數學歸納法在中學數學中的應用

唐艷敏

(河南師范大學 河南 新鄉 453007)

數學歸納法在中學數學中的應用

唐艷敏

(河南師范大學 河南 新鄉 453007)

數學歸納法作為我們學習數學的一種十分重要的思想方法常被應用于證明某個給定的數學命題在整個自然數范圍內成立,它主要是在解決數學問題的過程中利用對事例有限次的假設，證明來替代對事例進行的無限次論證,進而使命題能夠得到嚴格的證明。本文闡述由數學歸納法驗證命題成立的一般步驟,并用具體實例來詳細的闡訴數學中的應用,并對其作用、重要性及應用所需注意事項進行總結。

1 用數學歸納法證明題目的一般步驟

數學歸納法對于在實際的課堂中指導中學生更加容易的學習與研究數學十分有用。它首先通過直觀的導入方式,使同學們在感官方面對它有一個簡單的認識,再通過后期對他們的指導培養,使他們逐漸形成一個有條理的、完善的數學歸納法知識結構體系。在課堂上,通過具體實例論證使其獲得與數學歸納法相關的感性材料,從而就有了對其初步的感性認識。在這樣的基礎上,我們就能夠把數學歸納法的相關概念和具體證題步驟更加直觀的呈現在同學們面前。

1.1 第一數學歸納法

如果某一個命題Fn是和自然數n有關系的,若(1)命題Fn在n=1時成立；(2)假定命題Fn在n=k(k∈N )時成立,則可以驗證出命題Fn對于k+1也是成立的,那么命題Fn對于所有自然數n都是成立的[1]。

1.2 第二數學歸納法

如果某一個命題Fn是和自然數n有關系的,若(1) 命題Fn在n=1時成立；(2)假定當1≤n≤k時,Fn都是成立的,則(3)當n=k+1時,Fn對于k+1也是成立的,那么有,對一切的自然數n,都有Fn成立[2]。

其實,我們從上面給出的概念很容易看出來這兩種歸納法其實是一樣的,它們只是對數學歸納法的不同表示形式,并且這兩種方法基本上是相通的。由兩種方法證題步驟可知,后者顯然能夠得到前者；反過來,由前者也能夠得出后者。由于,在n=k時,Fn是成立的,且當n=k+1時,命題Fn對于k+1也是成立的,則明顯有1≤n≤k時,Fn也都是成立的。由第一歸納法和第二歸納法的共同特征我們可以概括出數學歸納法的基本形式；(1)檢驗當n取第一個值的時候命題成立;(2)假定當n=k時命題正確,可以驗證當n=k+1時,命題也正確;(3)由前兩步的結果我們可以判斷出命題取任意的自然數時都是成立的。

2 數學歸納法的應用

在數學的學習過程中我們常常會用到數學歸納法,盡管它在某種程度上有一定的局限性,但它在中學數學中依舊發揮著不可替代的作用。但是要想真正地掌握、準確的應用數學歸納法必須抓住數學歸納法的核心要義,并能夠深刻理解它的內涵,然后能夠靈活多變的應用數學的思維方法,做到具體情況具體分析。

3 用于解決數列問題

數列問題是一類與自然數密切相關的問題。因而,在解決數列問題時,我們自然而然就會聯想到用數學歸納法的相關知識來處理此類問題。

證明：(1)當n=1時,S1=a1,即等式成立;

所以當n=k+1時命題成立；

HTH〗4 用于證明恒等式問題

對于代數恒等式的證明也可以用數學歸納法來解決,但大多數學生在用這個方法解決問題的時候卻感覺到無從下手,而這主要是他們沒有能夠找到明確的證明目標。在解決此類恒等式的問題時,首先應該學會分析等式兩邊的特點,然后要在第二步中將所需要證明等式轉化為能夠與題目中歸納假設的結構相類似的證明形式,同時要注意在第二步中的式子的轉換過程應該盡量詳細,不可以簡單一筆帶過[4]。

例2 求證:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N* )

證明: (1)當n=1的時候,等式左=1+1=2,等式右=1×2=2,左=右,所以原式能夠成立；

(2)假設n=k(k∈N*)時,等式成立,也即有等式

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3·5…(2k-1)

那么n=k+1時,

(k+2(k+3…(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)

=2k+1·1·3·5…(2k-1)[2(k+1)-1]

所以當n=k+1時,等式成立。

綜上可以知道,對于任何n∈N* 都有

(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N* )

成立．

5 用于證明不等式問題

在證明不等式的相關問題時候也可以使用數學歸納法來解決,首先應該比較n=k和n=k+1這兩個不等式之間的區別,然后再決定n=k時不等式應該做怎么樣的變形,一般的情況下,我們只是能夠得出等式的一邊,最后可以利用分析法、比較法、放縮法、綜合法以及不等式之間傳遞性等來根據由n=k成立時的式子再推出n=k+1時不等式所成立時的結果,從而完成證明。不等式的證明與恒等式的證明相比較有很多相似的地方,其最重要的仍然在于第二步[5]。不過不等式證明的難度會比較大一些,有的在第一步也不是那么的容易。

當n=k+1時

∴n=k+1時成立

6 用于證明整除問題

用數學歸納法解決整除的相關問題,能夠在很大程度上降低我們在解題時的難度。第一步可以根據題目中所需要被證明的式子進行添項、去項來變形,從而能夠湊出使原來的假設可以成立時的式子；第二步再來驗證余下的式子也可以被某一個式子整除,這是我們用這種方法證明整數的整除類問題的一個重要技巧[6]。

例4 對于n∈N*,求證：(x+1)n+1+(x+2)2n-1,可被(x2+3x+3)整除。

證明：(1)當n=1時,左邊=(x+1)2+(x+2)1=x2+3x+3成立

(2)假設n=k時成立,即：(x+1)k+1+(x+2)2k-1=(x2+3x+3)·f(x)

當n=k+1時

(x+1)k+2+(x+2)2k+1

=(x+1)(x+1)k+1+(x2+4x+4)(x+2)2k-1

=(x+1)(x+1)k+1+(x+1)(x+2)2k-1+(x2+3x+3)·(x+2)2k-1

=(x+1)·(x2+3x+3)·f(x)+(x2+3x+3)(x+2)2k-1

=(x2+3x+3)·[(x+1)·f(x)+(x+2)2k-1]

所以n=k+1時成立。

綜合(1)(2)可以知道,對一切n∈N*,都有(x+1)n+1+(x+2)2n-1可以被(x2+3x+3)整除。

7 用于證明幾何問題

幾何在中學數學中是一個相當重要的研究方向,同時幾何問題相對來說又是比較抽象的,所以常常采用數學歸納法來進行幾何問題的相關證明,這樣就會降低解決此類問題的難度,簡化它的繁瑣過程。但是,在處理這種類型的問題時需要注意:解決此類問題之前首先應該找出規律,然后再獲取公式,之后才能夠利用這種方法來論證所要得到的結果[7]。

例5 在一個平面上一共有n條直線(n∈N*,n≥2),在這n條直線中，任何兩條直線之間都是不平行的,并且任何三條直線之間都是沒有公共點的[8]。

(2)在這n條直線中能夠相互構成射線或線段的直線有bn=n2條；

證明:(1)① 根據題意可以知道,當n=2時,a2=1,此時原式成立；

(2)① 當n=2時,b2=4,原式成立；

② 假設n=k時成立,即bk=k2,

當n=k+1時,可以知道第k+1條直線上有k個交點,也就是說將第k+1條直線分成k+1個部分,k個交點還在原k條線上,即每一點都將所在射線或線段分成兩部分。

所以ak+1=ak+(k+1)+k=k2+2k+1=(k+1)2,即當n=k+1時原式成立。

綜上得知,對于一切n∈N*,n>1時都有bn=n2。

8 總結

本文介紹了數學歸納法在解決問題時的一般步驟,以及在中學數學中的數列、恒等式、不等式、整除以及幾何問題中的具體應用。因此針對大多數與自然數相關的性質,我們都能夠用數學歸納法來進行證明。但是在運用這種方法的時候我們也要注意一些問題: ①利用數學歸納法能夠解決一些與自然數相關的問題,但是并非在我們遇到的所有相關的此類數學問題時都能夠利用這種方法來進行解決[10]；②利用數學歸納法在解決問題的時候,首次所選取的值必須要滿足問題中條件所給定的第一個數(這個數并不一定要求為1)；③雖然數學歸納法是用來解決與正整數相關的數學問題的一種比較有用的方法,可是利用這種方法我們通常只能夠驗證命題是否正確,卻不能夠根據它來尋找到更多新命題；

對于數學歸納法廣泛應用和優越的性質我們還要繼續的加以探索和研究。從而幫助學生更加清晰地理解數學歸納法,以及有效地運用。

[1] 孟渙晨.數學歸納法及其應用[J].科教文匯,2009,16: 119.

[2] 謝發超.數學作文的命題研究[M].重慶：西寧師范大學出版社,2006:72.

[3] 甘志國,鄧曉峰.用函數觀點求解數列問題[J].中學數學研究,2011,9;38-40.

[4] 王曙東,數學歸納法的幾大應用[J].中學數學,2012,9:93.

[5] 劉金娜.對數學歸納法的認識[J].考試周刊,2011,28:87-88.

[6]WilliamL.Sanders,S.PaulWright,SandraP.Horn.TeacherandClassroomContextEffectsonStudentAchievement:ImplicationsforTeacherEvaluation[J].JournalofPersonalEvaluationinEducation. 1997(1).

[7] 張先達.數學歸納法在中學的應用[J].經濟研究導刊.數學通報,2014,8：304-305.

[8] 高考一輪總復習編寫組.2014走向高考[M].中國和平出版社.2012,7:176.

[9]Carr,S.C.Assessinglearningprocesses:Usefulinformationforteachersandstudents.InterventioninSchoolandClinic.2002.

[10] 錢佩玲.中學數學思想方法.北京師范大學出版社,2000,6:204-205.

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