水準網定權方法的比較

胡圣武 楊旭鋒 苗林光

(河南理工大學 測繪與國土信息工程學院 河南 焦作 454000)

0 引言

水準網平差模型包括函數模型和隨機模型,其中隨機模型就是高差觀測量的精度,也是水準觀測量的權,因此,水準測量定權對于水準測量的解算以及精度評定至關重要,是水準平差模型的重要組成部分[1-3]。常規水準測量定權方法也是目前最為廣泛的水準網定權方法,視測區具體情況,如測量區域高度變化不顯著,每千米測站數大致相同,則可按照水準路線的距離,取水準路線距離的倒數定權;如若測量區域高度變化顯著,則按水準路線測站數定權。但對于不同的地形和不同的要求,如何定權是非常重要的,引起了很多學者的關注和研究。

王新洲提出利用信息擴散估計(按分布定權的平差)是一維參數估計中的較好方法, 但不便于直接推廣到多維參數估計[4];范百興等利用后驗方差分量估計相關理論針對跨河情形下的水準測量展開應用研究[5];近年來,劉成龍等為解決工程實際問題,顧及測區地形,在薄志鵬統計研究高精度水準測量權重等理論基礎上先后提出基于往返測高差較差的水準網確權方法[6-7]; 龔率等基于測區高度變化情況分類的Helmert方差分量估計的水準網確權方法[8],提升理論的嚴密性的同時為高程變化復雜測區的大規模水準網平差提供了定權方法。

本文結合當前水準網平差權的確定過程中出現的問題以及日益更新的信息處理模型,合理利用矩陣實驗室(matrix laboratory,MATLAB)的矩陣運算、科學計算與窗體制作的便捷性[9],對水準網平差定權不準確和定權的方法進行研究。

1 權誤差對平差結果的影響

隨機模型誤差是由定權不當造成的,從間接平差的數學模型著手,研究定權誤差對水準測量平差成果的影響。

1.1 定權誤差對未知參數改正數的影響

假設正確的權重矩陣P和定權有誤差的權重矩陣P1存在如下關系：

(1)

則考慮定權誤差的間接平差的數學模型為

(2)

一般而言,BTPB是BTP1B的核心成分,故在收斂條件下,對(NBB+ΔNBB)-1按冪級數展開為

(3)

于是,平差后考慮定權誤差的參數改正數為

(4)

式中,

(5)

由式(4)、式(5)可知,考慮定權誤差影響時,該誤差對未知參數的改正數的影響和觀測值改正數的影響均以確權誤差相同量級表達,換言之,影響顯著。

1.2 定權誤差對參數平差值的協因數矩陣的影響

沒有定權誤差時,由間接平差可知,參數平差值的協因數矩陣為

(6)

考慮定權誤差P1計算平差后的參數平差值的協因數矩陣為

(7)

根據式(3),則式(7)可得

(8)

由式(8)可知,考慮定權誤差影響時,參數平差值的協因數矩陣計算公式中含有定權誤差的一次項,因此影響同樣顯著。

2 水準網中權的確定方法

目前對于水準測量的定權方法主要有以下幾種。

2.1 常規定權法

在水準測量中如果地勢平坦,一般用水準路線長度定權;如果地勢變化比較大,一般用測站數定權。具體定權方法可參閱文獻 [1]和文獻[10-12]。

2.2 熵權法模型

基于熵權法進行水準網定權,以期正式平差處理前合理分配測站與路線距離兩種定權方法權重,達成對復雜水準測區的確權準確度提升[13]?；陟貦喾ǖ乃疁示W確權步驟詳細如下。

(1)指標矩陣列立,將指標矩陣T設置為m行2列,為對j條水準路線包含的測站數(c)及路線長度(s)兩個影響因子進行記錄,得

(9)

(2)標準化矩陣獲取,利用均值化思想對指標矩陣進行處理,進而獲取指標標準化矩陣T*,其中上述矩陣所包含子元素標準化結果用t表示,為

(10)

(3)各評價指標出現概率計算,將式(10)作為原始數據,利用式(10)對兩個評價指標出現概率計算。

(11)

(4)各指標信息熵計算,令k=1/lnm,結合式(11)測站數及路線長度兩指標的信息熵為

(12)

(5)各指標權重獲取,利用式(12)獲得的各指標信息熵數據展開計算,進一步獲取各指標對應權重,如式(13)所示。

(13)

(6)確權,依據式(11)算得指標出現的概率及式(13)所得的兩指標信息熵權獲取基于熵權法的水準網確權值,為

(14)

2.3 變異系數法模型

依據所列指標的變異系數來衡量所列指標取值的離散水平,進而展開定權工作,從而消除所列指標的量綱不同產生的影響[14]?；谧儺愊禂捣ㄟM行水準網定權,同熵權法一般依托指標內變異程度進行定權,達成對復雜水準測區的確權準確度提升,且其計算過程相對簡單?；谧儺愊禂捣ǖ乃疁示W確權步驟主要包括指標矩陣列立、標準化矩陣獲取、各評價指標出現概率計算、各指標變異系數及權重計算、確權等五步,其中步驟1、2、3、5與上法保持一致,主要計算步驟即測站包含數與路線距離變異系數及權重計算如式(15)所示。

(15)

式中,V1與V2是測站包含數與路線距離的變異系數;W1與W2是上述兩指標的權重;σ1與σ2是上述兩指標,可按照式(16)進行計算。

(16)

值得一提的是上文所提及的標準離差法亦是按照變異系數法的相關步驟,變變異系數為標準差,直接由標準差的大小進行指標權重的確定及總權重的計算,即

(17)

可在基于變異系數法對水準網確權過程中,記錄所使用的標準差信息,依據式(16)獲取基于標準離差法的水準網確權研究信息,供給后期對比分析。

2.4 CRITIC權重法模型

基于指標相關性的指標權重確定方法(criteria importance through intercriteria correlation,CRITIC)在使用標準差指標內變異程度特點的基礎上,借助相關系數ρsc間接表示指標內相關關系：當標準差一定時,相關系數愈大,對應沖突性越低,產生較小權重,并使用信息量C作為評價依據綜合相關系數與標準差兩大統計量,供給各指標客觀權重的確定[15],其中無量綱化處理按式(10)進行,標準差計算按式(16)展開,水準路線長度值與水準路線測站包含數間的相關系數與信息量分別如式(18)與式(19)列立。

信息量愈大,指標價值愈大,權重愈高,對應指標權重的確定公式為

(20)

2.5 獨立性權系數法模型

獨立性權系數法確權過程中僅考慮指標間相關關系,而忽略指標內變異程度[16]。倘若某參考指標項與其他參考指標項的復相關系數R越小,則其與其他指標間的相關性較弱,越難以使用其他參考指標項通過線性組合進行表示,重復信息相對越小,因此對應參考指標項應當被賦予較大的權重,反之同樣成立。

基于獨立性權系數法進行水準網定權過程中,依次選取單個指標作因變量,其他指標設置為因變量,回歸分析,獲取R值后,取其倒數,再以復相關系數倒數確定權重。其中復相關系數計算公式與對應指標權重確定公式分別為

由于同上述客觀定權法中的指標矩陣一般,為對水準路線包含的測站數(c)及路線長度(s)兩個影響因子進行記錄,故當指標數為兩項時,則有

(23)

聯立式(22)和式(23),得

(24)

3 實例分析

多種定權法的水準網平差使用MATLAB編程實現,其中實現過程主要包括定權法權值獲取與水準網平差兩子模塊組成。定權法權值獲取模塊主要功能有原始觀測數據導入、標準化處理、指標對應權重計算、確權成果導出等;水準網平差模塊功能有水準觀測文件導入、點號轉變、誤差方程列立、確權方法選擇、中間元素及結果計算、精度評定計算等。

選擇某一高程變化復雜水準測區做實際算例,水準路線如圖1所示,觀測數據如表1所列,除常規的按照水準路線長度值、測站包含數確權,按照五種定權法進行確權工作與對比分析,其中兩種常規定權方法分別以0.48 km與10個,即水準路線1的相關數據作為先驗單位權中誤差,水準網觀測數據常規確權結果如表2所示,水準網觀測數據客觀賦權法確權結果如表3所示。

圖1 水準路線示意圖

表1 水準網觀測數據

表2 水準網觀測數據常規定權結果

表3 水準網觀測數據客觀賦權法確權結果

通過常規確權結果與多種客觀賦權法確權結果對比易知,觀測數據1、2、5權重占比提升,觀測數據3、4權重占比降低,再次表明在水準網平差過程中,不同確權方法的選擇對平差結果產生的影響。

由表3可知,以均值化作為量綱化處理方法的雙指標案例,變異系數法、標準離差法、CRITIC權重法指標權重均與權重指標賦予過程中使用的標準差統計量保持一致,即三種方法觀測數據對應權值相同,故實例水準網高程點精度評定時使用變異系數法代表上述三種方法即可。

各確權方法對應單位權中誤差值與未知高程點協因數矩陣獲取未知高程點中誤差直觀表現如圖2所示。

表4 水準網未知高程點中誤差評定

圖2 未知高程點精度評定圖

通過水準網未知高程點中誤差評定表易知,按路線長度值確權與測站包含數兩種常規確權方法所得未知高程點中誤差均值為10.436 4與10.563 1,熵權法等三種本文研究確權方法未知高程點中誤差均值趨向一致,分別為9.368 7、9.371 0與9.372 0,兩相比較易知,相對于常規經驗定權法,本文所研究的熵權法等確權方法確權,使得未知點高程精度提高,具有一定性能優勢,加之計算形式規律,符合編程邏輯,具有一定應用潛力。

4 結束語

本文對水準測量定權的方法進行了比較,主要得到了如下結論：①如果權存在誤差,則對平差結果會產生影響;②不同的定權方法,其得到的權不一樣,從而平差結果也不一樣。因此,在水準網平差中應高度重視定權的研究。