依托“分解”揭示“聯系”提高“能力”
——2016年高考全國Ⅰ卷理科數學試題例探

福建省寧德第一中學 陳梅芳

依托“分解”揭示“聯系”提高“能力”
——2016年高考全國Ⅰ卷理科數學試題例探

福建省寧德第一中學 陳梅芳

自2016年起，福建省高考告別自主命題模式，統一使用全國Ⅰ卷.在備考教學過程中，教師全面認識新高考，研究新高考，掌握新高考規(guī)律則尤為重要.文中結合2016年高考全國Ⅰ卷理科數學第17題和21題的分解探析，并充分利用教材，關注數學概念教學，努力探尋高考試題與教材基礎知識和基本思想方法的有機聯系，以此促進學生知其然更知其所以然，更好地獲取數學知識，提高數學綜合解題能力.

高考數學 試題 分解 聯系 能力

2016年高考全國Ⅰ卷理科數學試題嚴格遵循《課程標準》基本理念和《考試大綱》基本要求，注重以“坡式”結構設計難度，其預設難度要比我省自主命題的難度高，更側重對學生的基本數學素養(yǎng)的考查，試題的綜合性較高，閱讀量、思維量和計算量也較大.學生面對這些試題常有極大困惑，難以順利作答.主要原因是我們學生對試題涉及的數學基礎知識、基本技能和基本思想方法還未能深入把握，對題目無法進行有效分析、分解，更無法靈活把握試題中體現的聯系，從而影響了數學解題能力的提高.

一、例題評析與分解

2016年數學高考試題注重對基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查，試卷基礎題、中等題和難題的梯度明顯，有良好的區(qū)分度.如在基礎題方面，要求學生掌握必要的基礎知識，能按規(guī)范步驟進行準確運算；而中檔題則要求學生能利用有效的方法，并根據具體試題情況應用必要的數學方法來加以解決；在難題方面，要求學生在掌握基礎知識、基本技能、基本思想方法的基礎上，能進一步認清數學問題的本質，靈活地將復雜問題有效轉化為難度較低的基礎題.

例1：（2016年高考全國Ⅰ卷理科第17題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2cos C（a cos B+b cos A）=c.

（Ⅰ）求C；

評析：試題涉及正弦定理、余弦定理及三角形面積公式等考點，應特別注意引導學生熟練應用三角形中的三角變換，尤其注意一些常用的誘導公式.在本題中，學生首先要了解主要考查的是解三角形知識和相應公式的運用能力，然后將題目分解開來.第（Ⅰ）小題題目等式涉及三角形的邊和角，應從邊角互化公式入手；通過分析發(fā)現，題目公式中既含有角的余弦又含有邊的一次式，所以利用正弦定理或余弦定理來解題均可.第（Ⅱ）小題由于c=只需求出a+b即可求出周長.結合題目已知條件及第（Ⅰ）小題的結論將解題分為兩步，第一步由三角形面積公式得出 ab的值，第二步聯立余弦定理求出a+ b的值即可得到三角形的周長.

解（Ⅰ）：思路一：由2cos C（a cos B+b cos A）=c聯立正弦定理可得2cos C（sin A cos B+ sin B cos A）=sin C，要求角C須將角A，B轉化為角C，因此利用三角誘導公式轉化為方程2cos C sin（A+B）=sin C，從而得出

思路二：由2cos C（a cos B+b cos A）=c聯立余弦定理可得化簡得a2+b2-c2=ab，結合余弦定理得從而

例2：（2016年高考全國Ⅰ卷理科第21題）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

評析：試題涉及導數及其應用等考點，應注重引導學生關注含有參數的函數單調性、極值、零點等問題，學會善于根據參數開展分類討論，并注意互斥、無漏、最簡等分類討論原則，理解解決函數不等式的證明問題的有效思路就是巧妙構造適當的函數，借助導數來研究函數的單調性或極值等.本題屬于壓軸題，主要考查學生的運算解答能力以及邏輯思維能力.每當學生們看到卷子后面的解答題時，往往表現得不知所措、一頭霧水，不知道從哪里開始動筆，慢慢地學生們也對此喪失了興趣，甚至害怕遇見類似的題目，因此教師要引導學生學會將復雜的問題簡單化.考生要了解本題主要是以函數的零點、導數等基礎知識來作為背景，考查學生對這幾個知識點的理解和運用.第（Ⅰ）小題中函數f（x）有兩個零點，可聯系教材知識轉化為函數f（x）的圖像與x軸有兩個交點，須結合函數的單調性來判斷函數f（x）圖像的形狀.由于f'（x）=（x-1）（ex+2a），因此可將解題步驟分解為討論a=0，a>0，a<0三種情形，其中a>0，a<0的討論是解題的難點,須結合零點存在性定理進行判斷；第（Ⅱ）小題要從題目及第（Ⅰ）小題的結論中理解到應如何分解題目，不等式x1+x2<2的證明本質上是比較大小，由2-x2<1可將所證不等式轉化為證明x1<2-x2，注意到x1，x2是函數的自變量，通常自變量的大小比較要借助于函數值，故須由函數的單調性及題目的條件轉化為證明f（x1）>f（2-x2），即證明f（2-x2）<0，從而再構造函數進行求解.

解（Ⅰ）：由于f'（x）=（x-1）（ex+2a）可知：

（1）當a=0時，f（x）=（x-2）ex，故f（x）只有一個零點；

（2）當a>0時，由f'（x）=（x-1）（ex+ 2a）可知f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，因此根據零點存在性定理可選取f（1）=-e<0， f（2）=a>0，取 b<0且則 f（b）=（自變量b的取值范圍的確定是難點，須易于判斷其函數值的正負），由此可以判斷出函數f（x）存在兩個零點.

（3）當a<0時，由f'（x）=（x-1）（ex+2a）=0可得 x=1或 x=ln（-2a），要判斷f（x）圖像的大致形狀須比較1與ln（-2a）的大小，故須分類討論：①當ln（-2a）≤1即時，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，當 x≤1時，f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2<0，故此時函數f（x）不存在兩個零點.②當ln（-2a）>1即時，由導函數可判斷f（x）在區(qū)間（1，ln（-2a））上單調遞減，在區(qū)間（ln（-2a），+∞）上單調遞增，且f（x）在區(qū)間（-∞，1]上小于0，故函數f（x）不存在兩個零點.綜上a的取值范圍為（0，+∞）.

解（Ⅱ）：不妨設x11，故2-x2<1.又由函數f（x）在（-∞，1）上單調遞減，所以x1+x2<2等價于f（x1）> f（2-x2），即 f（2-x2）<0.由于 f（2-x2）= -x2e2-x2+a（x2-1）2且f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0，所以f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2.設函數g（x）=-xe2-x-(x-2）ex（x>1）則g'（x）= （x-1）（e2-x-ex）.所以g（x）在（1，+∞）上單調遞減，且g（1）=0，故當x>1時，g（x）<0.從而g（x2）=f（2-x2）<0故x1+x2<2.

二、善于揭示知識間的聯系

1.揭示“聯系”的重要性.

縱觀多年高考全國Ⅰ卷數學試題，我們可以找到許多源于教材例題或與教材例題相似的試題，這些試題考查的一個重要原則是“立足基礎、考查能力”，多數涉及到教材中的基礎知識、基本技能和基本思想，所用的方法也是最普遍和一般的方法.因此在解題過程中很關鍵的一步是揭示教材知識的聯系.由于高考答題時間有限，拿到題目時不要急著去解題，而是將題目徹底理解透徹，分解成幾個小問題，在腦海里搜尋知識點，細致分析與哪些知識點有聯系，并快速準確地找到解題方法，穩(wěn)妥地得到分數.

2.找尋試題關聯知識點.

在學習中更重要的是做到針對性學習，學生做好“指哪打哪”針對性的補差，尤其是在試題分解后清晰地梳理好所涉及的章節(jié)內容和知識點以及聯系，有利于彌補他們相對薄弱的環(huán)節(jié).如試題與哪些知識點有關，是否都理解到位了，還有哪些未弄懂的等等.如在案例1，第一小題中由題可知涉及到解三角形的知識，必須用正弦定理和余弦定理將題目已知的式子進行轉化，進而利用誘導公式進行解答；第二小題由題目可聯系三角形面積公式及余弦定理進行求解.案例2第一小題由題目兩個零點可聯系到教材中有關函數零點和函數單調性的知識；第二小題則要從所求證的式子出發(fā)，聯系到比較函數值的大小，進而構造函數進行求解.在解題中涉及到的細節(jié)問題是學生思維發(fā)展的落腳點，更是思維方法的落腳點，能充分地培養(yǎng)學生的思維能力，對學生的發(fā)展起重要的作用.我們發(fā)現，學生相對缺乏的是對知識點的整體認識和對問題的綜合分析能力，因此教師要善于“教”學生有效提取題目信息，貫通相關知識以及各部分知識之間的聯系，指引他們更好地關注、理解概念“細節(jié)”，為有效培養(yǎng)思考、分析和解決問題的能力做準備.

三、提高綜合解題能力

在高中數學教學中，許多學生存在著上課聽講很清楚，教材例題看得明白，而當解題時卻又無從下手的問題.這一方面原因是學生對教材知識的理解和掌握只停留在表層上，知識應用還未達到熟練程度；另一方面是沒有形成和掌握必要的數學思想方法，獨立解題時便易于陷入解題困境.那么有效提高學生的解題能力，需要做到哪些？

1.梳理知識、形成完整知識體系.

高中數學各個模塊的知識是相互聯系不是單一存在的，教師在教學中應該在夯實基礎知識和基本技能的基礎上進行更高層次的抽象和概括，并將其進行歸納、梳理，幫助學生完善教學模塊知識，建立模塊知識間的聯系，形成完整知識體系.只有學生掌握數學各模塊知識間的聯系，在解題上才能由一個知識點聯系到相關的知識，從而實現更好的應用，提高綜合解題能力.

2.理解掌握、活用數學思想方法.

實際上，數學學習困難總是發(fā)生在學習過程中，相應地，數學思想方法則在促進數學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用進程上尤顯重要了.數學思想方法即被用來解決數學問題的有效程序和必要策略.在數學教學中，教師指引學生學好數學知識、用好數學技能、解決好實際問題，就必須積極優(yōu)化教學方式、途徑和手段，促進學生更好地解決具體數學問題.我們觀察發(fā)現，全國卷高考數學始終重視對數學思想方法的考查，檢驗學生對數學思想方法的理解、掌握和應用程度，特別是試題設計中還充分體現出考查的層次性，并在同一試題中可能蘊含著兩種以上的數學思想方法.所以，教師在試題教學中要選取靈活應用數學思想方法的角度，積極引導學生、有效滲透數學思想方法，突出通性通法，帶領他們在學會應用思想方法的學習活動中促進思維、思想、方法的良性生成，不斷提高解題能力.

3.勤于思考、總結解題經驗策略.

有效學習要求學生在掌握數學知識、方法和思想的同時，還必須學會有目的地思考，反觀自己的學習過程和狀態(tài)，感悟體會自己的學習活動.由此要提升學生思維能力，培養(yǎng)解題能力，教師必須把試題講解的過程有效轉化成學生的思維過程，通過啟發(fā)、誘導等讓學生能自主自覺地發(fā)現和創(chuàng)新，總結獲取屬于自己的解題思路，熟練地養(yǎng)成解決問題后及時反思的習慣，以及對題目的深層剖析，從中提取出有益的經驗和策略，進一步培養(yǎng)獨立分析、解決問題的能力和素質.

4.重視講演、加強典例運算訓練.

運算能力是歷年全國卷高考試題考查的重要考點.但是我們發(fā)現，學生在高考或平時的解題活動中計算能力普遍下降.因此，教師在平時教學中要注重培養(yǎng)學生的運算能力，同時要借助典例的演示和講解，引導學生掌握計算技能技巧，重視解題思路，要舍得花時間在典例的分析和總結上，學會在汲取優(yōu)秀經驗和強化運算訓練中努力提高自己的解題能力.

總之，在數學課堂教學中，教師應始終堅持以提高學生的學習能力為目標，巧借試題評析和分解，積極引領學生找尋知識聯系，利用有效教學手段來持續(xù)提高學生的數學解題能力.

[1]許興震.回歸本源，讓復習更有效[J].福建中學數學.2015.(5)：50

[2]吳水文.回歸基礎，用好教材[J].福建中學數學.2015.(1)：11-13

[3]陳碧珍.“先學”之后應該“教什么”[J].福建中學數學.2015.(1)：10

[4]沈文錦.滲透數學思想方法 優(yōu)化學生知識結構[J].福建中學數學.2015. (1)：16