鏡像對稱的載流導線磁場方向的分析

梁 雄 賴國忠

(龍巖學院，福建 龍巖 364012)

鏡像對稱的載流導線磁場方向的分析

梁 雄 賴國忠

(龍巖學院，福建 龍巖 364012)

電磁場的對稱性分析在大學物理教學中有著極其重要的地位，但是現有的大學物理教材很少給出如何利用穩恒磁場的對稱性來分析磁感強度的方向.文章針對此問題應用畢奧-薩伐爾定律并結合矢量的分解更加便捷地分析了一對鏡像對稱的載流導線在中間面上任意點處的磁場方向：其方向必定垂直于該面.應用這一結論可以很容易判斷出像密繞螺線管、直螺線管和圓柱形導線等這一類電流分布具有鏡像對稱的載流導線在其中間面上的磁感強度的方向.

畢奧-薩伐爾定律；矢量分解；鏡像對稱；磁場方向

大學物理教學中，電磁場的對稱性分析具有很重要的地位[1].有不少文獻探討在求解電磁場問題時如何應用對稱性[2-4]，但很少探討具有高對稱性的載流導線的磁場方向問題.大學物理教程中的電磁學部分通常都選取無限長直導線、無限長直螺線管以及載流螺繞環作為典型例子來說明如何應用安培環路定理求解磁感強度[5,6]，其管內的磁場大小分布容易根據載流導線的對稱性分析，但對于其方向卻未給出相應的分析過程.目前有文獻從建立具體的坐標系，并借助于矩陣運算來分析螺繞環內部的磁場方向[7]，但求解過程比較繁瑣.本文在應用畢奧-薩伐爾定律基礎上，結合矢量分解更加便捷地分析得出鏡像對稱的載流導線在中間面上任意點的磁場方向，然后應用這一結論分析幾種典型載流導線在其中間平面上所激發的磁場方向.

1 鏡像對稱電流元在中間平面上的磁場方向

在兩線圈上對稱位置取兩電流元Idl(記作電流元1)和Idls(記作電流元2)，在中間平面α(簡稱面α)上任取一點P，則該點相對這對電流元的位矢分別記作r和rs，將電流元2和電流元1連接起來，則連線與面α相交于O點，引入兩個輔助矢量d和rM：d的模等于這對電流元之間的距離，rM是P點相對于O點的位置矢量，具體參見圖1.由畢奧-薩伐爾定律可得該兩電流元在中間平面某點P點所產生的磁感應強度為

(1)

圖1 對稱電流元的輔助矢量分析示意圖

(2)

結果1：若有一對載流線圈關于某面鏡像對稱，則這兩線圈在該面所產生的合磁場的方向一定垂直該面；

結果2：若有一對載流直導線關于某面鏡像對稱，則這對直導線在該面上產生的磁場方向一定垂直該面.

2 典型載流導線的磁場方向

2.1 環形密繞螺線管的內部磁場方向

如圖2(a)所示，先以螺繞環的某一線圈所在平面作為中間平面α，我們來分析該線圈內某點P的磁場方向，平面α的左側任取一線圈(記作線圈A)，則一定可以在面α右側的對稱位置上找到一線圈(記作線圈B)，按照結果1可知：這對線圈在P點的磁場一定垂直面α，因此環形螺線管的所有線圈在點P所產生的總磁場也一定與面α垂直.這就是為什么在應用安培環路定理求其磁場時要選擇同心的半徑為r的圓作為閉合回路.需要對學生指明一點的是：圖中中間面的取法不是唯一的，所作的平面只需通過環形螺線管的環心.

同理可以分析：如圖2(b)所示的直螺線管在中間面上磁場方向也必定垂直該面，對于無限長直螺線管而言任意選取一線圈所在平面都可視作中間面，因此無限長的載流直螺線管內部的磁場方向都平行于其軸線.

2.2 無限長半柱面載流導線的磁場方向

圖2 螺線管

圖3 半柱面形和柱體載流長直導線

文獻[8]中穩恒磁場這一章的課后有一道習題：求無限長半柱面形載流導線在軸線OO′上的磁感強度，其形狀如圖3(a)所示.半柱面形導線可視作有許許多多的長直細導線所組成，倘若在面α的后側取一直導線(記作直導線A)，那么在前側對稱的位置總可以找到一直導線(記作直導線B)與直導線A鏡像對稱，根據結果2可知，所取的這對直導線在含軸的面α上的合磁場方向垂直于面α，由此可知整個半柱面直導線在面α上所產生的磁場方向一定垂直于面α.因此求其在軸線OO′上磁感強度只需求出這些長直細導線在軸線產生的磁場在垂直于面α的分量即可.

對于圖3(b)所示的柱體載流長直導線而言，可按照相同的方法來分析：這種對稱電流分布在含軸的面α上的磁場方向必定垂直于面α.

3 結語

大學物理教材中應用安培環路定理求解載流導線的磁場問題，這些載流導線都是具有較強的對稱性，“鏡像對稱分布的載流導線在中間平面上任意處的磁場方向必定垂直于該中間平面” 這結論很容易用以判斷具有鏡像對稱的典型的載流導線的磁場方向問題.

[1] 陳熙謀,趙凱華.電磁學教學中對稱性分析的積極意義[J].大學物理,2005,24(4):3-5,10.

[2] 黃亦斌,聶義友.鏡象對稱性在電磁學中的應用[J].大學物理,2007,26(10):24-26,30.

[3] 張淑芳,趙雙義.對稱性分析在電磁學中的應用[J].徐州工程學院學報：自然科學版,2008,23(4):72-76.

[4] 劉國鈺.淺析對稱性分析在電磁學中的應用[J].職業技術教育,2013,34(2):48-50.

[5] 梁燦彬,秦光戎,梁竹健.電磁學[M].2版.北京:高等教育出版社,2004:185-191.

[6] 馬文蔚,周雨青,解希順.物理學教程(下冊)[M].2版.北京:高等教育出版社,2006:89-93.

[7] 余仕成,周金華.載流長直螺線管和螺繞環的磁場對稱性分析[J].武漢工程大學學報,2010,32(5):106-107.

[8] 趙近芳,王登龍.大學物理學(下)[M].4版.北京:北京郵電大學出版社,2014:54-58,85.

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ANALYSIS OF MAGNETIC FIELD DIRECTION OF CURRENT-CARRYING WIRES WITH MIRROR SYMMETRY

Liang Xiong Lai Guozhong

(Longyan University, Longyan, Fujian 364012)

The symmetry analysis of electromagnetic field plays an important role in the college physics teaching. But the current textbooks of university physics lack the analysis process of magnetic field direction, during solving a high symmetric static magnetic field by Ampere circulation theorem. Combining with vector decomposition, this paper presents the analysis of the magnetic field direction of current-carrying wires with mirror symmetry by the Biot-Savart law, and draws a conclusion that their magnetic field on a middle plane must be perpendicular to the plane. As applications of our conclusion, it is easy to judge the direction of magnetic field on the middle plane in this kind of mirror symmetry systems, such as the tightly wound solenoid, the straight solenoid, the cylindrical wire, and so on.

Biot-Savart law; vector decomposition; mirror symmetry; magnetic field direction

2015-11-02；

2016-01-31

福建省自然科學基金資助項目(2014J01016).

梁雄，男，講師，主要從事大學物理教學研究，研究方向為光學薄膜技術.122746587@qq.com

梁雄，賴國忠. 鏡像對稱的載流導線磁場方向的分析[J]. 物理與工程，2016，26(5)：82-84.