例談轉化思想在初中數學教學中的應用

范惠惠

(河南師范大學數學與信息科學學院 河南 新鄉 453007)

例談轉化思想在初中數學教學中的應用

范惠惠

(河南師范大學數學與信息科學學院 河南 新鄉 453007)

眾所周知，數學思想在數學學習中占據著重要的地位，它能使分散的知識點變得有法可依，有法可循，而數學思想的精髓——轉化思想，作為數學思想的橋梁，能緊密連接很多數學思想，所以，學習并掌握轉化思想對學生尤為重要。本文介紹了初中數學教學中常見的數學思想，及影響因素和應用，并結合案例，分析轉化思想在數學中的廣泛應用。

轉化思想;初中數學;教師

1 初中教學中常見的數學思想

在初中數學學習中，常見的數學思想有分類思想、數形結合思想、函數思想、方程思想、歸納與類比思想、轉化思想等。

1.1 分類思想。分類思想主要是指根據研究對象本質屬性的不同點，對研究對象特點進行不同的考慮。常見本質屬性的不同點主要是以下幾點：一、數學概念的差異。比如，絕對值定義、二次方根等；二、分類給出條件，根據條件的不同進行不同的考慮；三、研究對象性質、公式的限制等。所以，作為教師，需要在這些課程中，給學生滲透分類討論的思想，使他們逐漸形成分類討論的意識，最終能根據題目的要求養成分類討論的習慣。

1.2 數形結合思想。數指的是數字，形指的是圖形，數學研究，從根本上而言，就是研究數字和圖形之間的規律，將代數信息和幾何信息相互轉換，一方面我們可以把各種數量關系用直觀的圖形表現出來，使一些不容易理解的數學課程變得生動形象，另一方面我們可以用代數式表示幾何圖形中的數量關系，從而表示出幾何圖形的某些性質，最終解決問題。不管哪一個方面，其本質是從轉化的角度使數與形相互協調，達到學習的目的。

1.3 函數思想。在初中階段，函數的定義是對于每一個變量都有唯一的一個變量與之對應，所以，在初中教學階段，函數思想反映的是變量與變量之間的一種對應思想。函數思想不僅在學習函數的時候體現,在其他章節中，我們也常常利用變量代換，將某一變量看做另一個變量的函數，從而把復雜問題簡單當作某一字母，這樣把事物之間的關系用特定的函數表示出來，借助函數的性質解決問題。

1.4 方程思想。從某種程度上講，方程思想是函數思想的一種定值變形。方程思想是指：設出未知量，根據題目中的數量關系，用未知量表示已知量，然后建立已知量和未知量之間的等量關系，從而構造已知量與未知量矛盾統一體，最終通過解方程使問題得到解決。所以，方程與函數之間可以相互轉化，利用方程或者函數從已知探索到未知，從陌生轉變為熟悉，是解決很多復雜數學問題的引路燈。

2 轉化思想及其影響因素

2.1 轉化思想。轉化思想的內涵其實主要體現在“轉”上，轉，即是變換。簡單的說，通過變換，將未知的，陌生的，復雜的問題轉化為我們學過的，已知的，熟悉的，簡單的問題。所以說，它幫助我們解決新問題、獲得新知識，并且很多其它的重要思想方法也是通過化歸思想獲得，比如上面講到的，數形結合思想、歸納類比思想、方程與函數思想等。因此，通過轉化思想，我們可以更有效地學習其他數學思想，從而掌握數學思想及數學方法、數學知識的核心。

2.2 使用轉化思想的原則。既然轉化思想在初中數學的學習中起著舉足輕重的作用，那么，教師怎么引導學生在學習的過程中運用轉化思想？怎么樣才能在教學中體現并引導學生掌握教學思想呢？在數學教學中，很多課程之間都是有所聯系，有規律可循的，同樣，轉化思想也有它本身所具有的特點和適用的原則。

2.2.1 熟悉已知化原則。學生通過學習可以獲得不斷的進步，學習，就是把“不會”轉變為“會”，把陌生轉變為熟悉。簡單來說，就是遇到沒有接觸過的，陌生的問題時，嘗試把它轉化為熟悉的問題，同樣地，盡量把沒有學過的、未知的問題轉化為學過的、已知的問題。這樣，通過轉化，使學生能夠充分運用已有的知識和經驗解決新出現的問題，加強新舊知識間的聯系，而且能夠拓寬學生解決問題的思路和途徑，開發其解決問題的潛能。

2.2.2 簡單化原則。在初中學習過程中，很多學生都會反映數學難學，那么，“難”字，首當其沖，體現在復雜上。很多數學知識對于初中生來說，確實比較復雜，有很大的難度。那么，在教學過程中，教師就應該引導學生把這些復雜的問題轉化為簡單的問題，或者轉化為不簡單但是規范的、我們常見的題目，化繁為簡，化復雜為簡單。

2.2.3 具體原則。數學學習中的很多內容非常抽象，不容易理解，比如，八年級下冊的《函數》一章中，很多學生對函數的定義理解不清楚，不明白什么是自變量，什么是自變量的函數，也不清楚什么是點在函數圖像上，這時候需要教師盡量把這些抽象的概念化為一些具體的例子進行解釋。

3 轉化思想在數學教學中的應用

3.1 數字與圖形之間的轉化，化抽象為形象。勾股定理雖然非常基礎，但是在初中數學中占據著非常重要的地位。這個定理起源于2500多年前，畢達哥拉斯在朋友家做客時偶然發現的一種數量關系。這個定理比較貼近人們的生活，所以很多人都熱衷于勾股定理的證明，但是不管采用哪種證明方法，變換圖形，構造不同的圖形面積，利用數形結合的思想在證明的過程中起著決定性的作用。

3.1.1 畢達哥拉斯的證法(見圖1)

從圖上就可以看出，畢達哥拉斯的證明方法比較直觀，簡單易懂。西方一些學者認為，畢達哥拉斯是最早發現勾股定理并進行證明的人，但是，因為時間太過于久遠，這種證明方法只是一些學者按照畢達哥拉斯的思路，推導出來的證明方法，至于真實性，還有待進一步驗證。

3.1.2 趙爽弦圖(圖2)

在初中階段，不規則圖形面積求解問題主要依靠兩種方法：分割、拼補，即把要求解的面積分割或拼補成常見的圖形，再利用面積公式即可。趙爽弦圖把這一點體現的淋漓盡致。

趙爽弦圖把數學面積的求解方法體現的淋漓盡致，體現了是我國古代數學家的聰明才智，是我們炎黃子孫永遠的驕傲。

(3)美國第20任總統加菲爾德的證法(圖3)

3.2 未知與已知之間的轉化，化陌生為熟悉。在學習的過程中，學生一般學習的都是新知識，如何做到新舊知識之間的銜接是一個重點，也是很多課程的難度。下面以《平行線的判定》為例，展示這位教師在上課的過程中如何體現轉化思想。

教師：通過上節課的學習，我們知道了平行線的定義和平行公理，怎么判斷平面內兩條直線是否平行？

學生：從定義出發，看這兩條線是不是相交！

教師：同學們說的非常好，但是大家想一想，直線具有無限延伸性，所以，在實際操作中利用定義是不是有一定的難度？有沒有簡單的方法呢？誰能想起來，在小學時，大家是怎么畫平行線的？

學生上臺演示

教師：非常好，請同學們想一下，剛才這個過程能抽象為我們最近學習的什么圖形？假設直尺所在位置為直線c，與直線a 交點為G,與直線b交點為H，那這個過程可以抽象為什么圖形？

學生：三線八角。

教師：在這個過程中,三角板的起點和終點分別是哪個位置？

學生：∠1和∠5。

教師：那∠1和∠5之間存在什么樣的數量關系？

學生：相等！

繼而教師又發問：它們又存在什么樣的位置關系？對，同位角，那我們能不能說，剛才在過點P作直線b的平行線直線a時，首先保證了∠1=∠5，也就是保證了同位角相等之后才推出了兩直線平行，好，我們該怎么用數學語言敘述這一事實呢？

學生：當平面內兩條直線被第三條直線所截時，如果同位角相等，那么兩直線平行。

教師：對于這句話，可以簡單的說為，同位角相等，兩直線平行。好，剛才我們是利用同位角相等得到兩直線平行，類比這個結論，能不能提出這樣的猜想，內錯角相等，兩直線平行？如果能，該怎么證明？

學生甲：能，我們可以還以這幅圖為例，如果內錯角相等，就是圖中的∠3=∠5，又因為∠3=∠1，所以我們能得到∠1=∠5，利用剛剛學過的同位角相等，兩直線平行就得到了直線a平行于直線b。

教師：非常好，在剛才這個過程中，把其中的內錯角相等或者同旁內角互補先轉化為先學到的同位角相等，也就是把陌生的問題轉化為熟悉的問題，這就是一種轉化思想。因為這個是根據內錯角∠3=∠5，通過轉化為同位角∠1=∠5，得到直線a∥b，所以，通過轉化思想，得到一個新的判定定理，內錯角相等，兩直線平行！好，我們下節課的作業是，圖中的同旁內角具有什么關系，兩條直線是平行的？

很明顯，我們能夠看到，在這節課的教學過程中，兩處細節巧妙的體現了轉化思想。第一是把即將要學的知識與小學時候的平行線畫法和剛學過的三線八角聯系到一塊，把陌生的問題轉化為熟悉的問題；第二是把陌生的“內錯角相等，兩直線平行”轉化為熟悉的、學過的“同位角相等，兩直線平行”，也是把陌生轉化為熟悉。所以，把一些陌生的問題轉化為學習過的的問題，可以更好的讓學生學習新知識，達到掌握并且運用的目的。

很多事物的發展都是有規律可循的，包括數學很多章節的設置以及數學思想在數學課程中的體現。在初中數學很多章節中，轉化思想都體現的特別明顯。比如在《一元二次方程組的消元》這一課，學習過程中，引導學生先把二元一次方程組轉化為已經學過的一元一次方程，減少未知元的個數，大大降低了學習的難度。

4 小結

在初中數學新課程標準中，對學生在數學思想方法這一方面學習到何種程度給出了直觀的要求。不管是具體的目標還是要求，讓學生在學習數學的過程中，鍛煉思維，開拓解決問題的思路和方法，并且在未來的生活中，養成數學思考的習慣，這才是數學學習的最終目標。轉化思想作為其中數學思想的精髓，更需要教師在平時的課堂中進行滲透、教育，才能讓學生了解、掌握、運用。所以，這就需要教師達到更高的水平，站在更高的角度，新課標下的教師不僅僅要傳授課本知識，并且要根據課程或者題目具體情況分析問題，深入淺出，引導學生建立轉化思想等一系列重要的思維方法，并且將課堂知識和生活實際建立有有效地聯系，鍛煉、完善學生的思維方法。

[1] 楊興剛.淺談在初中數學教學中滲透的幾種數學思想.快樂閱讀：下旬刊,2012,6.

[2] 劉果.中學數學中轉化思想的應用[M].讀寫算(教研版)，2012,7.

[3] 徐勝國.直線與圓中常用的數學思想[D].讀寫算：教育教學研究,2011,10-14.

[4] 張厚璨.心理與教育統計學[M].北京：北京師范大學出版社,1988.

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