方程的學習

賴曉暉
（福建省福州高級中學）

信息技術輔助函數與方程的學習能加深概念理解、糾正認識誤區、培養數學思維、應用數學思想，能幫助處于不同認知層次的學生更好地體會數學、理解數學。

信息技術；函數與方程；數學思維

信息技術在不斷發展，它改變著我們的生活，也改變著學生的認知方式。在學生的不同認知層次情況下，如何應用信息技術幫助學生學習？本文試以函數與方程教學中的案例加以說明。

《普通高中數學課程標準》要求：“高中數學課程應提倡實現信息技術與課程內容的有機整合（如，把算法融入數學課程的各個相關部分），整合的基本原則是有利于學生認識數學的本質。高中數學課程應提倡利用信息技術呈現以往教學中難以呈現的課程內容，在保證筆算訓練的前提下，盡可能使用科學型計算器、計算機軟件、互聯網以及各種數學教育技術平臺，加強數學教學與信息技術的結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發現。”“應注意鼓勵學生運用現代教育技術學習、探索和解決問題。例如，利用計算器、計算機畫出指數函數、對數函數等的圖象，探索、比較它們的變化規律，研究函數的性質，求方程的近似解等。”

高中數學，尤其是函數，強調“數以形而直觀，形因數而入微”，利用信息技術可以直觀、準確地顯示函數圖象以及多個函數圖象的交點，能動態展示函數圖象變化的規律。

一、理論

數學學習是學生在教師的組織和引導下，以數學教材為中介，學生主動掌握數學知識、發展數學能力、形成良好個性心理品質的認識與發展相統一的過程，是一種特殊的認識過程。學習效果與教學內容的選擇、呈現方式、學生的基礎等有密切的關系。高中學生在學習初等函數時，通常是教師精確作圖，學生觀察分析，學生對函數的圖象形成表象，在大腦中形成自己對這個圖象的觀念并形成記憶，然后通過語言與文字表述這個函數的圖象特征，進而對這個函數形成代數抽象，還能對其中的參數分類探究。學生常見問題有：概念理解不深入，記憶有誤差，培養數學思維難見成效。

在實踐中，我發現用信息技術工具可以解決這些問題。在使用信息技術工具呈現出精確圖象或運動圖象后，教師還應設置問題，引導學生理解并分析函數圖象，并內化為對概念的理解。學生利用信息技術工具可以自主準確作圖，分析對比函數圖象，深入認識函數概念，發展辯證思維能力。在這個過程中，教師應發揮主導作用，用信息技術輔助課堂教學。在當前的考試中不能使用圖形計算器，但函數圖象、數形結合又是高中數學分析思路與解題的重要工具，因此，教師在使用信息技術工具講解完后，應與學生共同分析，在沒有信息技術工具時，如何解決這些問題，從而讓信息技術工具真正起到輔助作用。正如全國中小學計算機教育研究中心主任苗逢春博士所說：“如果沒有教師引導學生圍繞學習目標一步步展開深刻思考，則信息技術整合就失去了靈魂，功能強大的信息技術就只是可供教師換取一兩聲喝彩的花拳繡腿和表演道具。”

二、用途

1.加深概念理解

奧蘇貝爾在“學與教”理論中提出“有意義學習”的理論，要求將有潛在意義的學習材料同學生已有的認知結構聯系起來。數學概念通常是準確的定義，學生作為初學者，種種因素使學生難以準確理解定義，更難主動掌握數學知識。教師可以借助信息技術工具，創建認知情境，以精確的作圖、動態的圖象變化吸引學生主動探究，同時可以直觀感知的圖象能幫助學生歸納并掌握數學知識。

在學習指數函數的圖象與性質時，可以作出函數y=ax的圖象，并改變底數a的數值形成圖象的動態變化，學生通過觀察底數a的大小變化和圖象的變化，可以發現底數a>1和0

在課堂中，可以用幾何畫板實現圖象的動態變化。用線段的長度度量底數a的大小，通過拉動線段的端點改變線段長度，從而改變a的大小，實現圖象的連續變化。這個課件也可以作為數學實驗讓學生自主操作、自主探究。類似的，在學習對數函數、冪函數時也可以用信息技術呈現圖象的變化，由學生自主歸納函數的圖象與性質。

傳統教學手段由于以靜態為主，單個圖象的精確作圖可以以“列表描點連線”完成，要想看到圖象的變化情況，須作出多個圖象，這不僅耗費時間較多，所作的圖象也未必精確，而且在同一坐標系下的多個圖象也容易相互干擾。靜態圖象需要學生想象才能“連續變化”，不是直觀感知。所以信息技術工具作出的函數圖象連續變化是黑板上作圖無法替代的。信息技術作圖能彌補手工作圖的不足，增強直覺，如果學生能動手操作，就能強化學生動手操作時的直覺體驗。函數圖象從靜態到動態，學生從觀察動態圖象到對比分析，從眼見到腦想，促進思維發展。這種利用信息技術自我探究的學習方式和效果是傳統教學手段達不到的。

強調信息技術作圖帶來的好處，并非“列表描點連線”的作圖方法不重要。通過上述課程的學習或探究，學生認識了指數圖象的變化規律。在解題時，學生能取點做出較準確的指數函數圖象。所以，信息技術精確作圖能加深對概念的理解，這一點體現在解題時較準確作圖上。

2.糾正認識誤區

學生對函數圖形的認識，較多是記憶其大致形狀和趨勢，容易形成對圖形的認識誤區，在解題時草圖畫不準確，容易導致錯誤。糾正作圖中的錯誤就要用計算機軟件精確作圖，能幫助學生重新形成對函數圖象的正確認識。

學生的習慣是畫出函數f（x）的圖象后，隨手畫出函數y=lg x的圖象。教師講解時要用計算機畫出精確圖形，學生對比后發現自己的認識誤區，再探究怎樣畫出函數y=lg x的較準確的草圖，學生聯想到課堂上發現的函數y=logax過定點（1，0）和（a，1），所以可以用定點（1，0）和（10，1）畫出函數y=lg x的較準確的草圖。這個過程能讓學生糾正認識誤區，重新內化為對函數圖象的理解，學生的思維從感性上升到理性，為培養學生推理論證的意識和能力奠定基礎。

3.培養數學思維

分類思想是數學思維的重要方面，分類討論對學生是思維發展上的難點。函數是培養分類談論思維的良好載體。在函數中，參數的改變將引起圖象的變化，導致兩個圖象的交點個數或一個函數的零點個數的變化。信息技術在動態圖形的作圖上有優勢，通過觀察圖象變化，能發現上述變化。

例2：求y=ax與y=logax的圖象的交點個數

學生通常只能畫出交點個數為0個、1個、2個的圖形，得不到更多結果。通過幾何畫板作圖，隨著參數a的變化能得到上述結論，還可以得到三個交點的情形，圖形激發了學生探究的熱情，師生一起分類討論交點個數。

需要強調的是，信息技術可以幫助學生發現問題，只有當學生深入探究問題，找到分類標準后，才能提升思維品質。其實，數學思維的過程就是不斷提出問題和解決問題的過程。因此信息技術可以輔助培養數學思維。

4.應用數學思想

在目前高考中，函數與導數成為檢測學生綜合應用數學知識的重頭戲，學生要具備深厚的數學基礎和分析能力，尤其要熟練應用數形結合的思想，構建函數并應用圖象解決問題。

學生如果能從圖象知道ln x和x的增長速度和變化趨勢，就能直接得出函數在上是單調遞減的，在解題思路分析上前進了一大步。當然正確應用數形結合的數學思想的前提是有扎實的函數圖象基礎和準確的圖形直觀認識。通過信息技術能培養準確的對函數圖形的直觀認識，讓學生自信地作圖和應用圖形解決函數問題。

以圖形技術為核心的信息技術，能使復雜的函數問題轉化為直觀、形象、動態的感性情景，降低了學生理解數學的難度，但需要根據不同的教學內容、不同層次學生的學習特點，靈活選用合適的信息技術工具。教師把信息技術和數學教學的學科特點結合起來，揭示數學概念的形成與發展，揭示數學思維的形成與實質，揭示數學思想的內涵與應用，幫助處于不同認知層次的學生更好地體會數學、理解數學，使數學課堂教學收到事半功倍的效果。

［1］德里斯科爾.學習心理學：面向教學的取向［M］.王小明，譯.華東師范大學出版社，2008.

［2］李馨.信息技術應用于學科教學的反思和建議［J］.中國電化教育，2003：5-9

注：本文系“函數與方程思想在高中數學學習過程中的實踐與研究”FZ2014GH014的課題論文。

·編輯李琴芳