楊氏雙縫干涉條紋的空間分布及理論模擬

何坤娜 黃 堅

(1中國農業大學理學院，北京 100083；2北京航空航天大學軟件學院，北京 1000191；3江蘇現代城市交通技術協同創新中心，江蘇 南京 211189)

楊氏雙縫干涉條紋的空間分布及理論模擬

何坤娜1黃 堅2,3

(1中國農業大學理學院，北京 100083；2北京航空航天大學軟件學院，北京 1000191；3江蘇現代城市交通技術協同創新中心，江蘇 南京 211189)

楊氏雙縫干涉實驗中，觀察屏上條紋的分布是授課的重點內容.現有的大學物理教材，大都通過分析經過近似的光程差表達式，得出觀察屏上干涉條紋是等間距的直條紋的結論，但該結論并不能真實反映條紋的空間分布情況.本文結合立體幾何知識，在未經任何近似情況下，推導出了干涉明、暗紋的空間分布所滿足的雙葉旋轉雙曲面方程，并在該方程基礎上對傳播空間和觀察屏上明紋分布進行了理論模擬，模擬結果形象直觀，有助于學生對干涉條紋特點的整體理解和掌握.

雙縫干涉；光程差；雙葉旋轉雙曲面

楊氏雙縫干涉實驗中，觀察屏上的條紋分布是授課過程中的一個重點內容.現有的大學物理教材，大都在分析后給出了屏幕上干涉條紋是等間距的明、暗相間的直條紋的結論[1-4]，但該結論是從分析光程差的近似表達式得到的，因此并不能真實反映空間條紋的分布情況.事實上，楊氏雙縫實驗中觀察屏上干涉條紋的分布應是一系列雙葉旋轉雙曲面和觀察屏的交線，是一系列雙曲線，而且觀察屏上的條紋分布僅僅只是干涉條紋在空間分布的一部分，但僅少數教材[5]提到這一點，且并未有詳細說明.本文結合立體幾何知識，給出了雙縫發出的光在空間傳播過程中發生相干干涉時明、暗條紋分布所滿足的數學表達式——雙葉旋轉雙曲面方程，并對光傳播空間明紋的立體分布及觀察屏上明紋的分布進行了理論模擬，模擬結果將數學公式的物理意義形象直觀地展示了出來，有利于學生理解和全面掌握干涉條紋的分布.

1 明、暗干涉條紋在空間的立體分布所滿足的雙葉旋轉雙曲面方程

由于楊氏雙縫干涉圖樣與雙孔干涉圖樣相比，屏幕上條紋分布完全相同，只不過雙縫干涉條紋更亮些，因此，分析楊氏雙縫實驗的干涉圖樣時，為了描述方便，我們以雙孔干涉為例來進行分析.圖1為雙孔干涉實驗的光路示意圖，設雙孔S1、S2的間距為d，O為雙孔S1、S2的中點，P為光傳播方向上空間內任意一點，設點P與雙孔S1、S2的距離分別為r1和r2，則光程差Δr=r2-r1，且Δr為空間坐標的函數，記為Δr(x，y，z).根據光的干涉的相關理論，當光程差滿足公式

Δr(x,y,z)=kλ,k=0,±1,±2,…,±n

(1)

圖1 楊氏雙孔干涉實驗光路示意圖

時，光傳播方向上滿足公式(1)的空間點應為亮點，而k值相同的亮點連起來構成第k級明紋.當光程差滿足公式

(2)

時，光傳播方向上滿足公式(2)的空間點應為暗點，而k值相同的暗點連起來構成第k級暗紋.因此，只要確定Δr(x，y，z)的表達式，就能根據公式(1)和公式(2)確定不同級次的明、暗條紋在空間的分布，而根據幾何學知識，Δr=r2-r1=C(常量)的軌跡是以S1和S2的連線為旋轉軸的雙葉旋轉雙曲面.

圖2 雙葉旋轉雙曲面

(3)

該方程的物理意義為：間距為d的兩點光源發出的光在空間傳播的過程中，相位差r2-r1=kλ的點在空間連成的曲面(為一個亮面).

同理，可得暗紋分布所滿足的雙葉旋轉雙曲面方程為

(4)

由于雙孔干涉實驗中只考慮沿z軸正向傳播的光即可，因此，在z軸正向距離坐標原點z處放一觀察屏，觀察屏與雙葉旋轉雙曲面的交線即為觀察屏上能觀察到的條紋分布.

根據公式(3)和(4)，通過改變參數z、d以及級次k，可分別模擬不同級次明、暗紋在空間的立體分布及觀察屏上的明、暗干涉條紋分布.由于公式(3)和(4)形式類似，因此，明、暗紋分布特點應類似.為了說明問題，我們僅就明紋分布進行模擬.模擬過程中，設入射單色光波長為λ=500nm.

Matlab(Matrix Laboratory)是美國Mathwork公司推出的一款功能強大的教學軟件包，Matlab不但具有強大的數值計算功能，而且具有超強的可視化功能，可以將理論模擬結果形象直觀地展示出來，本文中的模擬結果均基于Matlab軟件來完成.

2 不同情況下，明條紋分布的理論模擬結果

(1)d=0.1mm時， 0級、±1級和±2級明紋所對應的雙葉旋轉雙曲面在空間的立體分布及z=1.5m位置處觀察屏與雙葉旋轉雙曲面的交線如圖3所示.

圖3 d=0.1mm時, 0級、±1級和±2級明紋在空間的立體分布及z=1.5m位置處觀察屏與雙葉旋轉雙曲面的交線

圖3中能看到的0級、±1和±2級明紋.圖3中的坐標軸x、y、z分別與圖1的坐標軸x、y、z相對應.由圖3不難看出，觀察屏上除中央明紋外，中央明紋兩側對稱的干涉明紋應是一對對雙曲線，并非平行直條；改變觀察屏位置，屏上明條紋的分布情況不同.

(2) 圖4為d=0.1mm時，z=0.5m、1.5m、2.5m處觀察屏上較大范圍內的干涉條紋分布.

圖4 d=0.1m，z=0.5m、1.5m、2.5m處觀察屏上干涉條紋分布(只模擬了中央明紋及其兩側±15級明紋)

很明顯，相比圖3，圖4可更清晰地展示觀察屏在不同位置時屏上條紋分布.由圖4可知，隨著z增加，明紋在x方向的分布范圍逐漸加寬；當z分別為0.5m、1.5m和2.5m時，屏幕上明條紋均是平行于xy平面的一系列雙曲線，并不是等間距的直條紋，但是，觀察屏離xy平面越遠，雙曲線的彎曲程度越小.

(3) 當d=0.1mm時，z=0.5m、1.5m、2.5m遠處觀察屏上較小觀察范圍內干涉條紋分布,如圖5所示.

由圖5可知，當z為0.5m時，級次大的干涉條紋還能看出一定的彎曲，但中央明紋兩側附近的條紋已接近直線分布；當z為1.5m和2.5m時，干涉條紋呈平行等間距直線分布，這與大多數物理教材中經過近似推導后得到的結論一致，即如明暗干涉條紋同時考慮，觀察到的應該是等間距的明、暗相間的直條紋.圖5(2)和圖5(3)中呈直線分布的k級明紋在觀察屏上的位置應滿足關系式(5)，相鄰兩明紋間距滿足關系式(6).

圖5 當d=0.1mm時，z=0.5m、1.5m、2.5m遠處觀察屏上較小觀察范圍內干涉條紋分布(觀察范圍在±0.12m2)

另外，由圖5可知，當z為0.5m時，條紋間距較小，條紋比較密集，±15級仍都能全部顯示出來.隨著z增大，條紋間距增大，干涉明紋條數減小.當z分別為1.5m和2m時，屏幕上明條紋數量分別為15條和9條(只能顯示至±7級和±4級).

3 結語

本文結合立體幾何知識，推導出了楊氏雙縫干涉實驗中明、暗干涉條紋在空間分布所滿足的雙葉旋轉雙曲面方程，并對明紋分布進行了理論模擬.模擬結果將數學公式的物理意義形象直觀地展示了出來，有助于學生對條紋分布特點的理解和掌握.模擬結果表明：楊氏雙縫實驗中觀察屏上干涉條紋的分布應是一系列雙曲線，但當坐標原點和屏幕之間距離z遠大于兩孔間距d時，在屏幕上不大的觀察范圍內，觀察到的是一系列平直條紋.

將本文理論模擬結果與一般物理教材中得到的條紋分布特點(條紋分布是等間距的明、暗相間的直條紋)相比，不難看出，一般物理教材中給出的條紋分布特點實際上僅是本文中一定條件下的(z?d，同時在屏幕上不大的觀察范圍內)理論模擬結果.但是，本文的模擬結果只能直觀展示條紋是等間距直線，并未明確給出直條紋在屏幕上的位置所滿足的規律，而一般物理教材中，在分析近似光程差的基礎上明確給出了明(暗)直條紋位置所滿足的關系式.因此，本文理論模擬結果結合一般物理教材中楊氏雙縫干涉部分的相關理論推導結果，可使學生對干涉條紋有比較全面的認識，即不僅能了解干涉條紋在空間的整體分布情況，而且可以明確一定條件下平直條紋的分布規律.

[1] 張三慧.大學基礎物理學[M].北京：清華大學出版社, 2003:592-593.

[2] 馬文蔚,周雨青,解希順.物理學教程[M].2版.北京：高等教育出版社, 2006:185.

[3] 程守洙,江之永.普通物理學[M].5版.北京：高等教育出版社，1998:175-176.

[4] 吳百詩.大學物理[M].西安：西安交通大學出版社，2008:118-119.

[5] 金仲輝,柴麗娜.大學基礎物理學[M].3版.北京:科學出版社，2010:260.

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STUDY AND SIMULATION ON THE SPATIAL DISTRIBUTION OF INTERFERENCE PATTERN IN YOUNG’S DOUBLE-SLIT INTERFERENCE EXPERIMENT

He Kunna1Huang Jian2,3

(1College of Science, China Agricultural University, Beijing 100083；2School of Software, Beihang University, Beijing 100191；3Jiangsu Province Collaborative Innovation Center of Modern Urban Traffic Technologies, Nanjing Jiangsu 211189)

In Young’s double-slit interference experiment, the fringe pattern on the observation screen is the focus of teaching. Existing college physics teaching material mostly drew a conclusion that the interference fringes are equally spaced by analyzing the approximate expression of the optical path difference. However, this conclusion can’t really reflect the spatial distribution of the fringe pattern. The paper first derived a hyperboloid equation of two sheets of revolution, which described the pattern of the high and low amplitudes that are generated by the two waves in Young’s double-slit interference experiment; then further simulated the high amplitudes distribution on the propagation space and the screen. The whole experiment and simulation is vivid and convenient for the student to better understand the characteristic of the interference pattern.

double-slit interference； light path difference； two sheets of revolution

2015-11-24；

2016-03-10

何坤娜，女，講師，主要從事大學物理的教學工作以及新型激光器件與技術等方面的研究.hekunna@cau.edu.cn

黃堅，男，講師，主要從事大學計算機教學工作，以及計算機輔助的數據分析與模擬計算研究工作.hj@buaa.edu.cn

何坤娜，黃堅. 楊氏雙縫干涉條紋的空間分布及理論模擬[J]. 物理與工程，2016，26(5)：12-15.