奇異值分解法在病態(tài)問題中的應(yīng)用

徐　文，陳　義，游　為

(1. 同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092； 2. 西南交通大學(xué)地球科學(xué)與

環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 610063)

Application of SVD Method in Ill-posed Problem

XU Wen，CHEN Yi，YOU Wei

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奇異值分解法在病態(tài)問題中的應(yīng)用

徐文1，陳義1，游為2

(1. 同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092； 2. 西南交通大學(xué)地球科學(xué)與

環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 610063)

Application of SVD Method in Ill-posed Problem

XU Wen，CHEN Yi，YOU Wei

摘要：用截?cái)嗥娈愔捣纸夥ê托拚娈愔捣纸夥▽?duì)大地測(cè)量病態(tài)問題進(jìn)行了處理，并與最小二乘的結(jié)果進(jìn)行了比較，最后將兩者方法進(jìn)行結(jié)合同樣對(duì)病態(tài)方程進(jìn)行了處理，得到了結(jié)合奇異值分解的解，并與截?cái)嗥娈愔怠⑿拚娈愔捣纸獾慕庖约罢嬷颠M(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)結(jié)合奇異值分解的解即修正奇異值截?cái)喾ū冉財(cái)嗥娈愔岛托拚娈愔档慕飧涌拷谡嬷担拚娈愔到財(cái)喾ㄏ啾扔诮財(cái)嗥娈愔岛托拚娈愔捣▽?duì)于病態(tài)方程抗干擾能力更強(qiáng)，更具有實(shí)際意義。

關(guān)鍵詞：病態(tài)方程；奇異值分解；截?cái)嗥娈愔担恍拚娈愔?/p>

在測(cè)量平差中, 當(dāng)誤差方程式的系數(shù)矩陣或常數(shù)向量有微小的誤差擾動(dòng)時(shí)，就會(huì)引起解的劇烈波動(dòng)，從而導(dǎo)致計(jì)算出來的結(jié)果與真值相差比較大，這種問題就稱為病態(tài)問題，對(duì)應(yīng)的矩陣稱為病態(tài)矩陣。病態(tài)矩陣表現(xiàn)為矩陣的行列式等于或接近于零，或者矩陣的行或列向量存在近似的線性相關(guān)。矩陣奇異值分解是一種對(duì)誤差方程的系數(shù)矩陣直接進(jìn)行分解來求取未知數(shù)最小二乘解的比較實(shí)用的解法。近年來病態(tài)問題的處理在大地測(cè)量的數(shù)據(jù)處理中得到了越來越廣泛的應(yīng)用。在病態(tài)問題中，法方程式系數(shù)矩陣的條件數(shù)是誤差方程系數(shù)矩陣條件數(shù)的平方,對(duì)誤差方程式的系數(shù)矩陣進(jìn)行處理有利于降低方程的病態(tài)性，使得未知數(shù)的估值更加接近于真值。在非病態(tài)方程的條件下,矩陣的奇異值分解算法和最小二乘算法所得到的結(jié)果一致。而在病態(tài)方程條件下, 對(duì)于相對(duì)較小的奇異值截?cái)嗳サ簦蛘邔?duì)全部或部分奇異值進(jìn)行修正，使得奇異值或者將二者相結(jié)合的方法相對(duì)更加緊湊，就可以達(dá)到減少均方根誤差、提高未知數(shù)的精度和可靠性的目的，從而獲得更為準(zhǔn)確的解[1-2]。

一、病態(tài)方程的解法

定理1設(shè)m×n矩陣A∈Rm×n(Cm×n)，矩陣A的秩rank(A)=r(r>0),r≤{m,n}，則存在m階正交(酉)矩陣U和n階正交(酉)矩陣V，使得[3-4]

(1)

式中，Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)，且σ1≥σ2≥…≥σr>0，而σi(i=1,2,…,r)為矩陣A的非負(fù)奇異值。式(1)稱為矩陣A的奇異值分解式[1,3]。

1. 截?cái)嗥娈愔捣纸?/p>

在病態(tài)方程問題中未知數(shù)的最小二乘解有較大波動(dòng)的主要原因是：誤差方程式的系數(shù)矩陣有等于或接近于0的奇異值。一個(gè)最直接的做法就是去掉那些等于或接近于0的奇異值，用損失未知數(shù)的無偏性為代價(jià)來換取均方根誤差的減小。假設(shè)去掉接近于0的t-k個(gè)奇異值, 就可以得到截?cái)嗥娈愔档慕? 即

(2)

這其中的關(guān)鍵問題是如何選擇合適的截?cái)鄥?shù)k，在有關(guān)文獻(xiàn)中關(guān)于截?cái)鄥?shù)k的選擇方法有L曲線法、F假設(shè)檢驗(yàn)法、極小化均方誤差法等。本文用L曲線法來求解截?cái)鄥?shù)，求出截?cái)鄷r(shí)所對(duì)應(yīng)的奇異值所在的下標(biāo)數(shù)值i，最后得到的截?cái)嗥娈愔捣ǖ慕鉃?/p>

(3)

式中，V1為矩陣V的前i列；D1為矩陣Σ的前i×i的矩陣；U1為矩陣U的前i列[1-2]。

2. 修正奇異值分解

奇異值分解中，相對(duì)較大的奇異值表示比較可靠和肯定的部分，而相對(duì)較小的奇異值則表示浮動(dòng)較大、不那么可靠的部分。截?cái)嗥娈愔捣纸夥ň褪侨サ裟切┫鄬?duì)較小奇異值，奇異值分解法還可以通過修正奇異值的方法，適當(dāng)?shù)卦龃竽切┙咏? 的奇異值，減小那些相對(duì)較大的奇異值，使得奇異值相對(duì)更加緊湊。楊文采提出了一種修正奇異值分解方法，設(shè)t為截?cái)嗥娈愔捣ㄋＡ舻淖钚∑娈愔档南拗? q為小于t的奇異值個(gè)數(shù), 則相應(yīng)的修正方案為[1]

(4)

得到修正后的奇異值法的未知數(shù)解為[2]

(5)

式中，Dλ=diag(λ1，λ2，…，λm)。

3. 修正奇異值截?cái)喾?/p>

修正奇異值截?cái)喾ň褪窍葘?duì)所有奇異值進(jìn)行修正，根據(jù)式(4)、式(5)適當(dāng)?shù)卦龃竽切┙咏? 的奇異值，減小那些相對(duì)較大的奇異值，使得奇異值相對(duì)更加緊湊；然后再進(jìn)行截?cái)啵脫p失未知數(shù)的無偏性為代價(jià)來換取均方根誤差的減小，使得更加接近于真值。

二、 病態(tài)方程算例

文獻(xiàn)[2]第五章中克服病態(tài)性的改進(jìn)算法研究實(shí)例5.2對(duì)其矩陣的條件數(shù)為128 920，病態(tài)嚴(yán)重，5個(gè)未知數(shù)的真值為x=[11111]T,進(jìn)行AATA處理[5]，使其病態(tài)性更強(qiáng)，見表1。

表1　新的病態(tài)矩陣

對(duì)新的矩陣進(jìn)行病態(tài)處理，分以下幾種情況進(jìn)行討論：

1) 產(chǎn)生的10個(gè)隨機(jī)誤差為0.012 6、0.016 2、-0.014 9、0.016 5、0.005 3、-0.016 1、-0.008 9、0.001 9、0.018 3、0.018 6，將(-0.02,0.02)加入到系數(shù)矩陣與未知數(shù)的真值的乘積，即作為觀測(cè)誤差，一起作為觀測(cè)值。

2) 產(chǎn)生10個(gè)隨機(jī)數(shù)誤差0.031 1、-0.092 9、0.069 8、0.086 8、0.035 7、0.051 5、0.048 6、-0.021 6、0.031 1、-0.065 8，為(-0.1，0.1)。

3) 產(chǎn)生10個(gè)隨機(jī)數(shù)誤差0.251 3、-0.244 9、0.006 0、0.199 1、0.390 9、0.459 3、0.047 2、-0.361 4、-0.350 7、-0.242 5，為(-0.5,0.5)

由程序編寫得到的解見表2。

表2　由程序編寫得到的解

三、結(jié)束語

由Matlab進(jìn)行程序的編寫后[3]，在加入誤差較小時(shí)，病態(tài)矩陣的傳統(tǒng)平差解跟真值相差較大，即解的波動(dòng)較大，符合病態(tài)方程的求解條件。同時(shí)，截?cái)嗥娈愔岛蟮慕夂托拚娈愔岛蟮慕猓约敖Y(jié)合二者的解更接近于真值一些，但是結(jié)合二者后的解即修

正奇異值截?cái)嘟獗冉財(cái)唷⑿拚慕飧咏谡嬷担簿褪俏⑿〉臄_動(dòng)對(duì)于結(jié)合二者后的解法對(duì)于未知數(shù)的影響較小，即結(jié)合二者后的解法抗干擾的能力更強(qiáng)。加入的誤差越來越大時(shí)，截?cái)唷⑿拚娈愔档慕饪垢蓴_能力更弱一些，也就是結(jié)合二者的解更好一點(diǎn)，適用性更強(qiáng)。總體上來說，都是結(jié)合奇異值分解法(截?cái)嗥娈愔捣纸夥ê托碌男拚娈愔捣纸夥ā⒔Y(jié)合二者的分解法)要比傳統(tǒng)的最小二乘方法要好，結(jié)合二者的分解法即修正奇異值截?cái)喾ㄒ冉財(cái)唷⑿拚纸夥ㄒ谩?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]盧波. 病態(tài)方程的奇異值分解算法與比較[J]. 測(cè)繪信息與工程,2011;36(4)：19-22.

[2]王振杰. 測(cè)量中不適定問題的正則化解法[M] . 北京: 科學(xué)出版社, 2006:86-131.

[3]王振方.基于奇異值分解的擬穩(wěn)平差法[J].測(cè)繪通報(bào),2008(5):30-32.

[4]崔希璋.廣義測(cè)量平差(新版)[M].北京：測(cè)繪出版社，2001.

[5]陳永春.MATLAB語言高級(jí)編程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004:100-120.

引文格式：徐文，陳義，游為. 奇異值分解法在病態(tài)問題中的應(yīng)用[J].測(cè)繪通報(bào)，2016(1)：62-63.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0015.

通信作者：陳義。E-mail: chenyi@tongj.edu.cn

作者簡(jiǎn)介：徐文(1991—)，男，碩士生，主要研究方向?yàn)闇y(cè)量數(shù)據(jù)處理。E-mail:2890923816@qq.com

收稿日期：2014-11-03

中圖分類號(hào)：P22

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：0494-0911(2016)01-0062-02