一道高考題的多種解法

寧夏中衛市第一中學 劉 亮

一道高考題的多種解法

寧夏中衛市第一中學 劉 亮

高考題注重對學生數學思維的考查，在一道題中往往涉及多種數學思想方法，而這些數學思想方法對提高學生的創新能力，開發學生的智力具有極大的促進作用，對選拔出合格優秀的學生具有重要的參考價值.因此，無論老師還是學生，都應關注高考題，特別是能夠體現多種思維的高考題.本文就以2016年新課標全國2理科數學選修4—4坐標系與參數方程為例，探討該題的多種解法及思想.

新課標 坐標系 參數 斜率

【2016高考新課標2理數】選修4—4：坐標系與參數方程

在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25．

（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；

解：（Ⅰ）將圓C的方程（x+6）2+y2=25轉化為x2+y2+12x+11=0，由x=ρcosθ，y= ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得C的極坐標方程為ρ2+ 12ρcosθ+11=0.

在（I）中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ=α（ρ∈R）.設 A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcosα+ 11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα，ρ1ρ2=11，由極徑的幾何意義可得，由得解得由sin2α+cos2α=1解得由解得，所以l的斜率為或-

評注：本解法利用第一問的極坐標系，根據直線l的參數方程是為參數）的特點，將其轉化為極坐標方程，利用極坐標系的幾何關系和極徑ρ的幾何意義去解。體現了利用直角坐標系解決數學問題的思想.

方法二：由直線l的參數方程是（t為參數），得直線l過（0，0）且傾斜角為，設直線l的方程為y=kx，其中k=tanα，由圓C的方程為（x+6）2+y2=25，得圓心C（-6，0），半徑r=5，設圓心到直線l的距離為d，則d=由可得解得所以l的斜率為或-

評注：本解法將問題放到直角坐標系中解決，根據直線l的參數方程是（t為參數）的特點，將其轉化為直角坐標系下的方程y=kx，主要利用直線與圓相交用垂徑定理求解。體現了利用直角坐標系解決數學問題的思想.

評注：本解法將問題放到直角坐標系中解決，主要利用解析幾何中的弦長公式求解。體現了解方程的數學思想.

方法四：設A，B所對應的參數分別為 t1，t2，將直線l的參數方程（t為參數）代入（x+6）2+y2=25中整理得，t2+12t cosα+11=0，則t1+t2=-12cosα，t1t2= 11，由所以l的斜率為或

評注：本解法將問題與參數方程聯系，主要利用直線參數方程中t的幾何意義.體現了數形結合的數學思想.

通過上述解法我們不難發現，高考題涉及諸多思想方法，學生應該把題目多讀幾遍，弄清這個題目求什么，已知什么，求、知之間有什么關系，把題目搞清楚了再動手答題.可以根據自己的知識進行有效地選擇解題方法.高考的閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分.這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”——踩上知識點就得分，踩得多就多得分.與之對應的“分段得分”的基本精神是，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分.

對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個大問題.因此，會做的題目要特別注意表達的準確、考慮的周密、書寫的規范、語言的科學，防止被“分段扣分”.作為老師，在日常教學工作中，能夠根據學生已有的知識水平和數學學習經驗，準確把握所教內容與學生已學知識的聯系，能正確把握數學教學內容，揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，滲透數學思想方法，體現應用與創新意識.