電磁矢量陣列的四元數Toeplitz矩陣重構算法

張遠芳，李會勇，謝菊蘭

(電子科技大學 電子工程學院, 成都 611731)

·信號處理·

電磁矢量陣列的四元數Toeplitz矩陣重構算法

張遠芳，李會勇，謝菊蘭

(電子科技大學 電子工程學院, 成都 611731)

對于電磁矢量陣列的相干信源波達方向估計，針對空間平滑算法解相干時減少陣列有效孔徑的問題，提出了一種四元數Toeplitz矩陣重構算法。首先，根據四元數的正交特性建立了信號接收模型，很好地保持了電磁矢量陣列的陣元輸出信號兩分量間的正交性，同時保證了波達方向角信息和極化信息都能包含在重構矩陣中；然后，在陣列各陣元接收數據與參考陣元接收數據的相關函數基礎上，構成Hermitian Toeplitz矩陣，從而實現解相干。該算法與空間平滑算法相比增加了相干信源估計個數，且在低信噪比和入射角度接近時具有更好的估計性能，通過仿真實驗得到了驗證。

電磁矢量陣列；相干；四元數；Toeplitz矩陣

0 引 言

電磁矢量陣列能夠同時獲得波達方向信息和極化信息，較傳統標量陣列具有諸多優良的性能[1-2]。波達方向(DOA)估計是陣列信號處理的研究熱點，傳統的基于子空間類算法，如多重信號分類(MUSIC)算法、旋轉不變子空間(ESPRIT)算法，對于非相干信源具有很好的估計性能[3-4]。由于空間中復雜電磁干擾和多徑效應使得信號源產生相干，導致接收信號自相關矩陣秩虧，子空間類DOA估計算法失效。

空間平滑算法[5-7]是一種常用的電磁矢量陣列解相干算法，但是此類算法是以減少陣列有效孔徑為代價來解相干的。文獻[8-9]提出了極化平滑算法以及一系列在此基礎上的改進算法，雖然沒有減少陣列有效孔徑，但是最多只能估計六個信號源。文獻[10-11]提出了基于四元數的空間平滑解相干算法，在估計性能上有所提高，但是解相干信源個數仍然有所限制。文獻[12]提出了電磁矢量傳感器陣列的矩陣重構算法，該算法只是將接收數據的自相關矩陣的第一行元素進行矩陣重構，并未將信息全部用到。本文提出了一種基于四元數的Toeplitz矩陣重構算法。

1 四元數信號模型

如圖1所示的均勻線陣由M個沿y軸排列的陣元構成，陣元間距為d。其中每個陣元由兩正交的電偶極子對構成，兩正交的電偶極子分別沿平行于x軸和y軸方向放置。兩正交分量的極化導向矢量為

(1)

式中：θ∈[-π/2, π/2)為入射信號俯仰角；φ∈[0,2π)為入射信號方位角；γ∈[0,π/2)為極化幅角；η∈[-π,π)為極化相位差。

圖1 極化敏感陣列結構圖

一個信號s(t)入射到均勻線性陣列，為方便分析，固定φ=π/2，則接收信號的兩分量xmx(t)和xmy(t)可以表示為

xmx(t)=-cosγs(t)

(2)

xmy(t)=cosθsinγejηs(t)

(3)

用四元數來表示接收信號的兩分量，則可以寫成

(-cosγ+icosθsinγejη)s(t)=

P(θ,γ,η)s(t)

(4)

式中：P(θ,γ,η)為一個四元數。對于整個陣列的接收信號可以表示為

x(t)=P(θ,γ,η)s(t)as(θ)

(5)

式中：as=[1,ejφ,…,ej(M-1)φ]T為空間導向矢量；φ=2πdsinθ/λ。

假設空間中有K個信號入射到陣列，陣列接收數據可以表示為

Ds(t)+N(t)

(6)

式中：D為陣列四元數流形矩陣；s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T為入射信號；N(t)為零均值，方差為σ2的高斯白噪聲。D表示為

(7)

接收數據的自相關矩陣表示為

Rx=E[X(t)X?(t)]=DRsD?+σ2I

(8)

式中：符號{?}表示四元數共軛轉置；Rs表示入射信號自相關矩陣。由于入射信號相干使得Rs不再是一個滿秩的矩陣，一般的參數估計方法都不再適用，接下來將進行解相干處理以恢復接收信號自相關矩陣的秩。

2 四元數Toeplizt矩陣重構算法

第m個陣元的接收數據可以表示為

xm(t)=xmx(t)+ixmy(t)=

D(m)s(t)+nm(t)

(9)

式中：D(m)表示D的第m行所有元素。

第一個陣元的接收數據可以表示為

x1(t)=D(1)s(t)+n1(t)

(10)

以第一個陣元為參考陣元，定義相關函數為

D(1)E[s(t)s?(t)]D?(m)+σ2δ(m-1)=

D(1)RsD?(m)+σ2δ(m-1)

(11)

將m從1到M的相關函數進行排序，得到矢量為[r(0),r(1),…,r(M-1)]，將式(10)代入矢量可以得到

[r(0),r(1),…,r(M-1)]=D(1)Rs[D?(1),

D?(2),…,D?(M)]+[σ2,0,…,0]

(12)

構造如下形式的矩陣

(13)

可以看出，矩陣包含所有的信號源入射角信息和極化信息，由式(11)可以得到r(m-1)=r*(1-m)，證明如下

r(m-1)=D(1)RsD?(m)+σ2δ(m-1)=

σ2δ(m-1)

(14)

r(1-m)=D(m)RsD?(1)+σ2δ(m-1)=

σ2δ(m-1)

(15)

由式(14)和式(15)可得

r(m-1)

(16)

因此RT為Hermitian Toeplitz 矩陣，從而實現了解相干[13]。

對重構矩陣RT進行特征值分解得到信號子空間和噪聲子空間，利用四元數MUSIC算法[10]來完成參數估計，譜峰極大值處對應的角度即為信號入射角度。

3 算法仿真與分析

3.1 仿真實驗1

四元數Toeplitz矩陣重構算法和四元數空間平滑算法解相干信源個數的對比。

假設陣元數M=8，陣元間距d=λ/2，噪聲為高斯白噪聲，其功率為1，快拍數為512，信噪比為10 dB。相干信號個數K=6，其來波方向角分別為-60°、-40°、-20°、0°、30°、60°，極化參數(γ1,η1)=(10°,50°)、(γ2,η2)=(20°,30°)、(γ3,η3)=(10°,15°)、(γ4,η4)=(40°,60°)、(γ5,η5)=(30°,40°)、(γ6,η6)=(50°,80°)。平滑算法中子陣數目為p=5，每個子陣包括的陣元數l=M-p+1=4。從圖2可以看出本文介紹的四元數Toeplitz矩陣重構算法能夠對六個完全相干信源解相干得到DOA估計。而對于空間平滑算法找不到同時滿足m≥K，p≥K的m和p，所以不能應用空間平滑算法對六個完全相干信源解相干，從圖3可以看出空間平滑算法最多只能對4個相干信源解相干。

圖2 四元數Toeplitz矩陣重構算法對六個相干源的DOA估計

圖3 四元數空間平滑算法對四個相干源的DOA估計

3.2 仿真實驗2

四元數Toeplitz矩陣重構算法和四元數空間平滑算法分辨性能對比。

對于兩個入射角度接近的相干信源，來波方向角分別為40°、35°，極化參數分別為(γ1,η1)=(50°,80°)、(γ2,η2)=(20°,30°)，其余條件與實驗1相同。從圖4可以看出Toeplitz矩陣重構算法能夠在兩個相隔較近的來波方向形成了兩個尖銳的譜峰，而四元數空間平滑算法只形成了一個譜峰，參數估計失敗。圖5給出了100次蒙特卡洛實驗時波達方向角估計的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。從實驗結果可以看出，在入射角度接近時，四元數Toeplitz矩陣重構算法比四元數空間平滑算法具有更低的誤差，參數估計性能更優越。

圖4 兩個入射角度相近的相干源DOA估計

圖5 兩個入射角度相差較近的相干信源

對于兩個入射角度相差較大的相干信源，來波方向角分別為40°、10°，極化參數分別為(γ1,η1)=(50°,60°)、(γ2,η2)=(20°,30°)，其余條件與實驗1相同。圖6給出了100次蒙特卡洛實驗時波達方向角估計的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。從實驗結果可以看出，在入射角度相差較大時，四元數Toeplitz矩陣重構算法比四元數空間平滑算法具有更低的誤差，參數估計性能更優越。綜上可以看出無論兩信號入射角度相距如何，四元數Toeplitz矩陣重構算法都比四元數空間平滑算法具有更好的估計性能。

圖6 兩個入射角度相差較遠的相干信源

3.3 仿真實驗3

快拍數對四元數Toeplitz矩陣重構算法和四元數空間平滑算法性能的影響。

入射信號信噪比SNR=10 dB，其余條件與實驗2相同。圖7給出了波達方向角估計的均方根誤差隨快拍數變化的曲線。從實驗結果可以看出，四元數Toeplitz矩陣重構算法的收斂速度很快，隨著快拍數增加，兩種算法的DOA估計誤差越來越小。在相同快拍數的條件下，四元數Toeplitz矩陣重構算法比四元數空間平滑算法具有更好的估計性能。

圖7 DOA估計均方根誤差隨快拍數變化曲線

4 結束語

對于電磁矢量陣列的相干信源參數估計問題，本文提出了一種四元數Toeplitz矩陣重構算法，利用四元數的特性，將入射信號的所有信息都用到了算法中。同時利用所有陣元與參考陣元的相關函數進行排序構成了Toeplitz矩陣，實現了解相干，獲得了較好的參數估計。與四元數空間平滑算法相比，該算法不需要減少陣列的有效孔徑，從而增加了相干信源估計個數。通過仿真實驗表明了對于入射信號到達角的估計，四元數Toeplitz矩陣重構算法比四元數空間平滑算法具有更優的性能。

[1] WONG K T, YUAN X. Vector cross-product direction-finding with an electromagnetic vector sensor of six orthogonally oriented but spatially noncollocating dipoles/loops[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(1): 160-171.

[2] KORSO M N, BOYER R. Statistical resolution limit of the uniform linear cocentered orthogonal loop and dipole array[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(1): 425-431.

[3] SCHMIDT R O. Multiple emitter location and signal parameter estimation[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1986, 34(3): 276-280.

[4] ROY R, KAILATH T. ESPRIT estimation of signal parameters via rotational invariance techniques[J]. IEEE Transactions on Acoustic Speech and Signal Processing, 1989, 37(7): 984-995.

[5] 徐友根, 劉志文. 電磁矢量傳感器陣列相干信號源波達方向和極化參數的同時估計：空間平滑方法[J]. 通信學報, 2004, 25(5): 28-38. XU Yougen, LIU Zhiwen. Simultaneous estimation of 2-D DOA and polarization of multiple coherent sources using an electromagnetic vector sensor array[J]. Journal of China Institute of Communications, 2004, 25(5): 28-38.

[6] 王布宏, 王永良, 陳 輝. 相干信源波達方向估計的加權空間平滑算法[J]. 通信學報, 2003, 24(4): 31-40. WANG Buhong，WANG Yongliang, CHEN Hui. Weighted spatial smoothing algorithm for direction of arrival estimation of coherent sources[J]. Journal of China Institute of Communications, 2003, 24(4): 31-40.

[7] 余 莉. 利用空間平滑差分算法進行DOA估計[J]. 現代雷達, 2008, 30(8): 87-90. YU Li. Spatial smoothing difference algorithm for DOA estimation of coherent sources[J]. Modern Radar, 2008, 30(8): 87-90.

[8] RAHAMIM D, TABRIKIAN J. Source localization using vector sensor array in a multipath environment[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2004, 52(11): 3096-3103.

[9] HE J, JIANG S. Polarization difference smoothing for direction finding of coherent signals[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2010, 46(1): 469-480.

[10] 虞 飛，陶建武, 陳 誠. 魯棒的四元數空間平滑算法[J]. 信號處理, 2011, 27(9): 1352-1358. YU Fei, TAO Jianwu, CHEN Cheng. A robust quaternion spatial smoothing algorithm[J]. Signal Processing, 2011,27(9): 1352-1358.

[11] 婁 毅. 基于四元數的極化-DOA估計算法研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學，2013. LOU Yi. Research of polarization-DOA estimation algorithm based on quaternion[D].Harbin: Harbin Institute of Technology, 2013.

[12] 蔡云霄. 基于電磁矢量傳感器陣列相干源DOA估計的研究[D]. 長春：吉林大學，2010. CAI Yunxiao. Study on the DOA estimation for coherent signals with electromagnetic vector sensor array[D]. Changchun: Jilin University, 2010.

[13] 王永良. 空間譜估計理論與算法[M]. 北京：清華大學出版社，2004. WANG Yongliang. Spatial spectral estimation theory and algorithm[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2004.

張遠芳 女，1990年生，碩士研究生。研究方向為陣列信號處理。

李會勇 男，1975年生，教授，博士和碩士生導師。研究方向為自適應及陣列信號處理、雷達系統及信號處理。

謝菊蘭 女，1981年生，副教授，碩士生導師。研究方向為自適應及陣列信號處理、雷達系統及信號處理。

Quaternion Toeplitz Matrix Reconstruction Algorithm Based on Electromagnetic Vector Sensor Array

ZHANG Yuanfang，LI Huiyong，XIE Julan

(School of Electronic Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

For DOA estimation of coherent sources based on electromagnetic vector sensor array, spatial smoothing algorithm reduced the number of array aperture. A quaternion Toeplitz matrix reconstruction algorithm is proposed. First of all, receiving signal model is established according to the orthogonal property of quaternion, orthogonal structure of two components keeps well for electromagnetic vector sensor array and at the same time DOA and polarization information can be ensured in the reconstruction matrix. Then hermitian Toeplitz matrix is constituted based on the receive data's correlation function between each array element and reference array element. Compared with spatial smoothing algorithm, it increases the number of coherent sources that can be estimated. In the condition of low signal-to-noise ratio and close incident angles, it has better estimation performance. The simulation experiment proves the correctness of the algorithm.

electromagnetic vector sensor array; coherent; quaternion; Toeplitz matrix

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.04.010

國家自然科學基金資助項目(61371184，61301262)；中國博士后科學基金特別資助項目(115719)；中央高校基本科研業務費資助項目(ZYGX2013J022)

張遠芳 Email：yaoyuanstar@hotmail.com

2015-11-23

2016-01-25

TN957；TN911.7

A

1004-7859(2016)04-0042-04