對于圓錐曲線教學的一些思考

卜耀鋒

（寧夏石嘴山市光明中學）

對于圓錐曲線教學的一些思考

卜耀鋒

（寧夏石嘴山市光明中學）

圓錐曲線是高中平面解析幾何中的重要內容,其中蘊含了重要的數學思想方法。在教學該部分知識對學生的基本數學素養要求較高,對教師的教學能力要求較高，為了使學生掌握基礎知識，應該重視基礎知識和基本思想方法。

圓錐曲線；思想方法；基礎知識

圓錐曲線知識是平面解析幾何的重要內容，橢圓、雙曲線以及拋物線歷年來都是高考必考的知識，也是高考考查的重點知識之一。從多年的教學和高考復習過程來看，學生對圓錐曲線內容的學習和掌握程度不是很好，無論是知識的習得，還是問題的解決以及思想方法的應用都存在著一定的困難，追溯產生困難的根源，就是教師在教學中忽視的一些細節，學生在學習中沒有掌握基礎知識和基本思想方法。

一、重視圓錐曲線概念教學

比如，在橢圓的概念教學中，首先，展示生活中的橢圓的實例，人造衛星運行軌跡、盤子等，使得學生直觀感受數學源于生活又高于生活。其次，通過學生親自動手操作實驗畫“橢圓”，展示學生畫出的橢圓，然后總結圖像的特征，給橢圓下定義。因此，對概念的內涵和外延把握不準確，從而導致在解決問題時就會出現解題思路受阻、錯解等現象。例（教材第42頁練習題3）已知經過橢圓=1的右焦點F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點，F1是橢圓的左焦點。

（1）求△AF1B的周長；

（2）如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長有變化嗎？為什么？

當AB垂直于x軸時，是一種特殊情況，對于概念不熟悉的同學，先求解了A、B兩點的坐標，利用勾股定理求出、，進而求出三角形的周長。第二問中當不垂直于軸時，學生就束手無策了。在提示下，學生可以將△AF1B的周長拆分成，利用定義就可以轉化為=4a=20.

二、酌情處理圓錐曲線方程推導

圓錐曲線的定義揭示了圓錐曲線的本質特征，利用解析法將曲線上滿足動點的代入，由曲線和方程的關系，求出圓錐曲線方程。事實上會發現，在圓錐曲線方程推導過程中學生對代數式的處理能力較弱，一是出現化簡方向上的思維障礙，二是不能準確進行代數運算，即學生代數運算能力偏弱。數學問題的解決離不開推力計算。因此，在學習過程中要有意識的訓練學生，但是也要注意難易程度的控制，不要刻意的訓練偏、繁、怪的計算，注重算式的推理計算，思維邏輯推理運算。

三、準確理解圓錐曲線的性質

結合圓錐曲線的方程探討圓錐曲線的性質，利用圓錐曲線的性質解決圓錐曲線的問題。準確理解圓錐曲線的性質是解決圓錐曲線問題前提，比如，在圓錐曲線的問題中以標準方程來研究性質的，因此，在拿到圓錐曲線方程時先將方程代數變換為標準方程，確定方程中的參數，準確理解橢圓的頂點，長軸和短軸，長軸長和短軸長，長半軸長和短半軸長等定義，準確確定這些參數的取值，雙曲線的頂點，實軸和虛軸，實軸長和虛軸長，實半軸長和虛半軸長，漸進線方程等概念。注意區分橢圓與雙曲線中a、b、c的數量關系。圓錐曲線離心率的取值范圍等。

四、注重數形結合方法在圓錐曲線中的應用

考試大綱對圓錐曲線的要求是理解數形結合思想方法。事實上數形結合思想方法是數學中的一種重要的思想方法，如果能順利實現數與形的合理，就會使得一些抽象的數學問題形象、具體、簡單，當然，這種轉化必須要有一定的數學素養作為基礎，比如，基礎的數學概念、公理、定理以及重要的結論等，這些都是實現數與形順利轉化的前提。

五、合理控制試題難度，重視基礎知識

比如，求橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程；雙曲線的離心率的問題；直線與圓錐曲線的綜合考查圓錐曲線的性質等問題，難度適中。在解答題中，第一小問主要考查圓錐曲線的方程，離心率等問題，第二問通常考查直線與圓錐曲線的綜合問題，涉及定值、最值、恒成立、參數范圍確定等問題，有一定的難度，有時在這一問設置難度，充當壓軸題的角色。

六、酌情介紹圓錐曲線的定義

教材中，閱讀與思考內容給出了圓錐曲線的統一定義：已知點是平面上的一個定點，l是平面上不過點F的一條定直線，點M到點F的距離和它到直線l的距離之比是一個常數e。統一定義中隨著的變化，曲線的屬性也隨之變化，當時，軌跡是橢圓，當0＜e＜1時，軌跡是雙曲線，當e＞1時，軌跡是拋物線，定點是曲線的焦點，比值是它的離心率，定直線是它的準線。圓錐曲線的直角坐標方程的統一形式為：（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0，隨著e的變化，對應著不同的曲線。作為教材的拓展內容，學有余力的學生可以去學習，但是對于大部分學生而言，這部分內容可以不掌握。從考試大綱來看，對于第二定義及統一方程沒有要求，那么在教學中介紹第二定義及方程無疑是增加學生的學習負擔和壓力。

圓錐曲線內容抽象，性質也因曲線的不同較為復雜，所以學生對這部分知識不容易理解和記憶，那么在教學過程中就要做到心中有數，根據學情設計教學，讓學生學有所得，不盲目追求難度和高度，注重基礎和過程，加強學生數學素養的教育。

王娟.試析新課程下高中數學中圓錐曲線教學［J］.教育教學論壇，2016（6）：277-278.

·編輯王潔瓊