淺議單調(diào)有界函數(shù)的極限

鄧 敏

（湖南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 湖南長(zhǎng)沙 410004）

淺議單調(diào)有界函數(shù)的極限

鄧 敏

（湖南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 湖南長(zhǎng)沙 410004）

本文闡述、舉例說(shuō)明了由“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”不能得到“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”這一結(jié)論的理由，并進(jìn)一步討論了單調(diào)有界函數(shù)極限存在的條件。

單調(diào)有界 數(shù)列 函數(shù) 極限 極限過(guò)程

一、引言

“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”是微積分學(xué)的基本定理之一，是《高等數(shù)學(xué)》中證明第二個(gè)重要極限公式的一個(gè)重要預(yù)備定理，因?yàn)閿?shù)列是一種特殊函數(shù)，所以很多學(xué)生就想當(dāng)然的認(rèn)為“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”，甚至有些教師在講到函數(shù)的極限時(shí)，也利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”這個(gè)結(jié)論得出“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”的結(jié)論，那么“單調(diào)有界函數(shù)”是否真的就“必有極限”呢?如果結(jié)論是否定的，那么“單調(diào)有界函數(shù)”的極限到底是怎樣的呢？其極限和什么因素相關(guān)呢?

二、單調(diào)有界數(shù)列的極限

數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的一類特殊函數(shù)，數(shù)列的極限比較簡(jiǎn)單，因?yàn)槠渥宰兞康淖兓^(guò)程只有一個(gè)，即 ∞→n （實(shí)際上是n→+∞），所以其極限僅取決于它的“單調(diào)性”和“有界性”，“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”這一定理就是對(duì)數(shù)列極限情況的具體詮釋。

關(guān)于“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”，很多《高等數(shù)學(xué)》教材上雖然沒有給出完整的證明卻都有具體表述如下：“1.如果數(shù)列{Xn}是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，則該數(shù)列一定有極限，且如果M是其最小上界（即上確界），則當(dāng) ∞→n 時(shí)，數(shù)列{Xn}收斂于M；2.如果數(shù)列{Xn}是單調(diào)遞減有下界的數(shù)列，則該數(shù)列一定有極限，且如果m是其最大下界（即下確界），則當(dāng) ∞→n 時(shí)，數(shù)列{Xn}收斂于m。

“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的描述已經(jīng)包含了極限過(guò)程是 ∞→n，所以我們只要說(shuō)求某個(gè)數(shù)列的極限（不必說(shuō)n是怎么變化的），大家都明白的。

三、單調(diào)有界函數(shù)的極限

1.單調(diào)有界函數(shù)的極限

函數(shù)的極限相比于數(shù)列的極限就復(fù)雜多了，其極限是由函數(shù)本身的解析表達(dá)式、函數(shù)滿足的一些條件以及極限中自變量的變化趨勢(shì)共同決定的。因此，在討論函數(shù)的極限時(shí)，我們既要考慮函數(shù)本身，例如函數(shù)的解析表達(dá)式、函數(shù)滿足的一些條件等，還要考慮極限中自變量的變化趨勢(shì)。而一般自變量的變化趨勢(shì)又有以下兩大類

“單調(diào)有界函數(shù)”的描述只強(qiáng)調(diào)了函數(shù)本身所具有的性質(zhì)——單調(diào)、有界，并沒有給出自變量的變化過(guò)程。不像“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的描述中已經(jīng)包含了極限過(guò)程是 ∞→n ，所以我們不能由“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”得到“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”的結(jié)論。[1]

下面的“例1”說(shuō)明：?jiǎn)握{(diào)有界函數(shù)，對(duì)于不同的自變量的變化過(guò)程，其極限可能存在，也可能不存在。

2.對(duì)“單調(diào)有界函數(shù)”的極限問(wèn)題，一般結(jié)論就是單調(diào)有界連續(xù)函數(shù)一定有極限”。“單調(diào)有界函數(shù)不一定每點(diǎn)都有極限，但是每點(diǎn)都有單側(cè)極限“。[2]即設(shè)函數(shù)是或內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，則在或內(nèi)每一點(diǎn)x都有單側(cè)極限，更確切些就是此外如果那么關(guān)于單調(diào)遞減的函數(shù)，顯然有類似的結(jié)果。[3]

下面的“例2”就說(shuō)明：在各定義區(qū)間內(nèi)單調(diào)有界的函數(shù)，因?yàn)樵诙x域內(nèi)某點(diǎn)不連續(xù)，所以函數(shù)在該點(diǎn)的極限不存在。

[1] 羅鐵山，王榮.單調(diào)有界函數(shù)必有極限嗎？[J].唐山學(xué)院學(xué)報(bào)，2007年，20卷（4期）：103.

[2] 徐小湛.單調(diào)有界函數(shù)的極限[[DB/OL].http：//xuxzmail. blog.163.com/blog/static/251319162015191173764/.2015年2月，

[3]Rudin編著.數(shù)學(xué)分析原理（下）[M].北京：高等院校出版社.1992.