基于狀態空間模型的鑄型裝配質量預測

杜寶瑞，劉 躍，屈力剛，蘇長青

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0 引言

砂型鑄造方法可用來生產鋼、鐵和大多數有色合金鑄件。由于砂型鑄造所用的造型材料價廉易得，鑄型制造簡便，對鑄件的單件生產、成批生產和大量生產均能適應，長期以來，一直是鑄造生產中的基本工藝，砂型鑄造方法生產出的鑄件精度等級低，尤其在尺寸偏差與形狀偏差等外觀質量方面。而解決這一難題的關鍵是控制鑄型裝配質量，在內型芯與外型腔尺寸偏差設計階段，要根據鑄型裝配過程建立狀態空間模型描述型腔偏差流傳遞機理，建立模型參數與裝配工藝參數的對應關系[1～6]。

狀態空間模型是描述和預測多工序加工和裝配偏差傳遞過程的有效方法。HU首先提出偏差流理論，用以分析和預測零件裝配過程中的傳播機理[7]。AGRAWAL等提出了用于描述多工位裝配過程偏差流的回歸模型，但這些模型都是基于統計基礎的沒有定量描述出影響零件尺寸偏差的因素與零件尺寸偏差的關系[8～10]。田兆青等利用狀態空間模型，解決了主要針對依靠定位元件保證裝配精度的誤差流傳遞機理，如汽車車身、飛機機身等薄壁件裝配過程，這些裝配誤差主要來自夾具本身[11]。LIU等將偏差描述擴展到三維空間構建了剛體零件的三維偏差傳遞過程狀態空間模型，但仍主要將定位元件偏差作為誤差來源[12～15]。紅軍等對加工誤差導致的關鍵特征方位偏差進行數學建模，確定偏差源表達。針對精密機床裝配過程，構建狀態空間模型并建立模型參數與裝配工藝參數的對應關系。然而這些研究主要針對串聯式裝配過程，最后需要保證裝配質量部位是有限的[16]。而對于像鑄型裝配這樣的工藝來說需要保證裝配質量的部位是一個封閉的腔體，連續的實體，是無數個連續的部位，并且裝配部件間成陣列分布[17]。

鑄型裝配誤差來源主要是由于內型芯與外型腔基礎大件特征面的尺寸公差在裝配過程中形成體間誤差，為保證封閉腔體尺寸公差，解決這一類型尺寸偏差積累問題就需要研究加工誤差導致的配合特征變化引起的體間誤差表達，建立基于狀態空間模型的空間實體尺寸鏈，定量描述封閉腔體尺寸公差模型。構建鑄型調整與測量工藝的狀態空間模型，為鑄型裝配精度預測、偏差溯源，裝配工藝優化等奠定基礎[18～20]。

本文提出了將鑄型裝配質量預測工藝進行數學表達，運用狀態空間模型對影響鑄型裝配質量的關鍵指標進行描述與定量表達。首先構建描述裝配部件特征的坐標系，對裝配部件的關鍵幾何特征、參考坐標系以及由于砂芯和砂箱公差引起的砂芯關鍵特征位姿的變化進行數學表達，確定裝配過程偏差流傳播機理及偏差流的定量表達。其次建立基于狀態空間模型的空間實體尺寸鏈的數學模型定量描述封閉腔體尺寸公差，構建模型參數與裝配工藝參數的對應關系，定量描述陣列式裝配的鑄型裝配質量。最后通過某航空鑄件生產工藝為例，證明該方法的有效性。

1 裝配體在狀態空間模型中的描述

裝配體在狀態空間模型中設定如下假設：參與裝配的砂芯及砂箱為剛體。

通過四種坐標系對裝配過程中關鍵幾何特征進行描述，坐標系O0表示參考坐標系,用來確定裝配過程中每個部件及特征相對于基準參考的位置和姿態，同時也可看成整機裝配過程中的測量基準。特征坐標系Ok位于部件定位特征理想位置幾何中心處，表征部件的理想位置和姿態。部件實際坐標系位于部件定位特征實際位置幾何中心處，表征部件的實際位置和姿態。 如圖1所示。

圖1 描述裝配過程各部件坐標系變換關系

空間中個部件最多有6個自由度，即三個平動自由度X、Y、Z和三個轉動自由度α、β、γ。在裝配過程中，其中由三個平動自由度引起的坐標變換可由平移坐標變換表達，三個轉動自由度引起的坐標變換可由橫滾（roll）、俯仰(pitch)和偏轉(yaw)旋轉集合表達。各坐標系空間位姿變換可由平動和旋轉集合的齊次變換來表達，齊次變換矩陣為：

其中T為特征表面相對于理想表面的變換矩陣，RPY3×3為旋轉矩陣，P3×1為平移矢量。

1.1 理想條件砂芯的坐標變換

理想條件下多工位裝配中，各部件坐標系相對于參考坐標系進行坐標系轉換，旋轉變換矩陣由橫滾、俯仰和偏轉，按“從右向左”依次相乘原則進行運算（右乘）

裝配體中砂芯的理想坐標系與參考坐標系二者之間對應關系如下：

式中x、y、z和α、β、γ分別表示Zk部件理想坐標系相對于參考坐標系的位置和姿態變化。cα、cβ、cγ分別代表cosα、cosβ、cosγ，sα、sβ、sγ分別代表sinα、sinβ、sinγ。

1.2 誤差引起的砂芯坐標系變換

在每一工位實際裝配過程中，由于砂芯和砂箱尺寸公差引起裝配體中部件坐標系變換。

1）當砂芯的尺寸公差及裝配偏差相對于砂芯及砂箱基本尺寸來說很小。部件理想位置坐標系和實際位置坐標系可以通過以下其次坐標變換表示二者之間的對應關系。

式中，Δα ,Δ β , Δγ和 Δ x,Δ y,Δz分別為Zk部件實際坐標系相對于理想坐標系的位置和姿態變化。

2）當偏轉角度與弧度不在一個數量級時

式中α、β、γ和x、y、z分別表示Zk部件實際坐標系相對于理想坐標系的位置和姿態變化。cα、cβ、cγ分別代表cosα、cosβ、cosγ，sα、sβ、sγ分別代表sinα、sinβ、sinγ。

2 誤差流的傳遞與表達

砂芯裝配誤差流傳遞的狀態空間模型設定如下假設：

1）參與裝配的砂芯及砂箱為剛體。

2）部件在豎直方向上移動誤差為零。

3）參考部件的偏差角度近似等于弧度。

4）誤差流主要由砂箱定位特征尺寸公差引起。

5）由裝配體砂芯表面形位公差因素引起鑄件壁厚誤差歸結為砂箱定位特征尺寸公差引起。

在理想狀態下砂芯邊界點的數學模型為：

式中Ak為描述砂芯側表面點的行矩陣，Rk為理想砂芯幾何特征的半徑。

在實際裝配中由于砂芯形位誤差引起的砂芯表面特征變換：

橢圓的一般式為：

其中a,b分別為長短軸，θ為橢圓對稱軸相對于坐標系的偏轉角度，（m,n）為橢圓中心坐標。(8)-(9)對應相等可知6個約束得到5個參數。當ΔT滿足式(4)時有：

可知6個約束中有一個是虛約束得到參考部件表面特征點集參數如下：

其中ak、bk、mk、nk、θk分別為參考部件的長短軸、中心坐標和斜橢圓偏轉角度。

2.3 用型腔厚度尺寸公差反應裝配質量

變換具有封閉性，建立空間實體尺寸鏈如圖2所示。

圖2 空間尺寸鏈

將圖2截面放在平面坐標系建立相應數學模型

如圖3所示方程1，方程2的方程如式(8)所示，方程3直線方程為過(m0,n0)斜角為θ的方程：

圖3 二維空間尺寸鏈

分別聯立參考部件方程1與直線方程3，裝配部件Zk的方程2與直線方程3得到與Z0部件的交點Z0(x0,y0)與Zk部件的交點Zk(xk,yk)。

如圖2所示封閉空間為型腔的公差區間，描述型腔尺寸公差的數學模型為：

在現有的裝配精度等級下，型腔尺寸公差是關于θ,z的函數，可利用二分法尋求尺寸超差區域，進行裝配質量預測。

2.4 用砂芯幾何特征方向和位置偏差反映裝配質量

如圖3所示，在空間建立角度尺寸鏈，其中參考部件的坐標系相對于參考系的偏轉角度為Δ1θ，部件理想坐標系相對參考坐標系偏轉角度為θ，部件實際坐標系現對于理想坐標系的偏轉角度為Δ2θ，部件實際坐標系相對于參考部件坐標系的偏轉角度為封閉角度尺寸用Δθ表示。

在圖3中，沿著坐標軸方向各偏角逆時針為正，順時針為負。

描述部件方向偏差的數學模型為：

圖4 角度尺寸鏈

描述部件偏移距離偏差的數學模型為：

3 應用實例

3.1 案例描述

本案例描述了某航空鑄件砂型的裝配過程，用此砂型鑄造生產HB6103CT9級的某航空鑄件，并利用狀態空間模型描述其裝配過程中偏差流傳遞的解析形式，最后依據關鍵特征分析鑄型裝配質量。

如圖4所示，在本道工位中需要裝配的部件有裝配體Zi（i=1,2,3,4)，參考部件Z0在第一道工位中完成裝配，具體裝配的位置關系如圖5所示。

圖5 鑄型裝配示意圖

表1 部件定位幾何中心極坐標及特征尺寸 mm

在部件實際裝配過程中沿著Z軸移動對裝配質量影響很小，可以忽略不計，根據現有裝配質量等級，確定各部件位姿偏差如表2所示。

表2 各部件尺寸偏差引起的裝配偏差 mm

3.2 累積偏差計算及裝配質量分析

以Z1部件為例，計算部件Z1與參考部件Z0形成封閉腔體的空間尺寸公差，部件Z1的偏轉角度Δθ以及偏移理想位置半徑。

實際裝配中，根據各裝配體裝配誤差敏感方向，應用極大值法預測封閉腔體尺寸公差，Z0繞x、y的旋轉角度為分別為0.80°，沿著x、y的移動距離為20.0mm。部件Z1、Z3為-5.62°，移動距離-30.5mm、40.3mm。Z2、Z4為-2.54°移動距離-20.0mm、-23.5mm.

根據部件Z1的裝配誤差等級可知ΔT1滿足式(4)，由式(7)

根據式(8)得：

方程1：

方程2：

根據式(9)～式(11)可得到參考部件斜橢圓的中心為(0.80 z +20,-0 .80 z-20)

方程3為：

根據式子(14)，可得到部件Z1偏轉角度尺寸鏈。

根據公式(15)可得到特征部件偏移半徑為：

4 結論

1）利用空間狀態模型，描述偏差流的傳遞與轉換過程，建立起描述多部件陣列裝配的空間誤差流傳遞與轉換的數學模型。

2）利用空間尺寸鏈，過濾誤差流，減少對裝配質量無影響或影響少的誤差流，建立影響裝配質量的誤差流的空間體尺寸鏈。

3）提出了裝配預測結果的評定方法和關鍵特征偏差的表達方法，建立起設計公差與裝配質量的對應關系。

4）通過某航空鑄件的砂型裝配為實例，驗證該算法的有效性。

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