關于足球弧線球運動軌跡的研究

郝成紅 黃耀清 王 歡 陸升陽 段俊生

(上海應用技術學院理學院,上海 201418)

關于足球弧線球運動軌跡的研究

郝成紅 黃耀清 王 歡 陸升陽 段俊生

(上海應用技術學院理學院,上海 201418)

本文研究了足球弧線球運動的動力學方程，考慮馬格努斯效應及相關參數的影響，得到了足球弧線球運動的軌跡曲線，為指導有關球類訓練提供理論依據和參考.

弧線球；馬格努斯效應；軌跡

現行大學物理教材在討論斜拋運動時大多以質點為研究對象，很少涉及旋轉物體的斜拋運動.實際上旋轉拋體的運動是很常見的現象，尤其在球類運動項目中，球體在空中運動時，其自身往往伴隨著旋轉,例如：足球，乒乓球，籃球以及網球等.而球體自身的旋轉必然影響到其運動的軌跡，也就是說，這種情況下，需要考慮馬格努斯效應.當一個圓柱體繞自身軸線旋轉并且有流體在垂直于該軸線方向流過時，它會受到一個垂直于流動方向的橫向力，力的方向總是從來流方向與圓柱面上線速度相反的那一邊指向相同的那一邊，這種現象稱為馬格努斯(Magnus)效應，文獻[1]寫為馬格納斯效應.

實際上馬格努斯效應并不局限于旋轉的圓柱體，足球比賽中的所謂“香蕉球”、乒乓球比賽中的弧圈球及削球技術中都有馬格努斯效應的明顯作用[2].文獻[3]～[7]討論了“香蕉球”現象，但是大多僅局限于定性的討論，而缺少定量的研究，并未給出嚴格的數學結果.本文將各類曲線運動的球體統稱為弧線球，從動力學方程出發，研究弧線球的運動規律和軌跡.

1 動力學方程的解析解

如圖1所示,我們以足球為例，設足球的質量為m，旋轉角速度為ω，球體在旋轉中運動時，由于馬格努斯效應，除了受到重力作用之外，還要受到馬格努斯力F[8,9]的作用，

F=μ(ω×)

(1)

圖1 馬格努斯力

式(1)中，μ是與流體(空氣)的性質及物體幾何形狀、大小相關的常量.F的方向垂直于ω和所構成的平面，并滿足矢量積的右手關系.建立圖1所示的Oxyz三維直角坐標系，使球體旋轉軸與z軸平行.Oxy面即為球場平面，z軸豎直向上.球體的初速度為0,0與Oxy面之間的夾角為α，0在Oxy面上的投影(大小為v0cosθ)與x軸的夾角為β.在理想狀態下，即不考慮空氣阻力時，則球體的動力學方程為

由式(2)得

(5)

將式(5)代入式(3),得

(6)

寫成如下形式

(7)

此方程的解為

vx=vmcos(ω0t+φ)

(8)

得到

所以有

vx=v0cosαcos(ω0t+φ)

(13)

將式(8)代入式(5)得

vy=v0cosα·sin(ω0t+φ)

(14)

由式(4)得

vz=v0sinα-gt

(15)

式(13)、式(14)和式(15)對時間積分，可以得到坐標x,y和z與時間t的函數關系為

則球體的運動學方程為

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

(19)

2 理論計算結果分析

對于式(16)、(17)和(18)來說，雖然原則上可以消去時間參量得到x(t)、y(t)和z(t)所滿足的函數關系，但是對于結果分析并不方便.我們通過對上述3式的具體分析即可得到預期的結果.假設足球入射點在y軸上，由z(t)給出時間t，由x坐標的限定即可得到y值，或由既定的y值得到初速度或旋轉角速度.

1) 由式(16)、(17)可以得到

(20)

2) 設y軸上G點是足球射門的入球點，令z(t)=0，根據式(18)可得t1=0(初始時刻對應x=0，y1=0),及

(21)

這個時間就是足球落地的時間，也就是入射球門左(或右)邊底角的時間，在t2時刻仍取x=0,則y2為

(22)

3) 若考慮足球入射到球門的左(或右)上遠角時，則需要取z=h(球門高度)，代入式(18)，得到方程

(23)

此方程的解為

(24)

由此可見這一組解要求

(25)

也就是對初速度v0的最小值有一個限定.

4) 當式(25)取等號時，則

(26)

表1 射門距離和旋轉角速度

6) 利用MATLAB軟件可以做出三維立體軌跡如圖2，圖3和圖4所示.

圖2 α和β 均取固定參數

圖3 α取不同值

圖4 β取不同值

其中圖2的參數為：m=0.42kg,μ=0.02,ω=20π/s,v0=25m·s-1,α=π/10,β=π/32.

圖3是保持β不變，α取不同值得到的一組曲線.

圖4是保持α不變，β取不同值得到的一組曲線.

7) 當ω=0時，我們將式(16)和式(17)取ω→0的極限，則有

其中,vx0=v0cosα·cosβ；vy0=v0cosα·sinβ；vz0=v0sinα.

我們就得到了質點的斜拋運動的運動學方程.

旋轉物體的斜拋運動與質點的斜拋運動的區別在于前者的運動軌跡是三維曲線，而后者則實際是二維的平面運動，如圖5所示.

圖5 α=π/4，β=π/4

3 結語

本文在三維直角坐標系中研究了弧線球運動的軌跡；得到了數學上的嚴格解析解，即給出了三維坐標與時間變量的函數關系.雖然是以足球為例得到的結果，但對于相關球類來說其結果具有普遍意義.可以為相關球類的技術訓練提供理論根據和計算方法；也為進一步深入研究提供基礎性的結果.

[1] 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學[M].2版.北京：高等教育出版社，2015：231.

[2] 漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程·力學[M].北京：高等教育出版社,1997:374.

[3] 葛隆祺.弧線球運動規律的探討[J].大學物理,1991(7):26-28.

[4] 王偉，劉欣.淺談“香蕉球”的力學原理[J].體育文獻科技通報,2008,6(3):43.

[5] 趙進寶.球類運動中的流體力學問題[J].力學與實踐,1988,10(6):33.

[6] 劉大為.球體飛行軌跡異常的探討[J].大學物理,1987(1):43.

[7] 葛隆祺,葉衛軍.足球旋轉球的運動規律[J].物理通報,1999(2)：7-8.

[8] http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node43.html[9] http://www.nennstiel-ruprecht.de/bullfly/magnusf.htm#header

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STUDY ON MOTION LOCUS OF BANANA KICK

Hao Chenghong Huang Yaoqing Wang Huan Lu Shengyang Duan Junsheng

(School of Science, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418)

Considering the Magnus effect and relating parameter, kinetics equation of banana kick in football game is solved and motion locus of banana kick is given in this paper. It can provide theoretical foundation and reference for some kinds of ball trainings.

banana kick; Magnus effect; locus

2015-11-13；

2016-02-04

郝成紅，男，上海應用技術學院理學院副教授，從事大學物理教學及研究工作.

黃耀清，女，上海應用技術學院理學院教授.huangyaoqingsit@126.com

郝成紅，黃耀清，王歡，等. 關于足球弧線球運動軌跡的研究[J]. 物理與工程，2016，26(5)：79-81，84.